- •Введение
- •1 АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
- •Тема 1. Алгебра бинарных отношений и отображений
- •Тема 2. Отображения и фактор-множества
- •Тема 3. Отношения эквивалентности
- •Тема 4. Отношения порядка
- •Тема 5. Формула Бине-Коши
- •Тема 6. Полиномиальные матрицы
- •Тема 7. Системы линейных неравенств
- •Тема 10. Основная теорема алгебры
- •Тема 13. Конечные поля
- •Тема 14. Элементы теории конечных полей
- •Тема 17. Алгебра кватернионов и ее приложения
- •Тема 18. Замыкания и соответствия Галуа
- •Тема 19. Функция Мёбиуса и её свойства
- •Тема 20. Неприводимые кривые 2-го порядка
- •Тема 22. Кубический закон взаимности
- •Тема 23. Магические квадраты
- •Тема 25. Числа Фибоначчи и их приложения
- •Тема 28. Греко-китайская теорема об остатках
- •Тема 29. Линейные группы
- •Тема 30. Группы перестановок
- •Тема 31. Конечные абелевы группы
- •Тема 32. Копредставления групп
- •Тема 33. Силовские подгруппы
- •2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
- •Тема 34. Логическая игра
- •Тема 35. Неразрешимость логики первого порядка
- •Тема 36. Нестандартные модели арифметики
- •Тема 38. Машины Тьюринга и невычислимые функции
- •Тема 41. Разрешимость арифметики сложения
- •3 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 47. Эйлеровы графы
- •Тема 48. Гамильтоновы графы
- •Тема 49. Связность графа
- •Тема 50. Циклы в графах
- •Тема 51. Плоские графы
- •Тема 52. Деревья
- •Тема 53. Свойства эйлеровых графов
- •Тема 54. Свойства гамильтоновых графов
- •Тема 55. Раскраски графов
- •Тема 56. Ориентированные графы
- •Тема 57. Паросочетания
- •Тема 58. Теория трансверсалей
- •Тема 59. Потоки в сетях
- •Тема 60. Производящие функции в теории графов
- •Тема 61. Теорема Пойа и перечисление графов
- •Тема 62. Графы на двумерных поверхностях
- •Тема 63. Конечные группы и их графы
- •Тема 64. Теорема Рамсея и ее приложения
- •Тема 65. Полугруппы преобразований
- •Тема 66. Полугруппы в биологии
- •Тема 67. Копредставления полугрупп
- •Тема 68. Логика на словах
- •Тема 70. Рациональные языки
- •Тема 71. Соответствие Эйленберга
- •Тема 72. Отношения Грина
- •Тема 73. Декомпозиция конечных моноидов
- •Тема 75. Элементы теории конечных автоматов
- •Тема 76. Минимизация чистых автоматов
- •Тема 77. Конструкции чистых автоматов
- •Тема 78. Цифровое шифрование
- •Тема 79. Последовательности над конечным полем
- •Тема 80. Линейные коды
- •Тема 81. Решетки
- •Тема 82. Модулярные и дистрибутивные решетки
- •Тема 83. Булевы алгебры
- •Тема 84. Минимальные формы булевых многочленов
- •4 РАЗЛИЧНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
- •Тема 86. Элементы линейного программирования
- •Тема 89. Построение вещественных чисел по Коши
- •Тема 91. Нестандартный математический анализ
- •Тема 92. Геометрия и искусство
- •Тема 95. Барицентрическое исчисление
- •Тема 96. Линейные рекуррентные уравнения
- •Тема 97. Роль аксиомы выбора в теории множеств
- •Тема 98. Алгоритмы поиска
- •Приложение А
- •Приложение Б
- •Приложение В
- •Приложение Г
сторонами соответствующих треугольников сети ОНП обнаруживаются рекуррентные соотношения. Цель курсовой работы – изучение свойств ОНП. Рекомендуется следующий план работы.
1Точка Торричелли – Ферма треугольника.
2Решение задачи Наполеона с помощью оператора поворота.
3Определение ОНП /1/.
4Описание ОНП с помощью оператора поворота и доказательство рекуррентных соотношений.
5Изучение свойств ОНП с помощью рекуррентных соотношений /1/;
/2/.
6Асимптотическое поведение треугольников сети ОНП.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1Фирстов В.Е. Рекуррентные последовательности при обобщенных наполеоновых построениях. Деп. ВИНИТИ, 18.01.01, N128 – В2001.
2Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. – М.: Наука,
1975.
Тема 95. Барицентрическое исчисление
Барицентрическое исчисление основано на использовании механической концепции центра масс (барицентра) и его свойств при доказательстве геометрических утверждений, а также при решении задач с рядом интересных приложений, например, в популярной генетике. Цель курсовой работы – освоить и изучить барицентрический метод в геометрии, также проиллюстрировать его на примерах решения задач и для интерпретации закона Харли – Вайнберга в популярной генетике. Работу рекомендуется выполнять по следующему плану:
1 Архимед – как основоположник барицентрического метода в геометрии (/1/, гл. VII, c. 287 – 314; /2/, гл. IV, c. 149 – 163).
2Физическое и математическое определения центра масс (барицентра)
иего свойства (/3/, гл. 1).
3Решение геометрических задач барицентрическим методом (/3/, c. 17
– 23).
4Доказательство теорем – Чевы и Менелая барицентрическим методом
(/3/, c. 39 – 44).
5Введение барицентрических координат по Мебиусу (/3/, c. 76 – 84;
/4/).
6Барицентрические координаты и интерпретация закона Харди - Вайнберга в популярной генетике (/3/, c. 152 – 159; /4/).
7Решение некоторых задач популярной генетики с помощью барицентрических координат (/3/, c. 155 – 159; /4/).
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.: Физматгиз, 1959.
2Кольман Э. История математики в древности. – М.: Физматгиз, 1961.
3Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. – М.: Наука, 1987.
4Яглом И. М. Генетика популяций и геометрия // Квант, 1986, № 4,
c.5–11.
Тема 96. Линейные рекуррентные уравнения
Достаточно широкий класс числовых последовательностей описывается с помощью линейных рекуррентных (конечно - разностных) уравнений, когда значение очередного члена рассматриваемой последовательности определяется по значениям предшествующих ему членов. Цель курсовой работы – изучить основные методы построения общих решений таких уравнений, свойства пространства решений и рассмотреть некоторые наиболее важные приложения линейных рекуррентных уравнений. Рекомендуется следующий план работы.
1Общее определение линейного рекуррентного уравнения. Примеры (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность Фибоначчи, сумма степеней натуральных чисел и т.п.) (/1/, п. 1 – 4).
2Линейные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами
иметоды их решения (/1/, п. 5 – 10; /2/, гл. 5, § 4).
3Пространство решений линейного рекуррентного уравнения (/1/, п. 5
– 9, гл. 5, § 2; 3).
4Теория Пуанкаре (/2/, гл. 5, §5).
5Линейные рекуррентные уравнения над полями Галуа и их приложения в системах связи и теории кодирования (/3/, гл. 13; /4/; /5/).
Литература, рекомендуемая для изучения темы 1 Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. – М.: Наука,
1975.
2Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967.
3Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир,
1976.
4 Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра. – Екатеринбург,
1996.
5 Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. – М.:
Мир, 1986.
Тема 97. Роль аксиомы выбора в теории множеств
Аксиомы выбора является одним из фундаментальных положений теории множеств, имеющим самые разнообразные приложения в теории множеств, алгебре, топологии, теории моделей и других разделах математики. Цель курсовой работы – проанализировать взаимосвязь аксиомы выбора с
другими известными результатами алгебры, теории множеств и топологии. Рекомендуется следующий план работы.
1 Рассмотреть аксиому выбора и на важных примерах обосновать необходимость ее применения в математике (/1/, с. 35-44; /2/, с. 53-55).
2 Разобрать важные приложения аксиомы выбора в алгебре, теории множеств и топологии (/1/, с. 44-49; /2/, с. 54-59).
3 Доказать эквивалентность аксиомы выбора таким известным принципам теории множеств, как постулат Цермело, лемма Цорна и другие (/1/,
с. 36-37, 45-46; /2/, с. 55-59).
4 Рассмотреть вопросы о непротиворечивости и независимости аксиомы выбора (/1/, с. 49-63).
Восстановить доказательства всех утверждений из указанных выше литературных источников.
Литература, рекомендуемая для изучения темы 1 Йех Т.Дж. Об аксиоме выбора: Справочная книга по математической
логике, ч.2. Теория множеств. – М.: Наука, 1982. – с. 35-63. 2 Келли Дж.Л. Общая топология. – М.: Наука, 1981.
Тема 98. Алгоритмы поиска
В курсовой работе предлагается рассмотреть основные алгоритмы на графах, которые находят применение при сжатии информации, распознавании образов и синтезе баз данных. Рекомендуется следующий план изложения материала:
1Необходимые понятия теории графов (/2/, с. 9-43, /1/, с. 57-64).
2Бинарный поиск (/1/, с. 64-65).
3Быстрая сортировка (/1/, с. 65-69).
4Алгоритм Дикстры (/1/, с. 69-72).
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. – М.: Наука. Физматлит, 1995.
2Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.