ChM1

				x
					1
	членов матрицы (2.1)	и через	X	x2			столбец неизвестных. Тогда
				...
				xn
	систему (2.1) можно записать в виде матричного уравнения:
		AX B
	Если матрица A невырожденная, т. е. ее определитель не равен 0,
	то существует обратная матрица		A 1 .		Умножая обе части уравнения
	AX B на матрицу A 1	слева, получим:			A 1 AX A 1B X A 1B .

3x1 x2 5,

Пример: 2x1 x2 x3 0,

2x1 x2 4x3 15.

Решение:

3		1	0			5				x
										1
A	2	1 1			,	B	0		,	X x2	.
	2	1	4			15				x
										3

A* X B X A 1 * B .

Найдем обратную матрицу A-1

			3							1								0
		2 1																1	12 2 8 3 5 0 ,
			2							1								4
A 1			1										A					,
					det A									ij
											1
A				1										4 1 5 ,
11					1						4
A									2					1
																		8 2 10 ,
12									2				4
A					2								1					2 2 0 ,
13					2						1
A								1					0			4 ,
21									1				4

21

A							3			0	12 ,
22							2			4
											1							3 2 1,
A								3
23									2		1
							1
A										0			1,
31						1				1
													0
A								3										3,
32									2				1
												1						3 2 1,
A							3
33							2						1
										5					4					1
A 1					1
									10 12											3 .
					5
										0					1
																				1
					Проверка: A* A 1 E
		5 4											1 3										1	0					15 8 2							5 4 1					4 4
1																					2							1				24 6			10 12 3 12 12
		10 12													3 *								1 1							30
5																												5
				0 1									1								2		1	4							2 2						1 1				1 4
		5			0					0								1			0	0
1
			0 5							0									0 1			0
5
			0		0					5									0		0	1
															5 4							1		5								25 15					10		2
X A 1B													1																	1					1
															10 12							3		* 0								50 45					5			1	.
													5																	5					5
																		0 1														15								3
																							1	15													15

Таким образом, получили: x1=2, x2=1, x3=3.

Формулы Крамера

Для матрицы A порядка выше 4 нахождение обратной матрицы является трудоемким процессом и требует много времени, поэтому метод обратной матрицы достаточно редко употребляется при решении

практических задач.

22

Другим способом решения системы линейных уравнений является правило Крамера, согласно которому каждое неизвестное представляется в виде отношения определителей:

x

x

, x

x

2

, x

x

3

, …, x

x

n

, где

1

1

2

3

n

a11a12...a1n

a21a22...a2n 0 – определитель системы (2.1),

..................

an1an2...ann

b1a12 ...a1n

a11b1...a1n

a11a12 ...b1

x

b2 a22

...a2n

,

x

a21b2 ...a2n

, …,

x

a21a22

...b2

– дополнительные

1

..................

2

..................

n

..................

bn an2

...ann

an1bn ...ann

an1an2

...bn

определители, получающиеся из определителя путем замены его i-го столбца столбцом свободных членов системы (2.1).

		3x1 x2 5,
Пример: 2x1 x2 x3						0,
2x		x		2	4x	15.
	1				3
					1	0
			3
Решение:			2		1	1	5 0 .
			2		1	4

			1	0
		5
x		0	1 1		20 15 5 10 ,
1
		15	1	4
	3		5	0
x	2		0	1 10 40 45 5,
2

215 4

31 5

x	2					1 0 45 10 10 30 15 .
3
		2				1 15
x		x			10		2, x		x	2		5	1, x		x		15		3.
		1													3
1					5		2					5	3				5

23

Метод Гаусса

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера сводится к вычислению (n+1)-го определителя порядка n. Если число n

велико, то вычисление определителей является трудоёмкой операцией,

поэтому разработаны прямые методы нахождения корней линейной системы. Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса. Данный метод основан на приведении матрицы к треугольному виду, что достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.

Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

a11x1 a12x2 a13x3 a14x4 a15,
			a22x2		a23x3 a24x4				a25
a21x1										,	(2.2)
			a32x2		a33x3 a34x4				a35,
a31x1
a x a x a x a x a .
	41	1	42	2	43	3	44	4	45

Пусть a11 0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого

уравнения

системы

(2.2)

на a11 ,

получим:

x b x

b x

b

x

b (2.3),

где b

a1 j

, ( j 2,..,5) .

1

12

2

13

3

14

4

15

1 j

a11

Пользуясь уравнением (2.3), легко исключить из системы (2.1)

неизвестную

x1 .

Для этого достаточно из второго уравнения системы

(2.1) вычесть уравнение (2.3), умноженное на a21 , из третьего уравнения системы (2.1) вычесть уравнение (2.3), умноженное на a31 и т. д. В

результате получим систему

(	)	( )	( )	( )
(	)	( )	( )	( )	(2.4),
{ (	)	( )	( )	( )
где коэффициенты aij(1) ,		(i, j 2) вычисляются по формуле

24

aij(1) aij ai1b1 j , (i, j 2) .

Разделив коэффициенты второго уравнения системы (2.4) на

«ведущий элемент» a22(1) ( a22(1) 0 ), получим уравнение

x2 b23x3 b24x4 b25 (2.5),

a(1)

где b2 j 2 j , ( j 3,..,5).

a22(1)

Исключая x2 таким же способом, каким мы исключили x1 , получим следующую систему уравнений:

( )

( )

( )

(2.6),

{

( )

( )

( )

где a(2)

a(1)

a(1)b

,

(i, j 3).

ij

ij

i 2 2 j

Разделив коэффициенты

третьего

уравнения

системы (2.6) на

«ведущий элемент»

a(2)

( a(2)

0 ), получим: x

b

x

b

(2.7),

33

33

3

34

4

35

где b

a3(2)j

, ( j 4,5).

3 j

a33(2)

Исключив теперь x3 аналогичным путем из системы (2.6), будем

иметь:

(2.8),

где

где

( )

{

aij(3) aij(2) ai(32)b3 j , (i, j 4).

a(3)

Отсюда x4 a45(3) b45 (2.9) ( a44(3) 44

a(3)

b4 j 4 j , ( j 5).

a44(3)

( )

0 ),

Получим систему:{

(2.10)

25

Неизвестные последовательно определяют из системы уравнений

(2.10).

Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (2.10), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех «ведущих

элементов».

Процесс нахождения коэффициентов bij треугольной системы

называют прямым ходом, процесс получения значений неизвестных – обратным ходом метода Гаусса.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в k-м

столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставит уравнение так, чтобы этот элемент оказался на месте akk. Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что

способствует снижению погрешностей вычисления.

Полученные методом Гаусса приближенные корни можно уточнить. Для этого нужно найти невязку для приближенного решения.

Пусть x – приближенный корень системы					Ax B , а x x – точный
корень уравнения, т. е. A x B ,			A	– невязка, тогда B Ax .
	3x1 x2	5,
Пример: 2x1 x2 x3 0,
2x	x 4x 15.
1	2	3

Решение:

26

														1							5							1								5						1					5
																											1				0										1					0
3		1		0 5						1							0												3					3								3					3
															3					3									1					10								1					10
	2 1			1 0								2 1 1								0							0				1										0					1
																													3					3								3					3
	2 1			4 15								2		1 4						15
																											2 1 4							15								1					35
																																									0					4
																																										3					4
		1		5									1					5									1				5
	1		0							1					0									1					0
		3		3									3					3										3			3
	0 1		3 10								0 1 3 10														0 1 3 10
	0	1	4		35						0 0 5 15														0 0 1 3
		3		4

x3 3,

x2 10 3x3 1, x1 53 13 x2 2.

Применение метода Гаусса для вычисления определителей и

нахождения обратной матрицы.

При решении системы

a x a x ...					a x a			,
11		1	12 2		1n n		1n 1
a21x1 a22x2 ...					a2n xn a2n 1,
								,
..........			..........	..........	..........		..........
a	n1	x a		x ...	a	x a
		1		n2 2		nn n	nn 1.

по методу Гаусса мы заменяли матрицу

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
A
... ...		...	..
	an2	...
an1			ann

исходной системы, треугольной матрицей

1		b	...	b
		12		1n
	0	1	...	b2n
B ... ...			...	...
	0	0	...	1

эквивалентной треугольной системы. Элементы треугольной матрицы последовательно получались из матрицы исходной системы и вспомогательных матриц с помощью следующих элементарных преобразований:

27

det A

1) деления на «ведущие элементы» a11, a22(1) ,..., ann(n 1) , которые предполагались отличными от нуля;

2) вычитания из строк исходной матрицы и промежуточных матриц чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.

При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий «ведущий» элемент, при второй – определитель матрицы остается неизменным. Поэтому

det B 1 a11a22(1) ...ann(n 1) .

Следовательно,

det A a11a22(1)...ann(n 1) ,

т.е. определитель равен произведению «ведущих элементов» для соответствующей схемы Гаусса.

Пример: в предыдущем примере ведущие коэффициенты были

равны 3, 1/3, 5, следовательно, det=3*1/3*5=5.
Для нахождения обратной матрицы A 1 xij				используем
соотношение AA 1	E , где E – единичная матрица.
Перемножая матрицы A и A 1 , будем иметь n систем уравнений
относительно n2 неизвестных xij
	n
	aik xkj	ij	(i, j 1,2,..., n),
	k 1
где
		ij	1,i j,
			0,i j.
Полученные	n систем	линейных уравнений для		j 1,2,..., n,

имеющих одну и ту же матрицу A и различные свободные члены,

одновременно можно решить методом Гаусса.

28

3x1 x2 5,

Пример: 2x1 x2 x3 0,

2x1 x2 4x3 15.

Решение:

																				1						1													1
																			1				0								0 0											1
3					1			0 1 0 0												3						3											1				0				0 0
																																							3			3
	2 1																			1						2
								1 0 1 0											0				1								1 0						0 1 3 2									3 0
		2 1																		3						3
								4 0 0 1												1				2													0 0 5 0						1 1
																			0				4								0 1
																				3						3
				1																1				1																			4				1
								1									1						0			0					0					1 0 0 1
	1						0			0 0										3				3																			5			5
					3			3
																											12 3																12 3
	0 1						3 2 3 0											0 1					0 2					5			5							0 1 0 2						5			5
											1 1
	0 0						1 0																			1					1												1			1
											5 5							0 0					1 0															0 0 1 0
																										5					5												5			5
		5			4			1
1
		10			12			3 .
5
			0		1			1

2.3 Итерационные методы решения систем линейных

алгебраических уравнений

При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами.

Рассмотрим такие методы.

Метод простых итераций

Пусть дана линейная система

{

(2.11)

29

Введем в рассмотрение матрицы

a		a	...	a
	11	12		1n
a21		a22	...	a2n
A	... ... ... ...					,
		an2	...
an1				ann

b
	1
b2
B	...		,
bn

		x
			1
	X	x2			и запишем систему (2.11) в виде
			...
		xn

матричного уравнения

(2.11').

Предполагая, что диагональные коэффициенты aii≠0 (i=1,2,…,n)

разрешим первое уравнение системы (2.11) относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Тогда получим эквивалентную систему

{

(2.12),

где		,		при i≠j и	при i=j (i, j=1,2,…,n).

Введем матрицы

		a	a	...	a
		11	12		1n
		a21	a22	...	a2n		и
		... ...		...	...
			an2	...
		an1			ann

	b
		1
	b2
		...	.
	bn

Далее запишем систему (2.12) в матричной форме

(2.12').

Систему (2.12) будем решать методом последовательных

приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных

членов ( )	.
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
( )	( ) – первое приближение,
( )	( ) – второе приближение и т.д.
Любое	(k+1)-е	приближение	корня вычисляют	по
следующей формуле ( )		( ) (k=0,1,2,…).
Запишем формулы приближений к корням в развернутом виде:

30