ChM1

		( )
{	(	)	∑	( )	(2.13)
	(				)
	Иногда выгоднее приводить систему (2.11)					к виду (2.12) так, чтобы
коэффициенты				. Например, уравнение:		для

применения метода последовательных приближений можно записать в

виде:							.
	Вообще, имея систему:
∑				(			)
можно положить, что							( ) ( ), где ( ) .
	Тогда данная система эквивалентна приведенной системе:
		∑		(			)
				( )
где									при i≠j.
	( )			( )				( )

Процесс итераций (2.13) хорошо сходится, т.е. число приближений,

необходимых для получения корней системы (2.11) с заданной

точностью, невелико, если элементы матрицы малы по абсолютной

величине. Иными словами, для успешного применения процесса итераций модули диагональных коэффициентов системы (2.11) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы.

Условием остановки итерационного процесса является условие незначительного отличия корней найденных в соседних итерациях:

| ( ) ( )| .

Пример: решить систему методом простой итерации

{

31

Решение: диагональные коэффициенты 4, 3, 4 значительно преобладают над недиагональными коэффициентами, следовательно,

сходимость процесса итераций хорошая.

Приведем эту систему к нормализованному виду (2.12):

{

или в матричной форме: ( )=( ) (

) ( );

За нулевые приближения корней системы принимаем:

( )	( )	( )	.

Подставляем эти значения в правые части нормализованной системы и получим первые приближения корней:

( )

{( ) ( )

Далее подставляя первые приближения в правые части

нормализованной системы, получим вторые приближения корней и т.д.

Последовательность приближений ( ) ( ) ( ) должна иметь

предел, этот предел и будет решением системы.

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-ые приближения неизвестных x1, x2, …, xi-1.

Пусть дана нормализованная линейная система:

∑ (

)

32

Выберем		произвольно	начальные	приближения
корней ( )	( )	( ), стараясь,	чтобы они в какой-то мере
соответствовали искомым неизвестным x1, x2, …, xn.
Далее,	предполагая, что k-е		приближения корней	( ) известны,

согласно Зейделю будем строить (k+1)-ые приближения корней по следующим формулам:

( )	∑	( )
( )	( ) ∑	( )

	(	)	∑	(	)	∑	( )	(2.14)
{	( )		∑	( )		( )(		)

Обычно метод Зейделя даёт лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но он приводит к более громоздким вычислениям.

Процесс Зейделя может сходиться даже в том случае, если расходиться процесс итераций. Возможны и обратные случаи.

Процесс останавливаем, после выполнения условия:

| ( ) ( )| .

Пример: решить систему методом Зейделя

{

Решение: приведем систему к нормализованному виду:

{

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

( ) ( ) ( ) .

Применяя метод Зейделя, последовательно получим:

33

{

{

( )

( )

( )

( )

( )

( )

и т.д.

Вопросы для самоконтроля:

1.К какому типу методов, прямым или итерационным, относится метод Гаусса?

2.В чем заключается прямой и обратный ход в схеме Гаусса?

3.Как вычисляется невязка?

4.Метод обратной матрицы и правило Крамера для решения систем линейных уравнений.

5.Как вычисляется определитель и обратная матрица методом

Гаусса?

6.Метод Зейделя для вычисления корней системы линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа № 2

Задание:

1.Методом Гаусса:

a)решить систему линейных уравнений и вычислить невязку;

b)вычислить определитель;

c)найти обратную матрицу.

2.Методом Зейделя и методом итераций с точностью до 0.001

решить систему линейных уравнений и вычислить невязку.

34

							Таблица 2.1
			Данные к заданию 1
№ варианта		Коэффициенты при неизвестных:
							Свободный
	X1		Х2	ХЗ		Х4	член
	8.30		2.62	4.10		1.90	-10.65
1	3.92		8.45	7.78		2.46	12.21
	3.77		7.21	8.04		2.28	15.45
	2.21		3.65	1.69		6.99	-8.35
	7.5		2.6	1.3		8.1	5.7
2	6.4		3.3	-2.4		1.7	-2.1
	0.1		-2.3	0.8		-5.7	4.6
	8.2		0.1	-5.3		-7.6	5.1
	6.5		3.8	-4.1		1.2	9.92
3	7.1		-2.7	-1.4		1.4	6.95
	-1.8		-1.0	4.3		1.3	7.91
	1.5		-3.4	7.8		-1.8	15.09
	-3.0		2.0	-4.0		5.0	12.29
4	2.0		-1.0	1.0		-11.5	-12.69
	1.0		-3.0	-2.0		2.7	13.10
	5.0		-1.0	3.0		7.8	56.93
	6.0		-1.0	-1.0		11.2	26.25
5	-1.0		6.0	-1.0		5.7	39.59
	-1.0		-1.0	6.0		3.4	46.53
	2.0		-1.0	3.0		-1.40	10.22
	0.7		-1.0	3.0		4.0	0.09
6	1.0		1.0	-8.0		24.0	10.11
	3.0		-0.5	-2.4		8.75	1.01
	8.0		7.0	-0.7		10.1	0.92
	1.0		-6.0	12.0		-5.0	7.12
7	-3.0		7.0	2.0		-1.0	7.89
	6.0		-5.0	-4.0		1.0	9.38
	1.0		2.0	-1.0		1.0	11.19
	1.0		-3.0	4.0		5.0	7.94
8	-3.0		2.0	-1.0		3.0	1.86
	-2.0		3.0	2.0		0.0	-3.89
	4.0		-1.0	-4.0		-6.0	15.54
	2.0		1.0	-1.0		0.0	7.44
9	3.0		2.0	-4.0		9.0	0.87
	3.0		-2.0	-2.0		3.0	4.85
	0.0		2.0	1.0		-5.0	9.45
	5.0		0.0	4.0		1.0	-1.38
10	2.0		3.0	-4.0		2.0	0.34
	-1.0		2.0	1.0		3.0	-4.99
	1.0		4.0	-2.0		0.0	1.88
	-1.2		6.0	9.0		1.1	1.1
11	6.1		3.7	-6.1		7.6	7.02
	-9.2		6.1	13.1		1.6	12.9
	11.1		7.6	16.9		-2.8	15.6

35

		4.0	2.0	6.3	8.	-1.82
	12	2.1	5.2	-5.3	1.0	2.39
		-6.2	5.1	1.4	1.7	-4.28
		8.1	0.1	1.7	3.0	6.81

Таблица 2.2

Данные к заданию 2

	№ варианта	Коэффициенты при неизвестных:
		X1	Х2	ХЗ	Свободный член
		2.7	3.3	1.3	2.1
	1	3.5	-1.7	2.8	1.7
		4.1	5.8	-1.7	0.8
		1.7	2.8	1.9	0.7
	2	2.1	3.4	1.8	1.1
		4.2	-1.7	1.3	2.8
		3.1	2.8	1.9	0.2
	3	1.9	3.1	2.1	2.1
		7.5	3.8	4.8	5.6
		9.1	5.6	7.8	9.8
	4	3.8	-5.1	2.8	6.7
		4.1	5.7	1.2	5.8
		3.3	2.1	2.8	0.8
	5	4.1	3.7	4.8	5.7
		-2.7	1.8	1.1	3.2
		7.6	5.8	4.7	10.1
	6	3.8	4.1	2.7	9.7
		2.9	2.1	3.8	7.8
		3.2	-2.5	3.7	6.5
	7	0.5	0.34	1.7	-0.24
		1.6	2.3	-1.5	4.3
		5.4	-2.3	3.4	-3.5
	8	4.2	1.7	-2.3	2.7
		3.4	2.4	7.4	1.9
		3.6	1.8	-4.7	3.8
	9	2.7	-3.6	1.9	0.4
		1.5	4.5	3.3	-1.6
		5.6	2.7	-1.7	1.9
	10	3.4	-3.6	-6.7	-2.4
		0.8	1.3	3.7	1.2
		2.7	0.9	-1.5	3.5
	11	4.5	-2.8	6.7	2.6
		5.1	3.7	-1.4	-0.14
		4.5	-3.5	7.4	2.5
	12	3.1	-0.6	-2.3	-1.5
		0.8	7.4	-0.5	6.4

36

Глава III

Приближенные методы решения нелинейных уравнений

3.1Вводные замечания

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения – это

уравнения, которые содержат только алгебраические

функции, трансцендентные уравнения – это уравнения, содержащие какие-либо другие функции.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в

виде некоторого конечного соотношения (формулы). Очень часто

встречаются уравнения, которые не удается решить обычными

способами,	для их решения используют итерационные методы
или методы	последовательных	приближений.	Приближенное
нахождение	действительных корней уравнения		f (x) 0 обычно

складывается из двух этапов:

a) отделение корней, т. е. установление возможно малых промежутков a, b , в которых содержится единственный корень уравнения f (x) 0 .

b) вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью

.

Приближенное значение корня может быть найдено различными способами, если исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b, в которых непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков f (a) f (b) 0 , в этом случае между точками a и b есть точка, в которой f (x) 0 . Этот процесс называется отделением корней.

37

Пусть дано уравнение			f (x) 0 , где функция			f (x) определена и
непрерывна	в некотором	интервале a x b. Всякое				значение	, при
котором f ( ) 0 , называется корнем уравнения					f (x) 0 .
Будем	предполагать,		что	уравнение	f (x) 0 имеет		лишь
изолированные корни, т.		е.	для	каждого корня		уравнения	f (x) 0

существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если f : a,b R – непрерывная, строго монотонная функция и f (a) f (b) 0 , то

на отрезке существует корень уравнения f (x) 0 .

Укажем некоторые способы отделения корня для случая x R :

1. Составляется таблица значений функции y f (x) на

промежутке изменения аргумента x , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения f (x) 0 находится между ними.

Пример: отделить корни уравнения: f (x) x3 6x 2 0

Решение: составляем приблизительную схему:

x	f(x)
-∞	-
-3	-
-1	+

0+

1-

3 +

∞+

Уравнение имеет три корня, расположенных в интервалах: (-3, 1);

(0, 1); (1, 3).

38

f ( 3) 0; f (1) 0; f (3) 0

2. Если существует производная функции f ' (x) и корни уравнения

f '(x) 0 легко вычисляются, то корни уравнения можно отделить

следующим образом: подсчитать знаки функции в точках нулей ее производной и в граничных точка a и b.

Пример: отделить корни уравнения: f (x) x4 4x 1 0 на отрезке [-3, 3].

Решение:

f ' (x) 4x3 4 4(x3 1) 4(x3 1) 0

x3 1 0 x 1

уравнение имеет два действительных корня,

которые расположены в интервалах (-3;1) и (1;3).

3. Строится график функции f (x) 0 на промежутке изменения

аргумента x , тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях

точек пересечения графика с осью OX . Если функция f (x) сложная, то

	уравнение	f (x) 0			заменяется равносильным: (x) (x) .				Строятся
	графики функций				y (x) и y (x) , тогда искомые корни находятся в
	некоторых окрестностях проекций на ось OX							точек пересечения этих
	графиков.
	Пример: графически решить уравнение x lg x 1.
	Решение: x lg x 1 lg x					1	корни уравнения могут быть найдены
						x
	как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой								y lg x и
	гиперболы	y	1	.	Построив		эти кривые,	приближенно	найдем
			x

единственный корень 2.5 уравнения x lg x 1.

39

Y

y=1/x

y=lgx

X

1	2	ξ	3

Рис. 3.1 Графическое отделение корня уравнения

3.2Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Метод бисекции (метод половинного деления)

Допустим, что мы отделили корень на отрезке a, b . Разделим

	отрезок a, b пополам точкой x	(a b)	. Если	f x 0 , то возможны два
		2

варианта: либо f (x) меняет знак на отрезке a, x , либо на отрезке x, b .

В каждом случае выбираем тот из отрезков, на котором функция меняет знак, второй отрезок, где функция свой знак не меняет, отбрасываем.

		b a		, где
	Продолжаем процесс деления до тех пор, пока				–
		2n
	точность.
	Y

a	X

x b

Рис. 3.2 Метод бисекции для решения нелинейных уравнений

40