- •Содержание
- •2) Представление исходных данных.
- •3)Описание критерия аппроксимации и способа его минимизации.
- •. Применим операцию дифференцирования к параметру с1 :
- •И, выполняя необходимые алгебраические преобразования, получим уравнение
- •4)Описание метода вычисления коэффициентов нормальных уравнений.
- •5)Описание метода определения параметров аппроксимирующей функции (решение системы нормальных уравнений).
- •6)Схемы алгоритмов и их описание.
- •7)Kонтрольный расчет параметров аппроксимирующей функции (без использования компьютера).
- •8)Программы и результаты расчетов параметров на компьютере.
- •9) График
2) Представление исходных данных.
Заданные точки |
Базисные функции |
Метод решения | |||||||||
Xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
ln(x) |
x |
Метод Гаусса | ||
Yi |
2,41 |
2,85 |
3,91 |
5.2 |
9,8 |
3)Описание критерия аппроксимации и способа его минимизации.
Аппроксимирующую функцию φ(x) выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции, но остаются неопределенными (и подлежат определению) ее параметры С1, С2, …, Сm , т.е.
(x) = (x, С1, С2,…, Сm) . (2)
Для решения задачи подставим выражение (2) в выражение (1) и проведем необходимые операции суммирования. В результате величина J , критерий аппроксимации, представится функцией искомых параметров
J = J(С1, С2, …, Сm) . (3)
Последующие действия сводятся к отысканию минимума этой функции J переменных Сk . Определение значений Сk = Сk* , k = 1, 2, …, m , соответствующих этому минимуму J, и является целью решаемой задачи.
Поскольку величина J неотрицательна (как сумма квадратов) и нижняя ее граница есть 0 (J=0), то, если существующее решение системы единственно, оно отвечает именно минимуму J.
Уравнения, встречающиеся в МНК, называются нормальными, поэтому описываемый способ решения задачи условимся называть методом нормальных уравнений.
Структура этих уравнений получается более простой в том важном частном случае, когда аппроксимирующая функция (x) выбирается линейной функцией искомых параметров Сk и выражение (2) имеет вид
(4)
где Сk – определяемые параметры; 1(x), 2(x),…, m(x) – система некоторых линейно-независимых функций, называемых в курсовой работе базисными функциями.
Замечание. Функции 1(x), 2(x),…, m(x) называются линейно-независимыми, если при любых x равенство
справедливо только тогда, когда все Сk =0.
В этом случае, подставляя (4) в выражение (1) и выполняя дифференцирование, получим систему уравнений относительно искомых Сk .
Покажем получение системы нормальных уравнений в общем случае для m базисных функций. Раскроем выражение аппроксимирующей функции
(x) = С1 1(x) + С2 2(x) +…+ Сm m(x)
и подставим его в формулу критерия аппроксимации.
. Применим операцию дифференцирования к параметру с1 :
И, выполняя необходимые алгебраические преобразования, получим уравнение
4)Описание метода вычисления коэффициентов нормальных уравнений.
Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше операции по отношению к переменным С2 ,…,Сm . Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:
a11 С1 + a12 С2 +…+ a1m Сm = b1
a21 С1 + a22 С2 +…+ a2m Сm = b2 (5)
……………………………………………………………..
am1 С1 + am2 С2 +…+ am m Сm = bm ,
где коэффициенты ak l и величины bk (k, l = 1, 2,…, m) определяются выражениями
Уравнения (5) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.
Преимущество использования линейного представления аппроксимирующей функции (x) состоит в том, что в этом случае однозначно решается вопрос о минимуме величины J. Действительно, если решение системы линейных уравнений (9) существует, то оно единственно, поэтому необходимые условия являются в данном случае и достаточными условиями минимума функции J(С1, С2 ,…, Сm).