ChM1

x0 , x1 ,...

Метод бисекции достаточно медленный, но всегда сходящийся, т.е.

при его использовании решение получается всегда.

Метод хорд

Допустим, что мы отделили корень на отрезке a, b . В этом методе итерационный процесс состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду,

находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

xk a	b a			f (a)
	f (b) f (a)
Процесс продолжаем до тех пор, пока				xk xk 1		, где – точность.

Y

A

x0 b

X

a

B

Рис. 3.3 Метод хорд для решения нелинейных уравнений

41

Алгоритмы метода бисекции и метода хорд похожи, однако метод хорд чаще дает более быструю сходимость итерационного процесса.

При этом результат его применения, как и в методе бисекции, тоже гарантирован.

Метод касательных (метод Ньютона)

Допустим, что мы отделили корень на отрезке a, b . Производные f ' (x) и f '' (x) сохраняют знак на всем интервале a, b . Проведем

касательную в точке (x0 , f (x0 )) . Точка пересечения касательной с осью

OX будет новым приближением корня. Для того чтобы точка

пересечения	касательной с		осью OX лежала	внутри отрезка		a, b ,
касательную	надо проводить		в точке x0 , где	знаки f (x0 )	и	f '' (x0 )
одинаковы. Иными словами,		должно выполняться условие:			f (x) f '' (x) 0

для x= x0 . Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

x

x

f (xk 1 )

, k 1,2,... .

k

k 1

f

'

(xk 1 )

Процесс продолжаем до тех пор, пока

xk xk 1

, где – точность.

Y

X

a

x1 b=x0

Рис. 3.4 Метод касательных для решения нелинейных уравнений

	Из формулы xk xk 1	f (xk 1 )			видно, что чем больше численное
		f	'	(xk 1 )
	значение производной f ' (x) ,			тем меньше значение		f (xk 1 )	, поэтому
						f ' (xk 1 )

42

метод Ньютона удобно применять, когда в окрестности корня график

имеет большую крутизну, если же	f	'	(x)	мало, то и значение	f (xk 1 )
					f ' (xk 1 )

велико и вычисление корня может оказаться долгим или совсем

невозможным. Следовательно, если кривая y f (x) вблизи точки

пересечения с осью OX почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f (x) 0 не рекомендуется.

Метод простой итерации

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнений

записывается в виде x (x) . Пусть известно начальное приближение

корня x x0 . Подставим это значение в правую часть уравнения x (x)

и получим новое приближение x1 (x0 ) . Далее,				подставляя каждый
раз, новое	значение	корня в	x (x) , получаем	последовательность
значений	xn 1 (xn )	(n 1,2,...) .	Итерационный процесс прекращается,

если результаты двух последовательных итераций близки: xn 1 xn .

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие ' (xn ) 1.

Y

y=x

y=φ(x)

B0

A0

B1

A1

X

ξ	x2	x1	x0

Рис. 3.5 Сходящийся итерационный процесс

43

Y

y=φ(x)

y=x

A0

B0

X

ξ

x0

x1

Рис. 3.6 Расходящийся итерационный процесс

3.3 Методы решения систем нелинейных уравнений

f1 (x1 , x2 ,..., xn ) 0,f2 (x1 , x2 ,..., xn ) 0,f3 (x1 , x2 ,..., xn ) 0.

Метод простой итерации

Систему уравнений представим в виде:

x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) – начальные приближения известны.

x(1)	(x(0)			, x(0)	,..., x(0) ),
1		1	1	2	n
(1)	2		(0)	(0)	(0)	),	и т.д.
x2			(x1	, x2	,..., xn
x(1)		3	(x(0)	, x(0)	,..., x(0) );
3			1	2	n

x1 1 (x1, x2 ,..., xn ),x2 2 (x1, x2 ,..., xn ),x3 3 (x1, x2 ,..., xn ).

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока результаты всех последовательных итераций не станут близкими xi(k ) xi(k 1) .

Метод Ньютона

Метод Ньютона имеет лучшую сходимость, чем метод простой итерации. В основе метода Ньютона использовано разложение функции

44

в ряд Тейлора, такое что члены, содержащие вторые производные и производные более высоких порядков, отбрасываются.

Задача состоит в нахождении приращений x1, x2 ,..., xn аргумента.

x1(1) x1(0) x1(1) , x2(1) x2(0) x21(1) ,

...........................,

xn(1) xn(0) xn(1) ,

т.е. общее решение: xi(k ) xi(k 1) xi(k ) .

Для этого функции f1, f2 ,..., fn разложим в ряд Тейлора

f

(x , x

,..., x

)

f

(x(0)

, x(0)

,..., x(0) )

f1

x

f1

2

n

1

1

1

1

2

n

x1

1

x2

f2

f2

f

(x , x

,..., x

)

f

(x(0)

, x(0)

,..., x(0) )

x

x

x

2

1

2

n

2

1

2

n

1

2

1

......................................,

fn

fn

f

(x , x

,..., x

)

f

(x(0) , x(0)

,..., x(0) )

x

x

x

n

1

2

n

n

1

2

n

1

2

1

x2 ... f1 xn ,xn

x2 ... f2 xn , (3.1)xn

x2 ... fn xn .xn

Правые части системы (3.1) приравниваем к 0, значения функций в точках перенесем вправо и получим:

f1

x

f1

x

1

x

2

1

f2

f2

x

x1

1

x2

f

n

f

n

x

x

x

1

2

1

x

...

f1

x

f

(x(0)

, x(0)

,..., x(0) ),

2

n

xn

1

1

2

n

x

...

f2

x

f

(x(0) , x(0) ,..., x(0) ),

xn

(3.2)

2

n

2

1

2

n

......................,

x

...

fn

x

f

(x(0)

, x(0)

,..., x(0) ).

2

n

n

xn

1

2

n

Для существования единственного решения системы определитель должен быть отличным от нуля, на каждой итерации.

			f1	...	f1
Определителем системы (3.2) является якобиан	J		x1		xn		.
		... ... ...
			fn	...	fn
			x1		xn

Запишем систему (3.2) в матричном виде, для этого введем в

рассмотрение матрицы

45

f1 F f2

fn

(x(0) , x(0) ,..., x(0) )
1	2	n
(x(0) , x(0) ,..., x(0) )				,
1	2	n
	...
(0)	(0)	(0)
(x1	, x2	,..., xn	)

x1					f		f
					1	...	1
					x1		xn
x2		,							, тогда систему (3.2)
			J1				...
X				... ...
...					fn	...	fn
					x1
xn							xn

можно записать в виде J1 X F (3.2'). Отсюда можно найти X :

J1 1J1 X J1 1F X J1 1F .

Итерационный процесс решения системы продолжается пока не станет истинным условие xi .

Пример:

решить

систему

f (x, y) 2x3 y2 1 0,

,

нулевые

1

f2 (x, y) xy3 y 4 0.

приближения x(0) 1.2; y(0)

1.7 .

Решение:

найдем

значения

функций в точке

(x(0) , y(0) ) :

f (x(0) , y(0) ) 0.434; f

0.434

(x(0) , y(0) ) 0.1956, F

.

1

2

0.1956

f1

f1

6x2

2 y

3.4

J

x

y

8.64

97.955 .

f2

f2

y3

3xy2 1

4.913

9.404

x

y

J11 J12 J21 J22

Найдем матрицу обратную для							J			6x2		2 y				8.64		3.4		:
								1			3		2
										y		3xy					4.913	9.404
														1
9.404
4.913	J 1		1		9.404	3.4
							.
3.4	1		97,955		4.913	8.64
8.64

Найдем приращения x; y :

	1	9.404		3.4			0.434					1				0.434 * 9.404 0.1956 * 3.4
	97.955		4.913 8.64				0.1956					97.955				0.434 * ( 4.913) 0.1956 *8.64
	1		4.08	0.67				1			3.41					0.0348
																	.
	97.955		2.132	1.69				97.955			3.822					0.039

Таким образом, получаем первые приближения корней:

x(1) x(0) x(1)	1.2 0.0348 1.2348,
y(1) y(0) y(1)	1.7 0.039 1.661.

46

Мы провели первую итерацию, далее повторяем все действия заново с новыми приближениями x и y. Итерационный процесс решения системы продолжается пока приближения x и y, найденные в последовательных итерациях не станут близкими.

Вопросы для самоконтроля:

1.Отделение корней.

2.Метод бисекции.

3.Метод касательных.

4.Метод хорд.

5.Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Лабораторная работа № 3

Задания: Найти корень данного уравнения f x 0 (см. таблицу) с

точностью до 10 6 :

1)методом бисекции;

2)методом касательных;

3)методом хорд.

Порядок выполнения работы:

1.Отделить корень уравнения.

2.Составить программу вычисления корня заданного уравнения методом бисекции. В программе предусмотреть:

a)повторение ввода при неверных исходных данных;

b)подсчет числа итераций, необходимых для достижения заданной точности;

c)проверку правильности результата путем вычисления невязки левой части уравнения.

3.Составить программу вычисления корня методом касательных.

Впрограмме предусмотреть:

47

a)вычисление количества сделанных итераций;

b)вычисление невязки;

c)проверку ввода начального приближения.

Провести вычисления при трех различных начальных приближениях. Проанализировать результаты на сходимость метода.

4.Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.

5.Составить программу вычисления корня методом хорд. В

программе предусмотреть:

a)подсчет количества итераций;

b)подсчет невязки;

c)проверку ввода начальных приближений.

				Таблица 3.1
		Данные к заданию
	№	Уравнение	№	Уравнение
	варианта		варианта

1		x cos 0.387x 0				7	e x x2 2 0
					2 cos x 0		x2 cos x 2 0
2				x		8
	2
3		tg x x 3 0				9	x arccos x 0
	4
4		ctg1.05x x2 0				10	e 2 x 2x 1 0
	0.9x arctgx 0.1 0
5						11		x 1 x2 1
6	2x arcsin x 0.1 0					12	sin(x 1)			x
							2

48

Глава IV

Аппроксимация функций

4.1Постановка задачи. Вводные замечания

Пусть величина y является функцией аргумента x – любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Достаточно часто неизвестна явная связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде зависимости y=f(x), иногда она известна, но настолько громоздка, что ею трудно воспользоваться при расчетах.

Встречаются случаи, когда вид связи между y и x неизвестен, но эта связь задана в виде некоторой таблицы xi , yi – множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений функции.

Данные значения это либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике иногда могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от xi, получить их можно путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, мы пришли к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра y при любом значении параметра x.

Данной цели служит задача об аппроксимации (приближении)

функции: данную функцию f(x) требуется аппроксимировать

(приближенно заменить) некоторой функцией φ(x) так, чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция

φ(x) при этом называется аппроксимирующей функцией

(приближающей).

Возможные виды аппроксимации: если приближение строится на дискретном множестве точек xi , то аппроксимация называется точечной (интерполирование – случай точечной аппроксимации). При

49

построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной.

На отрезке a, b заданы точки x0 , x1,..., xn и значения некоторой функции в этих точках f (x0 ) y0 , f (x1 ) y1 ,..., f (xn ) yn .

Требуется построить функцию (x) , принадлежащую известному классу и принимающую в заданных точках xi те же значения, что и

функция f (x) , т. е. f (xi ) (xi ) , ( i 0,1,2,..., n ).

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y (x)

некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему

точек Mi (xi , yi ) (i 0,1,..., n)

Y

0

X

Рис. 4.1 Аппроксимация функции

Суть интерполирования:

для

данной функции y=f(x) нужно

построить

многочлен

(x) a

a x a x2 ... a xm , принимающий в

0

1

2

m

заданных точках xi такие же значения

yi , что и функция f(x), т.е.

f (xi ) (xi )

(i 0,1,..., n) .

При

этом

(x)

называют интерполяционным

многочленом, а xi - узлами интерполяции.

Проведем некоторую классификацию интерполяции.

50