2Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. – М.: Наука, 1984.

3Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. – М.:

Наука, 1987.

Тема 27. Реологические числа и их некоторые алгебраические свойства

Под реологическими системами понимаются системы, обладающие элементами памяти после снятия внешнего воздействия. В физике типичными представителями таких систем являются, например, ферромагнетики, составляющие ячейки памяти современных компьютеров. Числовые системы, как выяснилось, могут также обладать реологическими свойствами. Например,

числа 187109376 и 287109376 в произведении дают число 53720855187109376,

в котором, как видим, сохранилась комбинация цифр 87109376. Числа, обладающие таким свойством, названы реологическими. Цель курсовой работы

– изучить методы построения реологических чисел и выяснить их алгебраические свойства. Рекомендуется следующий план работы.

1 Обзор имеющихся результатов, связанных с реологическими (бесконечными) числами (/1/ – /3/ ).

2 Построение реологических чисел с помощью сравнений в виде арифметических идемпотентов соответствующих колец классов вычетов ( /4/ ).

3Теоретико-числовые свойства реологических чисел ( /4/ ).

4Реологические числа и их связь с полурешетками колец классов вычетов ( /4/, /5/ ).

5Доказательство изоморфизма полурешетки кольца классов вычетов и соответствующей булевой полурешетки ( /4/, /5/ ).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. – М.: Просвещение, 1986. С.27.

2Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1970.

3Жиглевич А.Б., Петров Н.Н. “Квант”, 1989, N_11. – с.14 – 19.

4Фирстов В.Е. Реологические числа и их некоторые алгебраические свойства. Деп. ВИНИТИ, 01.07.97, N_2241 – В97. – 19с.

5Фирстов В.Е. О строении арифметической полурешетки. Деп.

ВИНИТИ, 09.09.97, № 2816 – В97, - 7с.

Тема 28. Греко-китайская теорема об остатках

Важные приложения теоретико-кольцевых конструкций в теории чисел базируются на известной греко-китайская теореме об остатках. Цель курсовой работы – изучить необходимые теоретико-кольцевые конструкции и проанализировать их приложения к модулярной арифметике. Рекомендуется следующий план работы.

1 Изучить такие основополагающие понятия теории колец, как идеал и факторкольцо, доказать теоремы об изоморфизмах (/1/, с. 172-183, 443-444).

2Рассмотреть понятие прямой суммы колец, доказать греко-китайскую теорему об остатках и ее теоретико-числовые следствия (/1/, с. 444-449; /2/, с. 77-97).

3Проанализировать решение задачи разложения целых чисел на множители с помощью модулярной арифметики на основе греко-китайской теоремы об остатках (/2/, с. 91-118).

4Рассмотреть альтернативное доказательство греко-китайской теоремы об остатках Х. Эндертоном и его приложение к проблеме разрешимости арифметики со сложением, но без умножения (/3/, с. 290-299).

Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи 5-8 из упражнения на стр. 450-451 в /1/ и задачи 11-15, 25, 28, 29 из упражнения на стр. 128-132 в /2/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

2Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.:

Мир, 1994.

3Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.

Тема 29. Линейные группы

Линейные группы играют важную роль в теории групп и ее приложениях. Цель курсовой работы – проанализировать классификацию линейных групп и изучить их основные свойства. Рекомендуется следующий план работы.

1 Изучить основополагающие понятия теории групп и рассмотреть основные виды линейных групп (/1/, с. 18-20; /2/, с. 139-141).

2 Для линейных групп рассмотреть такие важные понятия теории групп, как подгруппа и порождающее множество, центр и коммутатор группы

(/1/, с. 22-26, 35-40).

3 Для линейных групп рассмотреть такое важное алгебраическое понятие, как гомоморфизм, доказать формулу вычисления определителя матрицы и проанализировать взаимосвязь линейных групп с свободными группами (/1/, с. 45-47, 120-122; /2/, с. 162-163, 160-170).

4 Исследовать разрешимые линейные группы (/1/, с. 189-200).

Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи 2.3.5-2.3.8, 8.1.10, 8.1.12-8.1.15, 8.2.1-8.2.3, 8.2.8, 8.2.26, 8.3.24 (а- д), 8.3.28-8.3.30, 8.3.43, 8.3.45 из /3/, также задачи 5.2.5, 5.3.3, 5.3.24, 5.3.31 (б) из главы 1 части 1 и 1.1.14-1.1.16, 1.1.24, 1.2.14 (а), 1.3.1, 1.3.8, 1.3.13, 1.3.14, 1.5.2, 1.5.3, 1.6.19 из главы 1 части 3 книги /4/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы 1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,

1972.

2Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

3Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

4Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Наука,

1987.

Тема 30. Группы перестановок

Группы перестановок играют фундаментальную роль в теории групп и ее приложениях. Цель курсовой работы – изучить основные свойства групп перестановок. Рекомендуется следующий план работы.

1 Изучить такие основополагающие понятия теории групп, как перестановка множества и группа перестановок, цикл и циклическая форма записи перестановок, доказать теорему Кэли (/1/, с. 146-150, 301-302; /2/, с. 9- 45, 59-77).

2 Рассмотреть понятие симметрической группы перестановок и знакопеременной группы, доказать, что симметрическая группа перестановок порождается множеством транспозиций (/1/, с. 146-154; /2/, с. 50-58, 95-97).

3 Изучить действие групп на множествах, доказать основные свойства орбит и стационарных подгрупп точек, рассмотреть примеры действий групп на множествах (/1/, с. 303-310; /2/, с. 81-94).

Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи 9,12 на стр. 45, 2,4 на стр. 64, 2,3,6 на стр. 78, 2-6 на стр. 91, 2,3,6,7 на стр. 98 в /2/; а также задачи 2.3.132.3.16, 2.3.23, 2.3.36, 8.2.14, 8.2.15- 8.2.208.2.24, 8.2.25, 8.3.3 из /3/ изадачи 1.1.1-1.1.4 из главы 1 части 3 книги /4/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

2Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. –

М.: Наука, 1985.

3Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

4Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Наука,

1987.

Тема 31. Конечные абелевы группы

Конечные абелевы группы играют важную роль в теории групп и ее приложениях. В курсовой работе необходимо провести углубленное и

систематизированное исследование основных свойств конечных абелевых групп. Рекомендуется следующий план работы.

1Изучить такие основополагающие понятия теории групп, как группа и система образующих, подгруппа и смежные классы по подгруппе,

гомоморфизм и нормальная подгруппа (/1/, с. 139-166; /2/, с. 14-27, 28-30, 4147).

2Рассмотреть понятие циклической группы и доказать ее основные свойства (/1/, с. 143-146, 167-168; /2/, с. 27-30).

3Исследовать свойства примарных абелевых групп и доказать основную теорему о конечных абелевых группах (/1/, с. 339-345).

Решить задачи 2, 3, 5, 7, 8 из упр. на стр. 346 в книге /1/, а также задачи

2.3.27, 2.3.31, 2.3.32, 2.3.42, 2.3.44, 8.2.27 (ж,и), 8.2.33, 8.2.38, 8.2.39, 8.2.47, 8.2.60, 8.2.62, 8.2.64, 8.3.7, 8.3.39-8.3.41 из /3/ и задачи 5.2.17, 5.2.21, 5.3.12, 5.3.14-5.3.16 из главы 1 части 1 книги /4/.

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

2Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,

1972.

3 Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

4 Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Наука,

1987.

Тема 32. Копредставления групп

Важную роль в теории групп играет метод задания групп с помощью систем образующих и определяющих соотношений, который называется также копредставлением групп. Цель курсовой работы – изучить метод копредставления групп. Рекомендуется следующий план работы.

1Изучить такие основополагающие понятия теории групп, как группа и система образующих, подгруппа и смежные классы по подгруппе,

гомоморфизм и нормальная подгруппа (/1/, с. 139-166; /2/, с. 14-27, 28-30, 4147).

2Рассмотреть понятие свободной группы и доказать универсальное свойство такой группы (/1/, с. 116-120; /2/, с. 324-326).

3Разобрать метод задания групп с помощью систем образующих и определяющих соотношений (/1/, с. 119-120; /2/, с. 326-329).

Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи 13-15 из упр. на стр. 331-332 и задачи 1.5.1, 1.5.5, 1.5.7, 1.5.19- 1.5.26, 1.5.30 из главы 1 части 3 книги /3/.