ChM1

Все сохраняемые	десятичные знаки i (i m, m 1,..., m n 1)
называются значащими	цифрами приближенного числа a, причем

возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением m ).

Значащей цифрой числа считается любая цифра в его десятичной записи, отличная от нуля и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.

Пример: 0.002080, в этом числе первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Два других нуля являются значащими цифрами, так как первый их них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10-6. В случае если в данном числе

0.002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0.00208. С этой точки зрения числа 0.002080 и 0.00208 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе – три значащих цифры.

Под верной цифрой числа, понимается его значащая цифра, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит данная значащая цифра.

Пример: x=0.1243; =0.0001

1:0.05>0.0001 Истина

2:0.005>0.0001 Истина

4: 0.0005>0.0001 Истина

3: 0.00005>0.0001 Ложь

Вчисле x=0.1243 три верных цифры.

1.3Оценка погрешностей результатов при выполнении операций

над приближенными числами

11

1. Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел не

превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел:

u a b u a b .
Следствие:	за	предельную	абсолютную	погрешность

алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

Пример: x1=0.305 и x2=4.594. Найти погрешность суммы этих чисел.

u=0.305+4.594=4.899 x1=0.0005 и x2=0.0005, тогда погрешность суммы этих чисел будет равна u= x1+ x2=0.0005+0.0005=0.001.

2. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и

вычитаемого:

u a b u a b .

Замечание о потери точности при вычитании двух близких чисел.

Если приближенные числа x1 и x2 достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то их разность u=x1-x2 будет

числом малым. Из формулы	u	x1 x2	вытекает, что относительная
		u

погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, то есть происходит потеря точности.

Пример: x1=47.132 и x2= 47.111, у x1 и x2 – все знаки верные. u=47.132-47.111=0.021

x1=0.0005 и x2=0.0005, следовательно u= x1+ x2=0.001

		Найдем верные знаки разности u
2: 0.005>0.001: цифра 2 – верная
1: 0.0005>0.001: цифра 1 – сомнительная				одна верная цифра.
x		0.0005	0.00001 ;
1	47.132

12

x2 0.000547.111 0.00001;u 0.0010.021 0.05 .

u в 5000 раз больше x1 и x2.

3. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя:

u ba u a b .

4. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел:

u a b u a b .

5. Относительная погрешность m-й степени числа в m раз больше относительной погрешности самого числа:

u am u m a .

6. Относительная погрешность корня m-й степени неотрицательного числа в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа:

u m a u m1 a .

Общее правило оценки погрешности функции:

1)y=f(x), x a, y=dy ( y – приращение функции можно заменить дифференциалом).

y= f (a) a

2)y=f(x,y,z), x a, y b, z c

y= f (a,b,c) a+ f (a,b,c) b+ f (a,b,c) c

Пример: найти абсолютную и относительную погрешности

площади круга.

S= R2S=R2 +2 R R

13

S	S				R2 2 R R				2 R
		S			R2				R

1.4Источники погрешностей

На общую погрешность задачи влияет множество различных причин. Пусть S – точное значение результата решения задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо

S будет получен результат, который обозначим S1. Образовавшаяся погрешность 1=S-S1 не может быть далее устранена (неустранимая погрешность).

Приступив к решению задачи в рамках математической модели,

мы выбираем приближенный метод и тем самым допускаем новую погрешность, приводящую к получению результат S2. Погрешность

2=S1-S2 называют погрешностью метода.

Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Это обстоятельство, а также неизбежность округлений приводят к получению результата S3, отличающего от S2 на величину вычислительной погрешности 3=S2-S3.

Наличие в формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно, также вносит в конечный результат погрешность.

Полная погрешность получается как сумма всех погрешностей.

При решении конкретных задач некоторые виды погрешностей могут отсутствовать или влиять на окончательный результат незначительно. Тем не менее, при решении задач нужно учитывать все погрешности.

Вопросы для самоконтроля:

14

1.Что называется абсолютной и относительной погрешностью приближенного числа?

2.Что называется значащей цифрой числа?

3.Что называется верными знаками числа?

4.Сформулировать правила оценки предельных погрешностей при выполнении операций над приближенными числами.

5.Источники погрешностей.

Лабораторная работа № 1

Задания:

1. Округляя точное значение A до трех значащих цифр,

определить абсолютную и относительную погрешности полученного приближенного значения.

2. Определить абсолютную погрешность приближенного значения

aпо его относительной погрешности .

3.Решить задачу: при измерении длины с точностью до 5 м

получено км, а при определении другой длины с точность до 0,5 см,

получено м. Какое измерение по своему качеству лучше?

4.Определить количество верных знаков n в числе x , если известна его предельная абсолютная погрешность х.

5.Определить количество верных знаков в числе а, если известна его предельная относительная погрешность a .

6.Найти сумму приближенных значений xi ( i =1, 2, 3), считая все знаки xi ( i =1, 2, 3) верными, т.е. абсолютная погрешность каждого

слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности суммы.

Правило: Чтобы сложить числа, имеющие различные абсолютные погрешности, и найти погрешность суммы, следует:

15

1)выделить наименее точные числа, т.е. числа с наибольшей абсолютной погрешностью;

2)остальные числа округлять, сохраняя один запасной десятичный знак по сравнению с ранее выделенными наименее точными слагаемыми;

3)сложить числа, учитывая все сохраненные знаки;

4)полученные результаты округлить на один знак;

5)полную абсолютную погрешность суммы складывать из трех компонент:

а) суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

б) абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых

(с учетом знаков ошибок округления) из п.2;

в) заключительной погрешности округления результата из п.4.

7.Найти абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема цилиндра, если числовые значения высоты h и

радиуса основания R имеют все верные знаки.

8.Привести пример потери точности при вычитании двух близких

чисел.

								Таблица 1.1
		Числовые значения параметров к заданиям 1-4
	№	А	а	%			x	x
	варианта
	1	2.1514	132.67	0.1	17.52	2	0.3941	0.25 10 2
	2	0.16152	2.32	0.7	19.48	15	0.1132	0.1 10-3
	3	0.01204	35.7	1	1.7	55	38.2543	0.27 10-2
	4	1.225	0.896	10	13.2	12	293.481	0.1
	5	-0.001528	232.44	1	79.81	189	2.325	0.1 10-1
	6	-392.85	17.55	11	3.59	95	14.00231	0.1 10-3
	7	0.1545	4.872	5	15.7	71	0.00842	0.1 10-2
	8	0.003922	559.09	2.5	18.1	27	0.00381	0.1 10-4
	9	625.55	70.13	0.9	37.5	950	-32.285	0.2 10-2

16

10	7.392				6720			1	25.2	39			3.7812		0.25 10-2
11	0.7012				10.25			1.5	0.9	13			11.1332		0.1 10-3
12	-13.327				329			2	23.37	3			75.1814		0.1 10-2
															Таблица 1.2
	Числовые значения параметров к заданиям 5-7
№	а							x1	x2		x3			h		R
вapианта
1	1.8921		0.1 10-2				0.1834		345.4		9.27			3.49		8.6
2	0.2218		0.2 10-1				0.348		11.75		235.2			25.1		1.743
3	22.351			0.1%			0.0849		0.024		75.13			6.54		83.6
4	0.02422		0.5 10-2				0.145		321		78.2			2.52		14.1
	5
5	0.00013			0.15%			0.301		193.1		11.58			1.78		9.1
	5
6	6.3598			0.1%			398.5		-72.28		0.34567			1.183		48.2
7	0.11452			10%			197.6		23.44		0.22			56		7.2
8	48361			1%			201.55		0.17		20.1			6.5		0.52
9	592.8			2%			307.3		11.37		0.011			5.684		5.032
10	14.9360			1%			0.087		48.57		1.4			0.144		1.2
11	17.83		0.1 10-1				3.2		356.7		0.04811			71.61		4
12	3.175			0.1%			7.1948		34.56		0.1365			72.6		6.76

17

Глава II

Методы решения систем линейных уравнений

2.1 Общая характеристика методов решения линейных систем

Решение линейных систем является одной из самых важных и распространенных задач численных методов, потому что к решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные прикладные

задачи.

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две

группы: прямые и итерационные.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые		методы,	Итерационные					методы,
представляющие		собой конечные	позволяющие		получить			корни
алгоритмы для вычисления корней			системы с	заданной			точностью
системы (правило Крамера, метод			путем сходящихся			бесконечных
обратной матрицы, метода Гаусса).			процессов		(метод			простых
Прямые методы наиболее просты и			итераций, метод Зейделя). Суть
универсальны. Применяют прямые			методов:	задается			некоторое
методы,	если	количество	приближенное					решение.
уравнений меньше 200, в системе			Проводится		цикл	вычислений
мало нулей и определитель не			(итерация). В результате итерации
близок к нулю.			находим	новое		приближенное
			решение. Повторяем итерации до
			тех пор, пока не достигнем
			требуемой				точности.
			Итерационные		методы			(методы
			последовательных			приближений)
			применяют,		если	количество
			уравнений	больше		200,		матрица

18

плохо обусловлена, определитель близок к нулю.

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей в общем случае затруднительна.

Кроме решения систем линейных уравнений существуют другие задачи – вычисление определителя и обратной матрицы.

Определителем матрицы A n-го порядка называется число D,

равное

	a11	a12	...	a1n
D	a21	a22	...	a2n	( 1)k a1 a1 ...a1 , где	, ,..., пробегают все
	... ... ... ...
	an1	an2	...	ann

возможные n! перестановок номеров 1, 2, …, n; k – число инверсий в данной перестановке.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие

D≠0. В случае D=0 матрица называется вырожденной и либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

Матрица A 1 называется обратной по отношению к матрице A, если их произведение равно единичной матрице: A* A 1 A1 * A E .

Минором элемента aij называется определитель n-1-го порядка,

образованный из определителя матрицы A путем зачеркивания i-й

строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма i+j номеров строки i и

столбца j четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная, т.е.

19

a11

...

a1 j 1

a1 j 1

...

a1n

... ... ...

... ... ...

A ( 1)i j

ai 11

...

ai 1 j 1

ai 1 j 1

...

ai 1n

.

ij

ai 11

...

ai 1 j 1

ai 1 j 1

... ai 1n

... ... ...

... ... ...

an1

...

anj 1

anj 1

...

ann

Каждый

элемент

bij (i,j=1,…,n) обратной

матрицы B=A-1 равен

отношению

алгебраического

дополнения Aij

элемента aij исходной

матрицы A к значению её определителя D:

A

A

A

11

21

...

n1

D

D

D

A12

A22

...

An 2

D

D

D

.

... ... ...

...

A

A

A

1n

2n

...

nn

D

D

D

2.2 Прямые методы решения систем линейных уравнений

Приведем ряд точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод обратной матрицы

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

	a11x1 a12x2 a13x3 ... a1n xn							b1,
			a22x2 a23x3 ... a2n xn b2
	a21x1									,	(2.1)
	.................................................
	a	x a x a			x ... a	nn	xn b .
		n1 1	n2 2		n3 3				n
				a	a ...	a
				11	12	1n
	Обозначим через		A	a21	a22 ...	a2n			матрицу из коэффициентов
				...	... ...	...
					an2 ...
				an1		ann

	b
		1
при неизвестных системы (2.1), через	b2			столбец свободных
	B	...
	bn

20