- •18 Переходные процессы в простейших цепях Содержание
- •Переходные процессы в простейших цепях
- •1. Понятие о переходных процессах
- •2. Классический метод расчёта переходных процессов в цепях rlc
- •I(t)t→∞→ iчастн.(t).
- •3. Переходные процессы в простейших цепях 1-го порядка
- •3.1. Разряд конденсатора через активное сопротивление
- •3.2. Включение постоянного напряжения
- •3.3. Включение постоянного напряжения
- •3.4. Отключение постоянного напряжения
- •4. Переходные процессы в одноконтурной цепи 2-го порядка
- •4.1. Отключение постоянного напряжения
- •4.2. Включение постоянного напряжения
- •4.3. Воздействие длинными импульсами
- •4.4. Действие очень короткого импульса
- •4.5. Включение синусоидального напряжения
4.2. Включение постоянного напряжения
в последовательную цепь RLС
Пусть в моментt = 0 в последовательную цепь RLC включается постоянное напряжение U. Второе уравнение Кирхгофа при t > 0 будет таким:
. (1)
Далее можно пойти двумя путями. Либо, продифференцировав (1), заниматься уравнением для тока:
,
где − коэффициент затухания,− собственная частота. Оно точно такое же, как и в предыдущем разделе, только другими будут начальные условия. Либо, подставив в (1) выражение, получить уравнение для напряжения на конденсатореиС, решить его, а затем уже найти и ток i. Выберем, для определённости, второй путь. Для простоты, опустим у напряжения иС индекс, т. е. положим иС ≡ и, . Тогда уравнение (1) примет вид:
. (2)
Как и в предыдущем разделе, решение этого уравнения может быть как колебательным, так и апериодическим, в зависимости от соотношения между параметрами β и ω0. Рассмотрим вкратце два варианта, с учётом наработок, полученных в предыдущем разделе.
Вариант 1: > 0 (колебательный вариант).
Тогда общим решением уравнения (2) будет функция
. (3)
(здесь последнее слагаемое U – это частное решение неоднородного уравнения (2)).
Коэффициенты А и В находим из начальных условий. Первое начальное условие очевидно: и(0) = 0, откуда получаем: В = −U. Второе начальное условие для можно получить из соотношения: так какi(0) = 0, то и =0.
Это даёт: А = −(β/ω)U. И тогда
. (4)
При слабозатухающем процессе, когда β≪ω0, это выражение упрощается:
. (5)
Теперь из (4) после некоторых преобразований находим ток:
=. (6)
Видно, что здесь ток ведёт себя точно так же, как и в варианте 1 предыдущего раздела, а вот напряжение на конденсаторе – немного по-другому: его затухающие колебания происходят около уровня U. В первые моменты на конденсаторе возникает перенапряжение, почти в 2 раза превышающее приложенное напряжение U.
Вариант 2: (критический вариант).
Общим решением уравнения (2) в этом случае будет функция
. (6)
Подставив те же начальные условия и(0)=0 и в (6), получим:В=,. И тогда
. (7)
Ток i получаем из (7) после некоторых преобразований и учитывая, что в данном варианте = 1/(LC):
=,
т. е. ток и здесь точно такой же, как и в варианте 2 предыдущего раздела 5.1.
4.3. Воздействие длинными импульсами
на последовательную цепь RLС («звон контура»)
Из разделов 4.1 и 4.2 следует, что если на последовательный контур RLС подавать прямоугольные импульсы достаточно большой длительности:
τи ≫ Т= 2π/ω0,
то, в зависимости от соотношения между β и ω0, на конденсаторе С будут выделяться следующие картины напряжения:
Причём «звон» в контуре при скачках напряжения на нём будет тем дольше, чем больше добротность контура
.
4.4. Действие очень короткого импульса
на последовательную цепь RLC
Пусть в моментt=0 на последовательный контур RLС подействовали очень коротким прямоугольным импульсом напряжением U, длительностью τ ≪ Т, где Т=1/, т. е.
После действия импульса контур остаётся замкнутым, т. е. внутреннее сопротивление генератора импульсов равно нулю.
Исследуем процесс в контуре после действия такого импульса: i(t) и uC(t) при t > τ. Рассмотрим два варианта: R < Rкр и R = Rкр.
Решение. Действие на контур очень короткого импульса аналогично удару по шарику математического маятника: сразу после удара потенциальной энергии у шарика ещё нет, но импульс он уже получил.
Здесь аналогично: за время τ ток в катушке стал таким: , а напряжение на конденсаторепри малом τ − ещё практически нулевое.
Таким образом, при t > τ в контуре начнётся свободный процесс при начальных условиях: i(τ) =,uC(τ) = 0, т. е. .
ПриR < Rкр ток описывается функцией
, где ,
а при R = Rкр ток ,
а напряжение .
Замечание. Произведение Uτ – это площадь импульса. При τ→0, но Uτ = const, мы имеем δ-функцию.