3.1. Разряд конденсатора через активное сопротивление

Разряд предварительно заряженного конденсатора через активное сопротивление (через резистор) является простейшим переходным процессом.

Пусть конденсатор ёмкостью С заряжен до напряжения U. В момент t=0 замыкается ключ К и конденсатор начинает разряжаться через активное сопротивление R. Так как здесь внешнего воздействия нет, то в цепи будет только свободный процесс.

Выбрав направление обхода, запишем для этой цепи второе уравнение Кирхгофа:

u_R−u_C=0,

или

iR−u_C=0. (1)

А так как для конденсатора ток i здесь является разрядным, то , и тогда, (2)

или ,

где −постоянная времени RC-цепочки.

Общее решение этого однородного уравнения имеет вид (проинтегрировать самостоятельно; однако, решение уравнения такого типа надо знать):

,

где А – коэффициент, определяемый начальным условием, т.е. − напряжением на конденсаторев первый момент после замыкания ключа К. Так как, по условию, до замыкания напряжение , а напряжение на конденсаторе скачком измениться не может (это привело бы к тому, что, тогда как в уравнении (2)и_С – конечно), то

(это второе правило коммутации).

Это даёт: А=U, и, следовательно,

. (3)

Отсюда видно, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе убывает в е раз:

2,7.

Реально время переходного процесса оценивается примерно в 3τ, когда напряжение уменьшается в е³ = 20 раз, или когда до установившегося значения осталось лишь 1/20 = 5 % от исходного напряжения U.

Пример. Пусть С=1 мкФ, R=1 кОм. Тогда время переходного процесса Δt_перх.=3τ=3RC=3 мс.

Теперь легко получить закон убывания тока в цепи:

.

Видно, что он точно такой же, как и закон убывания напряжения.

3.2. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RC

Рассмотрим теперь процесс заряда конденсатора через активное сопротивление R от генератора с постоянным напряжением U.

Пусть в момент t=0 замыкается ключ К. Тогда второе уравнение Кирхгофа для выбранного направления обхода контура будет таким:

,

или, так как i = C (du_C /dt),

, (4)

где −постоянная времени RC-цепочки.

Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного. Частное решение легко угадывается: и_{С частн.}=U (оно проверяется простой подстановкой). Тогда

.

Коэффициент А определяется из начального условия: и_С(+0)=и_С(−0)=0. Это даёт: А=−U; и тогда

.

Ток заряда

.

3.3. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RL

Процессы при коммутациях в цепи RL описываются такими же дифференциальными уравнениями, как и (2) или (4), поэтому подробнее остановимся лишь на некоторых специфических особенностях.

Второе уравнение Кирхгофа:

, или: .

Или: , (5)

где −постоянная времени цепи RL.

Общее решение неоднородного уравнения (5): i = i_однор.+i_частн.=.

Начальное условие:i(+0) = i(−0)=0 (ток через индуктивность скачком измениться не может, так как это противоречило бы уравнению (5)). Отсюда А=−U/R, и тогда

. (6)

Замечание 1. При R=0 (подключение напряжения U к идеальной индуктивности) уравнение (5) принимает вид: , откуда, т.е. ток в катушке линейно и бесконечно растёт (наклонный пунктир на рисунке). Это следует и из (6) при разложении экспоненты в ряд Тейлора по малому параметру (t/τ): .

Замечание 2. Если скачки тока через индуктивности и скачки напряжения на ёмкости запрещены, то скачки напряжения на катушке и тока на конденсаторе не противоречат уравнениям Кирхгофа.