Фигурные скобки означают нажатие комбинации клавиш ctrl+shift+enter после набора формулы. Остальные формулы для

вычисления xi k получаются копированием.

Можно провести вычисления в табличном процессоре Excel и с использованием функций умножения матрицы на вектор на основе матричной формы (2.9) метода Якоби.

			0			0,5			0,25					1,25
Здесь =		0,6				0			0,2		,			=	1				.
		0,3				0,2			0						0,4
Занесем исходные данные на рабочий лист.
	A			B			C		D				E						F	G
1				0			-0,5		-0,25											1,25
2	=			-0,6			0		-0,2									=		1
3				-0,3			0,2		0											0,4
4
5	номер				k			k	k	max			x k 1	x k
	итерации			x			x	2	x3		i		i	i
				1
6	0			0			0		0			-
7	1			1.25			1		0.4			1.25
8	2

Выделим ячейки B7:D7 и введем формулу (2.9):

{=МУМНОЖ($B$1:$D$3;ТРАНСП(B6:D6))+ТРАНСП($G$1:$G$3)}.

Остальные формулы для вычисления xi k получаются копированием.

Метод Гаусса-Зейделя

В отличие от метода Якоби, в котором вычисления всех компонент вектора k 1 -го приближения проводилось

однообразно, в методе Гаусса-Зейделя для расчета i -й компоненты следующего приближения используется уже

38

вычисленное на этом, т.е. k 1 -м шаге, новые значения первых

i 1 компонент:

x k 1

1

f

a

x k

a

x k ... a

x k

1

1

a11

12

2

13

3

1m

m

x k 1

1

f

2

a

21

x k 1 a

x k

... a

2m

x k

23

2

a22

1

3

m

...

1

f

x k

x k 1

i

a

x

k 1 a

i2

x

k 1

... a

i,i 1

x k 1 a

i,i 1

x k

... a

2m

i

aii

i1 1

2

i 1

i 1

m

...

1

fm am1 x1k 1

am2 x2k 1 ... am,m 1 xmk 11

xmk 1

amm

Или, в компактном виде:

k 1

1

i 1

k 1

m

k

xi

aij x j

aij

(2.12)

fi

x j , i=1, 2, …, m.

aii

j 1

j i 1

Достаточное условие сходимости этого метода, как и для методы Якоби, является условие диагонального преобладания:

m

aii aij , i 1,2,..., m .

j 1 i j

ПРИМЕР 2.6. Найдем решение СЛАУ из Примера 2.4

методом Гаусса-Зейделя.
8x 4x			2	2x	3	10
	1
	3x1 5x2 x3 5 .
3x1 2x2 10x3 4
Расчетные формулы:
x	k 1	1,25 0,5x k					0,25x k
1						2	3
x	k 1	1 0,6x k 1 0,2x k .
	2			1			3
x	k 1	0,4 0,3x k 1 0,2x k 1
	3					1	2

39

Таблица итераций выглядит в данном случае следующим образом:

	Номер										x k			x k			x k		max			x k 1 x k
	итерации										1				2		3		i			i	i
		0									0				0		0
		1									1.25			0.25			0.075			1.25
		2					1.10625							0.32125			0.132375			0.14375
		3				1.056281								0.339756			0.151067			0.049969
		4				1.042355								0.344374			0.156168			0.013926
		5				1.038771								0.345504			0.157469			0.003584
	Здесь
x 1 1,25 0,5 0 0,25 0 1,25
1
x21 1 0,6 1,25 0,2 0 0,25																,
x31 0,4 0,3 1,25 0,2 0,25 0,075
			x 1		x 0						1,25
			1		1
			x21		x20
max												0,25		1,25		0,01
			1		0
												0,075
			x3		x3
x 2 1,25 0,5 0,25 0,25 0,075 1,10625
1
x22 1 0,6 1,10625 0,2 0,075 0,32125 ,
x32 0,4 0,3 1,10625 0,2 0,32125 0,132
			x 2		x 1						0,14375
			1		1
			x22		x21
max												0,07125			0,14375 0,01 и т.д.
			2		1
												0,057375
			x3		x3
	Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на
5-ой итерации вместо 11-ой по методу простой итерации.																							x 1
	При				реализации в									Excel расчетные				формулы для
																							i

примут вид: x11 =1/$B$1*($G$1-$C$1*C6-$D$1*D6),

x21 =1/$C$2*($G$2-$B$2*B7-$D$2*D6), x31 =1/$D$3*($G$3-$B$3*B7-$C$3*C7).

40