ChM1

В качестве φi(x) можно принять, например, интерполяционный

многочлен

Лагранжа

второй

степени,

проходящий

через

заданные точки: Mi-1(xi-1,yi-1), Mi(xi,yi), Mi+1(xi+1,yi+1):

(x xi )(x xi 1 )

(x xi 1 )(x xi 1 )

(x xi 1 )(x xi )

i (x)

yi 1

yi

yi 1

(x

1

x )(x

x

1

)

(x x

)(x x

)

(x

x

)(x

x )

i

i

i 1

i

i

i 1

i

i 1

i 1

i 1

i 1

i

1

y

(x x )(x x

) 2 y (x x

)(x x

) y

(x x

)(x x ) .

2h2

i 1

i

i 1

i

i 1

i 1

i 1

i 1

i

Y

Mi-1

Mi

Si

Mi+1

2h

X

xi-1

xi

xi+1

Рис. 5.5 Метод Симпсона

Элементарная

площадь

Si

может быть вычислена с помощью

определенного

интеграла.

Учитывая

равенства

xi 1

xi xi xi 1 h,

получаем:

xi 1

1

xi 1

Si

i (x)dx

yi 1 (x xi )(x xi 1 ) 2 yi (x xi 1 )(x xi 1 ) yi 1 (x xi 1 )(x xi ) dx

2h2

x

i 1

x

i 1

h

( y

4 y

y

).

3

i 1

i

i 1

Проведя подобные вычисления для каждого элементарного отрезка

[xi-1,xi+1], просуммируем полученные выражения и получим следующую формулу:

	b		h
	f (x)dx			( y0 yn 4( y1 y3 ... yn 1) 2( y2 y	4 ... yn 2 ))	(5.11),
	a	3
где h	(b a)	– шаг.
	n

Полученное выражение называется формулой Симпсона.

Формула Симпсона обладает более высокой точностью,

остаточный член погрешности метода Симпсона имеет вид:

71

b a

f IV ( )h4 .

90

Двойной пересчет по формуле Симпсона заключается в

следующем: первоначально отрезок a, b разбивается

на n частей с

шагом h

b a

. Вычисляется значение интеграла I

.

Потом

число

n

1

отрезков

удваивается, вычисляется значение интеграла I 2

с

шагом

h

b a

.

Условие окончания процесса принимается в виде

I1 I 2

.

2n

Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.

Квадратурная формула Гаусса

					b					b a	C1 f (x1 ) C		2 f (x2 ) ... Cn f (xn ) ,
					f (x)dx
					a				2
где x		b a		b a		t		( i 1,2,..., n )
							i
i		2	2
Значения ti			и Ci берутся из таблицы:
		n								ti										Ci
		1							t1 0									C1 2
		2						t1,2	0.577350						C1 C2 1
													C C							5	0.555556
								t1,3	0.774597										9
													1	3
		3						t2 0							8
													C2				0.888889
														9
								t1,4	0.861136				C C					4	0.347855
		4											1
								t2,3	0.339981				C2	C3						0.652145

5.6Квадратурная формула Ньютона-Котеса

				b
Для функции y f (x)			требуется вычислить интеграл ydx . Выбрав
				a
шаг h	b a	, разобьем отрезок		a, b с помощью равноотстоящих точек
	n

72

x0 a; xi x0 ih,(i 1,2,...,n 1); xn b на n равных частей, и пусть yi f (xi )

(i 0,1,..., n) .

Заменяя функцию y соответствующим интерполяционным

	полиномом	Лагранжа	Ln (x) ,		получим приближенную квадратурную
	xn	n
	формулу ydx Ai yi ,		где Ai		– некоторые постоянные коэффициенты.
	x0	i 0
	Введем явные выражения для коэффициентов Ai .
	n			(x x0 )(x x1 )...(x xi 1 )(x xi 1 )...(x xn )
	Ln (x) li (x) yi , где li		(x)			(5.12)
				(xi	x0 )(xi x1 )...(xi xi 1 )(xi xi 1 )...(xi xn )
	i 0

						(x)			(xi )		(5.13),
или более компактно li (x) (x xi							) '
							n 1
								n 1
где		(x) (x x0 )...(x xn ) ,
	n 1
'	(xi ) (xi		x0 )(xi		x1 )...(xi xi 1)(xi		xi 1)...(xi				xn ) .
n 1
Полагая, что x x0					th , будем иметь t0				0,t1 1,...,tn
Отсюда				(t) (t t0 )...(t tn ) t(t 1)(t 2)...(t n) ,
		n 1

'n 1 (ti ) (ti t0 )...(ti ti 1 )(ti ti 1)...(ti tn )

(i 0)(i 1)(i 2)...(i (i 1))(i (i 1))...(i n) ( 1)n i i!(n

(i 0)(i 1)(i 2)...(i (i 1)) i! и
(i (i 1))...(i n) ( 1)n i (i 1 i)...	(i n) ( 1)n i (n i)!

n , т.к. t x x0 .

h

i)!, т.к.

Подставим в (5.13):

		th)		(t)				(t)( 1)n i
	li (x0		n 1				n 1
			(t i)( 1)n i i!(n i)!				(t i)i!(n i)!

	n ( 1)n i				(t)
Ln (x0	th)			n 1	yi
		i!(n i)!
	i 0			t i

t[n 1] t(t 1)(t 2)...(t n) , тогда

n	( 1)	n i		t	[n 1]
Ln (x0 th)						yi (5.14).
i 0	i!(n i)! t i

73

xn

n

Заменяя в формуле ydx Ai yi

функцию y полиномом

Ln (x) ,

в

x0

i 0

xn ( 1)n i

t[n 1]

x x0

силу

формулы (5.14) получим: Ai

dx или, т.к.

t

,

x i!(n i)! t i

h

0

dt

dx

и при t 0

x x0

0 x x

0 x x ,

h

h

0

0

t n

x x0

n x x nh x x nh x x ,

h

0

0

n

сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:

( 1)n i

n t[n 1]

A h

dt (i 0,1,..., n) .

i

i!(n i)! t i

0

Т.к.

h

b a

, то

обычно

полагают:

A (b a)H

, где

n

i

i

H

1 ( 1)n i

n t[n 1]

dt (i 0,1,..., n) (5.15)

– постоянные,

называемые

i

n i!(n i)!

t i

0

коэффициентами Котеса.

Квадратурная формула при этом принимает вид:

b

n

ydx (b a) Hi yi

(5.16),

a

i 0

где h

b a

и y f

(a ih)

(i 0,1,..., n) .

n

i

i

Вопросы для самоконтроля:

1.Понятие определенного интеграла.

2.В чем заключается принцип двойного пересчета?

3.Геометрический смысл квадратурных формул?

4.Оценка точности квадратурных формул?

5.Формулы трапеции и прямоугольников.

6.Формула Симпсона.

7.Формула Ньютона-Котеса.

74

Лабораторная работа № 5

Задания:

1.С помощью интерполяционных формул Ньютона найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично (см. таблицу 5.1).

2.Вычислить приближенное значение определенного интеграла

a

f (x)dx от заданной функции (см. таблицу 5.2) по обобщенной формуле

b

трапеций, если число частичных отрезков задано: n=20 (составить программу). Оценить погрешность вычислений, пользуясь формулой остаточного члена.

3. Вычислить этот же интеграл по формуле средних прямоугольников. Оценить погрешность вычислений. Сравнить точность полученных по разным формулам результатов.

a

4. Вычислить определенный интеграл f (x)dx от заданной

b

функции (см. таблицу 5.3) с точностью до =10-6 по общей формуле Симпсона (составить программу с использованием формулы двойного пересчета).

a

5. Вычислить интеграл f (x)dx от заданной функции (см.

b

таблицу 5.4) по формуле Гаусса, применяя для оценки точности двойной пересчет (при n1 3 и n2 4 ).

								Таблица 5.1
					Данные к заданию 1
№				Значения функции					x
1	X	2.4	2.6		2.8	3.0	3.2	3.4	2.45
	У	3.526	3.782		3.945	4.043	4.104	4.155
2	X	2.4	2.6		2.8	3.0	3.2	3.4	3.15
	У	3.526	3.782		3.945	4.043	4.104	4.155
3	X	2.4	2.6		2.8	3.0	3.2	3.4	2.82
	У	3.526	3.782		3.945	4.043	4.104	4.155

75

4			X		3.6								3.8									4.0		4.2	4.4		4.6	4.44
			У		4.222								4.331									4.507		4.775	5.159		5.683
5			X		3.6								3.8									4.0		4.2	4.4		4.6	4.06
			У		4.222								4.331									4.507		4.775	5.159		5.683
6			X		3.6								3.8									4.0		4.2	4.4		4.6	3.86
			У		4.222								4.331									4.507		4.775	5.159		5.683
7			X		1.5								2.0									2.5		3.0	3.5		4.0	1.68
			У		10.517								10.193									9.807		9.387	8.977		8.637
8			X		1.5								2.0									2.5		3.0	3.5		4.0	3.16
			У		10.517								10.193									9.807		9.387	8.977		8.637
9			X		1.5								2.0									2.5		3.0	3.5		4.0	2.62
			У		10.517								10.193									9.807		9.387	8.977		8.637
10			X		4.5								5.0									5.5		6.0	6.5		7.0	5.76
			У		8.442								8.482									8.862		9.701	11.132		13.302
11			X		4.5								5.0									5.5		6.0	6.5		7.0	6.18
			Y		8.442								8.482									8.862		9.701	11.132		13.302
12			X		4.5								5.0									5.5		6.0	6.5		7.0	4.78
			Y		8.442								8.482									8.862		9.701	11.132		13.302
																											Таблица 5.2
																					Данные к заданию 2-3
	№											f(x)												a			b
	1												4											0			3
										(1 8x)2
	2												5											4			6
						(4x							3)3
	3				12																			0			1
						(4x							9)2
	4				17																			-3			-1
							(1 3x)3
	5												9											2			3
						(5x							7)2
	6												21											-2			0
									(6 7x)2
	7												3											-1			0
								(15x 9)3
	8				20																			1			4
									12x 5
	9												15											3			5
													x)3
					(2
	10												8											0			1
						(3x							4)2
	11												1											1			3
											x 2 1

76

12

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

№

1

2

3

4

		2																0			1
		(x						2)2
																							Таблица 5.3
																	Данные к заданию 4
						f(x)														a			b
							x												0.8			1.8
					1 x3
							x												0.8			1.8
						6 x3
																			0.6			1.6
						x x3
																			3			4
						x x4
							x												1			2
					1 x 2
						x 1													2			3
					1 x3
						x 1													3			4
						x3 1
		1 x 2																	1.3			2
						x3			1
							3x												0			1
					1 x3
						x 1													2			3
						x3 1
		1																	0.8			2.8
				2x 2 1
		1																	2			4
		2x 2						0.3
																							Таблица 5.4
																	Данные к заданию 5
						f(x)														a			b
							x	2												-0.5			1.3
						x 2			1
						x 2														2			3.2
						x 2			1
		x 2 0.5																		0.5			1.6
						x 2			1
							x	2												2.2			3.4
							x 1

77

5				x 0.5											1.2	2
							x	2		1
6							x 1								2.2	3.8
							x 2			2
7							x 2		1						0.2	2.4
						x		2
8								x							1	2.6
							x	2		3
9				0.5x 2											0.8	1.6
							x 2			1
10							x 1								-0.4	1.6
							x	2		1
11							x		2						-0.8	1.4
							x 2			4
12					x 0.5										2.6	3.4
					x 2			1.5

78

Глава VI

Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

6.1Постановка задачи. Вводные замечания

Пусть дано дифференциальное уравнение:

F(x, y, y' , y'' ,..., y(n) ) 0 .

Решением дифференциального уравнения называется функция

y (x) , которая после её подстановки в уравнение превращает его в

тождество.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения

порядка n содержит n произвольных постоянных c1, c2 ,..., cn , и общее уравнение имеет вид y (x, c1 , c2 ,..., cn ) .

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные

значения.

Для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в

общем решении, т.е. каков порядок уравнения.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существует два типа задач: задача Коши и краевая задача. Если условия задаются в одной точке, то это задача Коши, если более чем в одной

точке, то это краевая задача.

Разработано много различных приемов нахождения решений

дифференциальных уравнений через элементарные функции.

Однако весьма часто при решении прикладных задач эти методы либо неприменимы, либо их применение очень трудоемко. По этой причине для решения дифференциальных уравнений созданы приближенные

79

методы. Самым распространенным приближенным способом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем: область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

Такая замена называется аппроксимацией дифференциального уравнения на сетке. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка y' f (x, y) , заключается в отыскании функции y(x) ,

удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям y(x0 ) y0 ,

где x0 , y0 – заданные числа.

Самые распространенные разностные методы решения поставленной задачи: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

6.2Задача Коши. Метод Эйлера

Требуется найти функцию Y Y (x) , удовлетворяющую уравнению

	dY	f (x,Y ) (6.1)	и	принимающую	при	x=x0 заданное
	dx

значение Y0 : Y (x0 ) Y0 (6.2). При этом будем считать, что решение нужно получить для значений x>x0.

В данном случае воспользуемся разностным методом. Для этого введем последовательность точек x0, x1, … и шаги hi=xi+1-xi (i=0,1,…). В

каждой точке xi, называемой узлом, вместо значений функции Y (xi )

80