- •ВВЕДЕНИЕ
- •ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Постановка задачи
- •Приближенные (итерационные) методы решения НАУ
- •Метод деления отрезка пополам (дихотомии).
- •Метод простой итерации
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд
- •МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Постановка задачи
- •Прямые методы решения СЛАУ
- •Метод Крамера
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения линейных алгебраических систем
- •Метод простой итерации
- •Метод Якоби
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
- •Постановка задачи интерполяции
- •Локальная интерполяция
- •Кусочно-постоянная интерполяция
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Кубический интерполяционный сплайн
- •Глобальная интерполяция
- •Полином Лагранжа
- •Подбор эмпирических формул
- •Метод наименьших квадратов
- •ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •Постановка задачи
- •Формулы прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Постановка задачи
- •Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутты
- •Численные методы решения систем ОДУ первого порядка
- •МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ
- •Постановка задачи
- •Аппроксимация производных
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ЭКЗАМЕНУ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи (по некоторым оценкам, более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.
Постановка задачи
Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая в общем виде записывается в виде
|
a |
x |
a |
x |
2 |
... a |
|
x |
m |
f |
1 |
|
|
|||||
|
|
11 1 |
|
12 |
|
1m |
|
|
|
|
|
|||||||
a21 x1 |
a22 x2 |
... a2m xm |
f2 |
. |
(2.1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x |
a |
m2 |
x |
2 |
... a |
mm |
x |
m |
f |
m |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В матричном виде эта система уравнений записывается как: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax f |
(2.1 ) |
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
11 |
12 |
|
1m |
|
|
где |
a21 |
a22 |
... |
a2m |
- матрица системы, |
|
A |
|
... |
... |
|
||
|
... ... |
|
|
|||
|
|
am2 |
... |
|
|
|
|
am1 |
amm |
|
x1
вектор правых частей, x x2 - вектор неизвестных.
...xm
|
|
f1 |
|
- |
|
|
f2 |
|
|
f |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fm |
|
23