- •Введение
- •1 АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
- •Тема 1. Алгебра бинарных отношений и отображений
- •Тема 2. Отображения и фактор-множества
- •Тема 3. Отношения эквивалентности
- •Тема 4. Отношения порядка
- •Тема 5. Формула Бине-Коши
- •Тема 6. Полиномиальные матрицы
- •Тема 7. Системы линейных неравенств
- •Тема 10. Основная теорема алгебры
- •Тема 13. Конечные поля
- •Тема 14. Элементы теории конечных полей
- •Тема 17. Алгебра кватернионов и ее приложения
- •Тема 18. Замыкания и соответствия Галуа
- •Тема 19. Функция Мёбиуса и её свойства
- •Тема 20. Неприводимые кривые 2-го порядка
- •Тема 22. Кубический закон взаимности
- •Тема 23. Магические квадраты
- •Тема 25. Числа Фибоначчи и их приложения
- •Тема 28. Греко-китайская теорема об остатках
- •Тема 29. Линейные группы
- •Тема 30. Группы перестановок
- •Тема 31. Конечные абелевы группы
- •Тема 32. Копредставления групп
- •Тема 33. Силовские подгруппы
- •2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
- •Тема 34. Логическая игра
- •Тема 35. Неразрешимость логики первого порядка
- •Тема 36. Нестандартные модели арифметики
- •Тема 38. Машины Тьюринга и невычислимые функции
- •Тема 41. Разрешимость арифметики сложения
- •3 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 47. Эйлеровы графы
- •Тема 48. Гамильтоновы графы
- •Тема 49. Связность графа
- •Тема 50. Циклы в графах
- •Тема 51. Плоские графы
- •Тема 52. Деревья
- •Тема 53. Свойства эйлеровых графов
- •Тема 54. Свойства гамильтоновых графов
- •Тема 55. Раскраски графов
- •Тема 56. Ориентированные графы
- •Тема 57. Паросочетания
- •Тема 58. Теория трансверсалей
- •Тема 59. Потоки в сетях
- •Тема 60. Производящие функции в теории графов
- •Тема 61. Теорема Пойа и перечисление графов
- •Тема 62. Графы на двумерных поверхностях
- •Тема 63. Конечные группы и их графы
- •Тема 64. Теорема Рамсея и ее приложения
- •Тема 65. Полугруппы преобразований
- •Тема 66. Полугруппы в биологии
- •Тема 67. Копредставления полугрупп
- •Тема 68. Логика на словах
- •Тема 70. Рациональные языки
- •Тема 71. Соответствие Эйленберга
- •Тема 72. Отношения Грина
- •Тема 73. Декомпозиция конечных моноидов
- •Тема 75. Элементы теории конечных автоматов
- •Тема 76. Минимизация чистых автоматов
- •Тема 77. Конструкции чистых автоматов
- •Тема 78. Цифровое шифрование
- •Тема 79. Последовательности над конечным полем
- •Тема 80. Линейные коды
- •Тема 81. Решетки
- •Тема 82. Модулярные и дистрибутивные решетки
- •Тема 83. Булевы алгебры
- •Тема 84. Минимальные формы булевых многочленов
- •4 РАЗЛИЧНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
- •Тема 86. Элементы линейного программирования
- •Тема 89. Построение вещественных чисел по Коши
- •Тема 91. Нестандартный математический анализ
- •Тема 92. Геометрия и искусство
- •Тема 95. Барицентрическое исчисление
- •Тема 96. Линейные рекуррентные уравнения
- •Тема 97. Роль аксиомы выбора в теории множеств
- •Тема 98. Алгоритмы поиска
- •Приложение А
- •Приложение Б
- •Приложение В
- •Приложение Г
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
2Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,
1972.
3 Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Наука,
1987.
Тема 33. Силовские подгруппы
Краеугольным камнем теории конечных групп является известная теорема норвежского математика Л. Силова о максимальных p-подгруппах конечной группы, называемых силовскими подгруппами. Цель курсовой работы – изучить основные свойства силовских подгрупп конечных групп. Рекомендуется следующий план работы.
1 Изучить такие основополагающие понятия теории групп, как перестановка множества и группа перестановок (/1/, с. 146-150, 301-302; /2/, с. 106-108; /3/, с. 9-45, 59-77).
2Изучить действие групп на множествах, доказать основные свойства орбит и стационарных подгрупп точек, рассмотреть примеры действий групп на множествах (/1/, с. 303-310; /3/, с. 81-94).
3Доказать теорему Силова о максимальных p-подгруппах конечной группы (/1/, с. 332-335; /2/, с. 89-92).
4Рассмотреть приложения теоремы Силова и примеры силовских подгрупп (/1/, с. 336-338; /2/, с. 92-96).
Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи 1-5 из упражнения на стр. 338-339 в /1/ и упражнения 1-3 на стр. 92 в /2/, а также задачи 1.3.3, 1.3.6, 1.3.10, 1.3.18-1.3.20 из главы 1 части 3 книги /4/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
2Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,
1972.
3Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. –
М.: Наука, 1985.
4Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Наука,
1987.