3443 Курсовая Работа ЭЭ

Решив эту систему уравнений, определим неизвестные контурные токи II и III, а затем выразим токи в ветвях через контурные токи:

I1 = J; I2 = II – J; I3 = III – J; I4 = II; I5 = II – III; I6 = III.

(20)

Нетрудно видеть, что система уравнений по МКТ содержит меньше уравнений, чем система уравнений, составленная по методу токов ветвей.

3.3. Метод узловых напряжений

По методу узловых напряжений (МУН) уравнения составляют только на основании первого закона Кирхгофа. Неизвестными переменными, входящими в систему уравнений, являются узловые напряжения.

Узловыми напряжениями называются напряжения в узлах схемы, отсчитываемые от базисного узла, потенциал которого принимается равным нулю. Очевидно, что если узловые напряжения будут известны, то можно определить напряжение на каждой ветви, а затем, на основании закона Ома, и токи во всех ветвях схемы.

Количество уравнений, которое необходимо составить для расчета токов методом узловых напряжений, определяется по формуле:

NМУН = N У − 1 − N E ,

(21)

где NE – число ветвей, содержащих только один идеальный источник напряжения, такие ветви называются «особыми». Если NE = 0, то в качестве базисного узла может быть взят любой из узлов схемы. Если же в схеме имеется ветвь, в которой кроме идеального источника напряжения других элементов нет, то в качестве базисного целесообразно взять один из двух узлов, между которыми такая ветвь включена. В этом случае узловое напряжение другого узла будет равно задающему напряжению идеального источника напряжения.

Уравнение для узла с неизвестным узловым напряжением составляется в соответствии со следующими правилами:

–в левой части уравнения со знаком «+» записывают произведение комплексного значения узлового напряжения узла на сумму комплексных проводимости ветвей, сходящихся в данном узле;

–если узел, для которого составляют уравнение, соединяется непосредственно с другими узлами (за исключением базисного) одной или несколькими ветвями, то в левой части уравнения со знаком «–» записывают произведения узловых напряжений этих узлов на сумму комплексных проводимостей ветвей, посредством которых эти узлы соединяются с тем, для которого записывается уравнение;

–если в ветвях, сходящихся в узле, для которого записывают уравнение, есть идеальные источники напряжения, то в правой части уравнения записывают произведение комплексных значений ЭДС идеальных источников напряжения на комплексные проводимо-

11

сти ветвей, в которых эти источники включены; а если в этих ветвях есть идеальные источники тока, то записываются комплексные значения задающих токов этих источников тока. При этом слагаемые в правой части уравнения берутся со знаком «+», если ЭДС идеального источника напряжения и ток идеального источника тока направлены к узлу, для которого составляется уравнение, и со знаком «–», если они направлены от этого узла.

При определении проводимости ветви, содержащей помимо пассивных элементов идеальный источник напряжения или идеальный источник тока, надо параметры источников приравнять к нулю. Это означает, что на месте ИИН надо сделать короткое замыкание, а на месте ИИТ – разрыв цепи. Поэтому проводимость ветви, содержащий идеальный источник тока, равна нулю.

Решив систему уравнений, находим неизвестные узловые напряжения. Выбрав и указав направления токов в ветвях схемы, выражаем их через узловые напряжения. Ток ветви равен отношению разности узлового напряжения узла, от которого оттекает ток, и узлового напряжения узла, к которому он направлен, к комплексному сопротивлению данной ветви. Если при этом в ветви есть идеальный источник напряжения, ЭДС этого источника записывают в числителе со знаком плюс, когда направление ЭДС и тока ветви совпадают, и со знаком минус, когда их направления противоположны.

В ветви, содержащей только идеальный источник напряжения, ток определяют из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для одного из узлов, между которыми эта ветвь включена.

Так, например, для схемы рис. 4 число уравнений по методу узловых напряжений равно NМУН = NУ – 1 – NE = 4 – 1 – 1 = 2. В качестве базисного узла возьмем узел 4. В этом случае U4 = 0, а U1 = E1.

Рис. 4. Схема для расчета методом узловых напряжений

С учетом обозначений, принятых на рис. 4, система уравнений, составленная по МУН, будет иметь следующий вид:

12

1

1

1

1

1

1

U 2

+

+

−

U

1

−

U

3

= E 2

Z 4

Z 2

Z 3

Z 2

Z 3

Z 4

1

1

1

.

U 3

+

− U

2

= J

Z 5

Z 3

Z 3

Для решения данной системы приведем ее к каноническому виду:

U 2 (Y 2 + Y 4 + Y 3 )− U 3 Y 3 = E 2 Y 4 + E1Y 2	.
− U 2 Y 3 + U 3 (Y 2 + Y 5 ) = J

(22)

(23)

Решив эту систему уравнений, находим узловые напряжения. Токи в ветвях будут определяться следующими выражениями:

I1

= J ; I 2

=

U

1 −

U

2

=

E1 − U 2

; I 3

=

U 2 − U 3

; I 5

=

U

2 −

U

4 − E2

; I 6

=

U

3 − U 4

; I 4 = − I 5 − I 6 .

Z 2

Z 2

Z 3

Z 4

Z 5

Метод узловых напряжений по сравнению с методом токов ветвей также приводит к системе с меньшим числом уравнений, как и метод контурных токов.

3.4.Теоремы об эквивалентном источнике напряжения

иэквивалентном источнике тока

Вряде случаев необходимо определить токи не во всех ветвях схемы, а в какой-либо одной ветви. Для решения этой задачи можно воспользоваться либо теоремой об эквивалентном источнике напряжения (ЭИН), либо теоремой об эквивалентном источнике тока (ЭИТ). Применение этих теорем в некоторых случаях позволяет решить задачу быстрее и проще, чем при использовании метода контурных токов или метода узловых напряжений.

Всоответствии с теоремой об эквивалентном источнике напряжения, ток в любой ветви ab линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь ab, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с ЭДС ЕЭ равным напряжению холостого хода Uab Х. Х. на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением ZЭ, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны разомкнутой ветви ab.

Внутреннее сопротивление источника ZЭ определяют как эквивалентное сопротивление схемы относительно разомкнутых зажимов ветви при условии, что параметры всех источников, имеющихся в схеме, принимают равными нулю, т. е. идеальные источники напряжения закорачиваются, а на месте идеальных источников тока делается разрыв. Таким образом, расчет тока в ветви ab сводится к расчету схемы, приведенной на рис. 5.

13

Рис. 5. Схема с эквивалентным источником напряжения

Искомый ток для этой схемы будет определяться по формуле:

I ab =	E Э
	ZЭ + Z ab .	(24)

Для определения Uab Х. Х. необходимо в исходной схеме разомкнуть ветвь с искомым током и стрелкой указать его направление. Оно должно совпадать с направлением тока ветви ab, выбранным ранее. Напряжение Uab Х. Х. определяется из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура, в который входит Uab Х. Х. ЭДС эквивалентного источника напряжения ЕЭ будет равна напряжению холостого хода Uab Х. Х., ЕЭ = Uab Х. Х. При этом потребуется определить все или часть токов в схеме, полученной после размыкания ветви ab. Для расчета этих токов можно воспользоваться каким-либо методом – МКТ или МУН. В процессе решения задачи надо составить как схему для определения Uab Х. Х., так и схему для определения ZЭ.

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике тока, ток в любой ветви ab электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь ab, заменить эквивалентным источником тока с задающим током JЭ, равным току короткого замыкания IК. З. этой ветви, и параллельно с ним включенным внутренним сопротивлением ZЭ, равным эквивалентному входному сопротивлению со стороны разомкнутой ветви ab.

Для определения тока источника тока JЭ необходимо ветвь ab замкнуть накоротко и определить в ней ток короткого замыкания Iab К. З. Ток идеального источника тока JЭ будет равен току короткого замыкания Iab К. З. JЭ = Iab К. З. Внутреннее сопротивление ZЭ определяется точно так же, как и в теореме об эквивалентном источнике напряжения. Таким образом, расчет тока в некоторой ветви ab сводится к расчету схемы рис. 6.

Рис. 6. Схема с эквивалентным источником тока

14

Искомый ток в этой схеме будет рассчитываться по формуле:

I ab = J ZЭ .

Э ZЭ + Z ab

При использовании теоремы об эквивалентном источнике приводить схемы, по которым рассчитываются значения тока I тивления ZЭ.

(25)

тока также необходимо ab К. З. и значения сопро-

4. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Для проверки правильности расчета токов в ветвях схемы используется баланс мощностей. Он заключается в том, что комплексная мощность, развиваемая источниками схемы Sист., равняется комплексной мощности, потребляемой пассивными элементами схемы Sпотр. Так как Sист. = Pист. + jQист., где Pист. – активная мощность, а Qист. – реактивная мощность, то обычно составляется и рассчитывается баланс активной и реактивной мощностей, т. е. проверяется выполнение равенств:

Pпотр. = Pист.; Qпотр. = Qист.

(26)

Активная и реактивная потребляемые мощности определяются следующим образом:

n	т
Pпотр. = ∑ Rk I k2 ;	Qпотр. = ∑ X k I k2 ,	(27)
k =1	k =1

где Ik – действующее значение тока в k-й ветви;

Rk и Xk – активное и реактивное сопротивление k-й ветви, причем значение Xk для индуктивности берется со знаком (+) плюс, а для емкости со знаком (–) минус;

n – число ветвей.

Комплексная мощность, развиваемая идеальным источником напряжения Е и идеальным источником тока J, определяют, соответственно, следующими выражениями:

S E = EI * ; S J = U J J * ,

(28)

где I* – комплексно-сопряженное значение действующего тока, протекающего через ИИН с ЭДС Е;

J * – комплексно-сопряженное значение действующего тока ИИТ;

U J – комплексное действующее значение напряжения на зажимах идеального источника тока, которое может быть найдено из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура, включающего в себя ветвь с этим источником тока. Произведения E I * и U J J * записываются либо со знаком «+», либо со знаком «–». Знак выбирается в соответствии с рис. 7.

15

Рис. 7. Правило выбора знаков при определении комплексной мощности источников

Таким образом;

K		*		M		*		,	(29)
Pист. = ∑ Re E k I k				+ ∑ Re U m J m
k =1				m=1

K		*		M		*		,	(30)
Qист. = ∑ Jm E k I k				+ ∑ Jm U m J m
k =1				m=1

где K и M – число идеальных источников напряжения и идеальных источников тока в схеме.

Пример 1. Рассмотрим расчет сложной цепи с независимыми источниками.

1. Задан код схемы 1. 3. 5. 10. 4. 3. 13. Схема, составленная в соответствии с этим кодом, приведена на рис. 8.

Рис. 8. Схема для расчета по МКТ

2. Величины элементов схемы и параметры источников имеют следующие значения:

R2 = 40,5 Ом;	R6 = 94,5 Ом; R7 = 108 Ом; L4 = 67,5 10–3 Гн; L5 = 81 10–3 Гн; C3 = 10,8 10–6 Ф;
C = 21,6 10–6	Ф; e (t) = 137,5Cos(1000t + 0,35) В;	i	4	(t) = 2,9 cos(1000 t − 0,70) А.
7	1

3. Представим гармонические функции e1(t) и i4(t) в виде комплексных действующих значений и запишем их в показательной и алгебраической формах записи.

E1 = 97,23 e j 0,35 = 91,364 + j33,254 ; J 4 = 2,05 e− j 0,70 = 1,571 − j1,318 .

16

4. Определим комплексные сопротивления реактивных элементов:

Z L 4

= jωL4

= jX L 4 = j103

67,5 10−3

= j67,5 = 67,5e j

π

2 Ом;

π

Z L5 = jωL5 = jX L5 = j103 81 10−3 = j81 = 81e j 2 Ом;

Z C 3

=

1

= − jX C 3

= − j

1

= − j92,6 =

92,6e

− j

π

Ом;

2

jωC3

103

10,8 10− 6

Z C 7

=

1

= − jX C 7

= − j

1

= − j46,3 =

46,3e

− j π

Ом.

2

jωC7

103

21,6

10− 6

5. Седьмая ветвь схемы содержит сопротивление R7 и емкость C7. Определим их комплексное сопротивление Z7 и комплексную проводимость Y7:

Z 7

= R7

+

1

= R7

− jX C 7 = 108 − j46,3 = 117,506e− j 0,405 Ом.

jωC7

Y 7

=

1

=

1

= 8,51 10−3 e j 0,405

= 7,822 10−3 + j3,353 10−3

См.

Z 7

117,5e− j 0,405

6. Определим число уравнений, которые надо составить для расчета токов в ветвях схемы методом контурных токов и методом узловых напряжений. Предварительно проведем топологический анализ схемы. Для чего определим число узлов в схеме NУ, число ветвей NВ, число идеальных источников тока NJ и число особых ветвей схемы NОС.

NУ = 4; NВ = 7; NJ = 1; NОС = 1.

NМКТ = NВ – NУ+1 – NJ = 7 – 4 +1 – 1 = 3;

NМУН = NУ – 1 – NОС = 4 – 1 – 1 = 2.

Составим системы уравнений тем и другим методом и выразим токи в ветвях через контурные токи и узловые напряжения.

Для составления системы уравнений по МКТ выберем три основных контура с контурными токами II, III, IIII и один дополнительный контур с контурным током J4, равным току источника. Система уравнений в этом случае будет иметь следующий вид:

R2 I I − R2 I II = E1
(R2	+ Z C 3 + Z L5 + R6 ) I II − (Z C 3 ) I I + (R6	+ Z L5 ) J 4	= 0 .	(31)
(R7	+ R6 + Z C 7 ) I III − R6 I II − R6 J 4 = 0

Определив из полученной системы уравнений неизвестные контурные токи, выразим через них токи в ветвях схемы:

I1 = III; I2 = II – III; I3 = III; I5 = III + J4; I6 = III + J4 – IIII; I7 = IIII.

17

Рис. 9. Схема для расчета по МУН

Для расчета токов по МУН воспользуемся схемой рис. 9. В схеме рис. 9 показан базисный узел, для которого напряжение равно нулю, т. е. U4 = 0. Покажем узловые напряжения U1, U2, U3. Учтем, что U1 = E1. В этом случае система уравнений, составленная по МУН, будет иметь следующий вид:

1

1

U 2 −

1

U 1

1

+

−

U

3

= J 4

Z C 3

Z L5

Z C 3

Z L5

(32)

1

1

1

1

.

+

+

U 3

−

U

= 0

R6

Z L5

2

Z L5

R7 + Z C 7

Решив систему уравнений, найдем неизвестные узловые напряжения U2, и U3 и выразим токи в ветвях схемы через узловые напряжения:

I 2

=

U

1

; I 3

=

U

1 −

U

2

; I 5

=

U 2 −

U

3

; I 3

=

U

1 −

U

2

; I 6

=

U

3

; I 7 =

U

3

; I1 = I 2 + I 3 .

R2

Z C3

Z L5

Z C3

R6

R7 + Z C 7

7. Рациональным методом, т. е. методом, требующим решения системы с меньшим числом уравнений, является в данном случае МУН. Выполним расчет токов в ветвях схемы рис. 9 данным методом. Подставим в систему числовые значения.

1

1

1

− j 0,70

97,23e j 0,35

+

U

−

U

=

2,06e

+

− j92,6

j81

2

j81

3

− j92,6

1

1

1

1

.

−

U

2

+

+

+

U

3

= 0

j81

j81

94,5

108 −

j46,3

Приведем подобные члены и запишем систему в каноническом виде:

(− j1,547 10−3 ) U					+ j12,35 10−3 U			= 1,215	− j0,338
				2			3
j12,3 10−3 U			+ (18,404 10−3 − j8,992 10−3 ) U									.
												= 0
		2									3

(33)

(34)

18

Решим данную систему уравнений методом Крамера. Для этого вычислим главный

определитель системы и два дополнительных

1 и 2.

=

− j1,547 10−3

j12,35 10−3

=1,385 10

− 4

− j2,846 10

−5

=1,414

10

− 4

e

− j 0,202

, (35)

j12,35 10−3 18,404 10−3

− j8,992 10−3

1 =

j12,35 10−3

= 0,0193 − j0,0171 = 0,0258e− j0,726 ,

(36)

1,215 − j0,338

0

18,404 10−3

− j8,992 10−3

2

=

− j1,547 10−3

1,215 − j0,338

= −4,173 10

−3

− j0,015 = 0,01556e

j 4,44 .

(37)

1,215 − j0,338

0

Определим узловые напряжения U2, и U3.

U 2 =			1 =		0,0258e− j0,726			= 182,62e− j0,523 = 158,18 − j91,258 ;
				1,414		10−4 e− j0,202
U 3 =			2 =		0,01556e j4,44			= 110,07e− j1,64	= −7,563 − j109,81 .
				1,414		10−4 e− j0,202

Вычислим токи в ветвях схемы:

I 2

=

U

1

=

E1

=

97,5e j0,35

= 2,261+ j0,8255 = 2,407e j0,35

А,

R2

R2

40,5

I 3

=

91,6 − 158,18 + j91,258

= −1,347 − j0,719 = 1,527e− j2,651

А,

− j92,6

I 5

=

158,18 − j91,258 + 7,563 + j109,81

= 0,229 − j2,05 = 2,06e− j1,459

А,

j81

I 6

=

110,07e− j1,64

= 1,165e− j1,64 = −0,08 − j1,162 А,

94,5

I 7

=

110,07e− j1,64

= 0,937e− j1,235 = 0,309 − j0,884

А,

117,506e− j0,405

Ток в особой ветви схемы находится по первому закону Кирхгофа.

19

I1 = 2,261+ j0,8255 − 1,347 − j0,719 = 0,915 + j0,106 = 0,921e j0,116			А.
Результаты расчетов сведем в табл. 1.
			Таблица 1
Рассчитанный	Алгебраическая	Показательная	Мгновенные значения
ток	форма записи	форма записи	рассчитанных токов, А
I1	0,915 + j0,106	0,921e j0,11	i1 (t) = 1,302 cos(1000t + 0,11)
I2	2,261+ j0,8255	2,407e j0,35	i2 (t ) = 3,404 cos (1000 t + 0,35 )
I3	− 1,347 − j0,719	1,527e− j 2,651	i3 (t) = 2,16cos(1000t − 2,651)
J4	1,58 − j1,32	2,06 e− j0,70	i4 (t) = 2,9cos(1000t − 0,70)
I5	0,229 − j2,05	2,06e− j1,459	i5 (t) = 2,912cos(1000t − 0,70)
I6	− 0,08 − j1,162	1,165e− j1,64	i6 (t) = 1,647 cos(1000t − 1,64)
I7	0,309 − j0,884	0,937e− j1,235	i7 (t) = 1,325cos(1000t − 1,235)

8. Проверим правильность расчета, составив и рассчитав баланс активной и реактивной мощностей.

Активная потребляемая мощность:

Pпотр. = R2I22+R6I62+R7I72 = 40,5 2,4072 + 94,5 1,1652 + 108 0,9372 = = 234,722 + 128,203 + 94,762 = 457,688 Вт.

Реактивная потребляемая мощность:

Qпотр. = – XC3 I32 + XL4 I42 + XL5 I52 –XC7 I72 =

= – 92,6 1,5272 + 67,5 2,062 + 81 2,062 – 46,3 0,9372 =

=–215,812 + 286,443 + 343,409 – 40,625 = 373,415 ВАр.

Определим комплексную мощность, развиваемую идеальным источником напряжения E1:

*

S E1 = E1 I1 = 97,5e j0,35 0,921e− j0,11 = 87,338 + j20,85 .

Для определения комплексной мощности идеального источника тока надо найти напряжение на его зажимах. С этой целью запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, указанного на рис. 10. В это контур войдут ветви Z1, Z3 и Z4.

I 3 Z C3 − J 4 Z L4 + U J = E1

Отсюда выразим UJ:

U J = E1 − I 3 Z C3 + J 4 Z L4 .

U J = 91,6 + j33,3 − 1,527e− j 2,651 92,6e− j	π	+ 2,06e j 0,7 67,5e j	π	= 91,6 + j33,3 + 66,595 −
	2		2

− j124,681 + 89,578 + j106,351 = 247,762 + j15,093 = 248,222e j 0,0608 .

20