3.3.1 Решение системы нелинейных уравнений.

Решение системы нелинейных уравнений производится методом Ньютона – Рафсона, использующий метод последовательных приближений. Метод Ньютона – Рафсона вытекает из представления произвольной функции (х) с помощью ряда Тейлора. В простейшем случае для функции с одной переменной

(х) = (хо) + (хо) (х-хо) + 0 (х – хо)

Если система состоит из одного нелинейного уравнения (х) = 0, то (X) = (Xо) + (Xо) (X-Xо)  0 и

(Xо)

X - Xо = (Xо) , отсюда

(Xо)

X = Xо - (Xо)

Для напряжений в дискретной форме это соотношение можно записать в следующем виде

(Un)

Un+1 = Un - (Un) (3.4)

Полученное соотношение поясняется графически на рис.3.6

Рис. 3.6.

Из рис. 3.6 следует

,

и .

В результате метода последовательных приближений получается решение с заданной точностью.

Рассмотрим простейший пример диодной цепи рис. 3.4 б. Запишем первый закон Кирхгофа в дискретной форме

. (3.5)

Производная от функции f(U_n)

(3.6)

Для получения итерационного процесса необходимо выражения (3.5) и (3.6) подставить в (3.4)

. (3.7)

Начальное значение напряжения на диоде в (3.7) Uдoвыбирается произвольно.

В общем случае для системы n нелинейных уравнений метод Ньютона – Рафсона можно записать в матричном виде:

  -1  

Un+1 = Un - J F (Un)

где

, ,

(3.8)

Матрица (3.8) называется Якобианом.

В результате решения системы нелинейных уравнений получаем напряжение во всех узлах схемы и токи во всех ее ветвях при заданном постоянном входном воздействии, т.е. речь идет об анализе по постоянному току.

Частотный анализ справедлив только для линейных цепей, поэтому для его проведения необходимо линеаризовать схему в окрестностях рабочей точки.

3.3.2 Временной анализ

При проведении временного анализа необходимо учитывать содержит ли схема инерционные элементы, способные запасать электрическую энергию. При наличии таких элементов их необходимо заменять соответствующими математическими моделями.

Рассмотрим вначале безынерционные цепи

Временной анализ при моделировании на ЭВМ всегда проводится в дискретной форме для каждого дискретного момента времени. При этом весь анализируемый интервал от начального момента времени tn до конечного tк разбивается на дискретные отрезки tn+1– tn =  tn = h. Для каждого отрезка времени  tn предполагается, что входное воздействие на данном отрезке остается постоянным и цепь анализируется как при анализе по постоянному току. Для следующего отрезка времени tn+1 входное воздействие изменяется скачкообразно и остается постоянным на протяжении всего отрезка. При этом значении входного напряжения также проводится анализ по постоянному току. Для безынерционных цепей скачкообразное изменение входного напряжения мгновенно вызывает соответствующее скачкообразное изменение напряжения во всех узлах схемы. Т.о., временной анализ для безынерционных цепей сводится к анализу по постоянному току для каждого последовательного отрезка времени при соответствующем входном воздействии. Последовательность входных воздействий изображена на рис.3.7

Рис.3.7

Выходной отклик во всех узлах схемы для каждого отрезка времени tn,рассчитанный с помощью анализа по постоянному току при заданном входном воздействии, также остается постоянным на протяжении всего отрезка ∆tn.