3. Применение методов статистического анализа

3.1. Теоретические основы методов

При исследовании какого-либо технологического процесса задачи нахождения его оптимальных параметров. К решению подобных задач существует два взаимно дополняющих друг друга подхода: аналитический и экспериментальный.

Аналитический путь требует предварительного всестороннего изучения объекта исследования и создания на основе этого теории протекающих в нем процессов. При этом проводится схематизация объекта, построение его математической модели.

Однако при решении большинства инженерных задач из-за малой изученности сложного объекта исследования (нет удовлетворительной схемы и уравнения движения объекта или же нет их математического решения) нельзя с теоретических позиций физико-химических законов найти математическое описание в количественной форме, а можно вскрыть лишь общие качественные закономерности. Поэтому на практике перечисленные задачи в большинстве случаев решаются экспериментальными методами исследования.

В процессе экспериментального исследования промышленного процесса производится накопление информации о ходе технологического процесса. В этом случае исследователь ведет наблюдение за ходом процесса, либо ставит опыты, основываясь на интуиции или на основании теоретических предпосылок.

В результате такого эксперимента полученную информацию необходимо систематизировать для выявления тех или иных закономерностей. Часто возникает необходимость определить количественную зависимость между различными техническими и технологическими параметрами процесса.

Получить такие зависимости можно пользуясь методами корреляционно- регрессионного анализа.

Обработка результатов промышленного эксперимента с использованием этих методов включает решение следующих задач:

а) установление наличия корреляции (связи) между параметрами;

б) установление формы связи (линии регрессии);

в) определение параметров линии регрессии;

г) определение достоверности установленной зависимости и достоверности отдельных параметров линии регрессии.

Следует отметить, что корреляционные зависимости могут быть установлены только при обработке большого количества наблюдений (более 20).

Различают функциональную и корреляционную зави­симости. Под функциональной понимается такая зависи­мость, когда с изменением одного фактора изменяется другой, одному значению независимого фактора обыч­но соответствует только одно значение зависимого фак­тора.

Статистическойназывается зависимость, при которой изменение одной случайной величины приводит к изменению закона распределения другой.

Корреляционной называется статистическая зависимость, при которой изменение одной величины приводит к изменению среднего значения другой величины.

Рассмотрим основные этапы корреляционного и регрессионного анализов в случае однофакторного эксперимента.

Установление наличия и формы связи

Пусть в результате измерений получено n пар значений (x_i,y_i) признаков Х и Y. Наличие связи проверяют, визуально просматривая значения признаков, ранжированных по возрастанию (убыванию). Если в целом возрастание значений Х сопровождается увеличением или уменьшением значений величины Y, то можно говорить о наличии между ними корреляционной зависимости.

Часто используют графический метод. Для этого строят поле или эллипс корреляции – множество точек М_i (x_i,y_i).

Рис.1. Поле корреляции.

Если ось эллипса не параллельна оси фактора Х, то это говорит о наличии корреляционной связи между результатом Y и фактором Х, так как изменение фактора Х приводит к изменению результативного признака Y. Чем меньше угол наклона, тем слабее фактор Х влияет на признак Y.

Форму связи определяют геометрически по форме линии, около которой группируются точки М_i (x_i,y_i) или исходят из теоретических соображений.

Если число наблюдений велико, то указанные методы неудобны. Поэтому для установления наличия и формы связи полученный статистический материал сначала систематизируют. Для этого производится группировка замеров факторного Х и результативного У признаков. Значения признаков разбивают на несколько групп с равными интервалами, величина которого определяется по формуле: , гдеh – величина группового интервала, x_max, x_min – максимальное и минимальное значения признака, n – число интервалов.

После этого строят корреляционную таблицу с двумя входами (табл.1).

Таблица 1

	x1-x2	x2-x3	…	xn-1-xn
y1-y2	n11	n 12		n 1n
y2-y3	n 21	n 22		n 2n
…					…
ym-1-ym	n m1	n m2		n mn

Находят средние значения по формуле:

,

где n – число наблюдений - точек М_i (x_i,y_i);

k – число точек в интервале ;

n_ij – групповые частоты;

y_i – середины интервалов .

Полученные средние значения наносят в виде светлых кружочков на корреляционное поле, причем в качестве абсциссы берут середину интервала . Кружочки соединяют между собой. Полученная линия называется эмпирической линией регрессии.

Y

x₁ x₂ x₃ x_n-1 x_n X

Рис.2. Корреляционное поле и эмпирическая линия регрессии.

По виду эмпирической линии регрессии определяют форму зависимости между YиX. Часто зависимость ищут в виде многочлена: