3. Наиболее «сильным» достаточным признаком является следующий.

Составим - расширенную матрицу Гессе, для чего используем матрицу производных от функций ограничений:

11

где — транспонированная матрица. Матрица имеет размерность

(m + n) × (m + n).

12

Признак: точка * соответствует максимуму, если, начиная с главного минора порядка [m+1], последние [nm] миноров матрицы образуют знакопеременный ряд, а знак минора, стоящего на (nm)-м месте от конца, совпадает со знаком , и минимуму, если совпадает со знаком .

Например: n = 3, m = 2, проверяем n = 7, т = 4, п т = 3, проверяем .

13

Пример: Решить задачу:

F = x1*x2 → extr; x1 + x2 = 1.

Решение:

Запишем функцию Лагранжа:

.

Найдем решение, используя необходимые условия:

14

Получаем решение системы

Запишем матрицу

Начиная со второго минора (m + 1 = 2), знаки чередуем: причем

15

Проверяем: D3 > 0, значит, в точке находится максимум.

Ответ: }, F()=

Геометрически задача на условный экстремум сводится к тому, что решение находится в той точке, где линия (поверхность), определяющая функцию (систему) ограничений, касается какой-нибудь линии уровня.