- •ВВЕДЕНИЕ
- •ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Постановка задачи
- •Приближенные (итерационные) методы решения НАУ
- •Метод деления отрезка пополам (дихотомии).
- •Метод простой итерации
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд
- •МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Постановка задачи
- •Прямые методы решения СЛАУ
- •Метод Крамера
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения линейных алгебраических систем
- •Метод простой итерации
- •Метод Якоби
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
- •Постановка задачи интерполяции
- •Локальная интерполяция
- •Кусочно-постоянная интерполяция
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Кубический интерполяционный сплайн
- •Глобальная интерполяция
- •Полином Лагранжа
- •Подбор эмпирических формул
- •Метод наименьших квадратов
- •ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •Постановка задачи
- •Формулы прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Постановка задачи
- •Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутты
- •Численные методы решения систем ОДУ первого порядка
- •МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ
- •Постановка задачи
- •Аппроксимация производных
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ЭКЗАМЕНУ
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Постановка задачи
Требуется найти значение определенного интеграла I b f x dx для некоторой заданной на отрезке a,b функции
f xa . Для некоторых функций значение интеграла можно найти
точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти только приближенно, используя тот или иной способ численного интегрирования.
Численное интегрирование основано на замене интеграла
|
n |
xk . |
|
|
|
некой суммой |
In ck f |
Такая |
замена |
следует из |
|
|
k 0 |
|
|
|
|
определения |
интеграла |
|
как |
предела |
суммы |
n
I lim f i xi xi 1 . Зафиксировав n , мы получим
n i 1
предыдущую сумму.
Приближенное равенство I In называется квадратурной формулой, xk – узлами, а ck - коэффициентами квадратурной
|
|
|
|
b |
n |
|
формулы. |
Разность |
n f x dx |
ck f xk называется |
|||
|
|
|
|
a |
k 0 |
|
погрешностью квадратурной формулы. |
|
|
||||
Разобьем |
отрезок |
a,b |
на n равных частей |
точками |
||
a x0 x1 |
x2 |
... xn b . |
Получим |
равномерную |
сетку: |
|
|
|
|
|
b |
n xi |
|
xi a ih,i 0,1,..., n . Тогда I f x dx f x dx . |
|
|||||
|
|
|
|
a |
i 1 xi 1 |
|
Для построения квадратурной формулы на всем отрезкеa,b достаточно построить квадратурную формулу на
частичном отрезке xi 1, xi .
60
Формулы прямоугольников
|
Пусть |
f x f xi 1 , x xi 1, xi , т.е. мы |
аппроксимируем |
|
f x левой кусочно-постоянной интерполяцией. Тогда получим |
||||
xi |
f x dx xi |
f xi 1 dx f xi 1 xi |
dx f xi 1 xi xi 1 hf xi 1 . |
|
xi 1 |
xi 1 |
xi 1 |
|
|
|
|
b |
n |
|
|
Таким |
образом, f x |
dx h f xi 1 . |
Эта формула |
|
|
a |
i 1 |
|
называется формулой левых прямоугольников.
f x
a |
b |
x |
Рис. 4.1. Метод левых прямоугольников
Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников представлена на рис. 4.1, который показывает, что точное значение интеграла (площадь криволинейной
области под графиком f x ) заменяется на сумму площадей
прямоугольников, построенных под кусочно-постоянной интерполирующей функцией.
Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников. Здесь f x f xi , x xi 1, xi . В результате
b |
n |
получим: f x dx h f xi . |
|
a |
i 1 |
61
f x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2. Метод правых прямоугольников |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Оценим погрешность формулы левых прямоугольников: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
n f x dx h f xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f x dx hf xi 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
. |
|
||||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x dx hf xi 1 |
|
f xi 1 dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
i f |
f x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемся формулой Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
f x |
f xi 1 |
f i |
x xi 1 , i |
xi 1, xi |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
h2 |
|
||||
i i f xi 1 f i x xi 1 f xi 1 dx i |
f i x xi 1 dx |
f i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
Пусть M max |
|
|
|
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
M 1 h |
|
Mn h Mnh Mh b a , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n h |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i 1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
т.е. формула левых |
|
прямоугольников имеет |
первый по |
h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядок точности. Аналогичную оценку можно получить для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулы правых прямоугольников. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Если |
на |
|
|
|
|
каждом |
|
отрезке |
xi 1, xi |
|
заменить |
значение |
||||||||||||||||||||||||||
функции |
f(x) |
|
|
|
|
на |
ее |
|
значение |
|
|
в |
|
середине |
отрезка, т.е. |
62
f x |
|
|
|
, x |
, получим формулу средних |
f x |
, x x |
|
|||
|
|
i 12 |
i 1 |
i |
|
прямоугольников:
Если функция локальном отрезке
интерполяции xi 12
b |
f x dx h |
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
f x |
. |
||
|
|
i 12 |
|
||
a |
|
|
i 1 |
|
|
f x |
задана таблично, среднее значение на |
можно вычислить с помощью линейной
xi 1 xi , и тогда метод средних имеет
2
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вид: |
|
|
f x dx h f |
|
|
i 1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Для оценки погрешности метода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
f x dx |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
f x dx hf x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
12 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
|
|
f x dx f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
2 |
|
h |
|
f |
x |
1 |
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
воспользуемся формулой Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
, x . |
|
|
|
|
||||||||||
f x f x |
|
|
|
f |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
x |
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
i 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i 12 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
f i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
f |
xi 1 |
|
|
|
|
x xi 1 |
|
|
|
|
2 |
x xi 1 |
|
|
f xi 1 |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
f i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f |
i x xi 1 |
|
|
|
2 |
x xi 1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f i |
|
|
|
2 |
|
xi |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i |
12 |
|
|
xi 1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
12 |
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
i 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку x |
x |
|
|
|
|
|
h |
|
и x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
h |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63