Оценка тесноты связи

Для оценки тесноты связи, т.е. степени влияния фактора Х на результативный признак Yобычно используют аналитические методы.

Тесноту связи можно опре­делить и визуально по соотношению короткой и продольной осей эллипса рассеяния. Чем больше отношение продольной оси к поперечной, тем сильнее связь.

Более точно теснота связи характеризуется корреляционным моментом: m_xy = M[(X - M(X))(Y - M(Y))], где M(X) и M(Y) – математические ожидания случайных величин X и Y.

На практике для оценки линейной связи используют коэффициент корреляции, для нелинейной связи – корреляционное отношение.

Коэффициент корреляции: R_xy= m_xy /_x_y, где _x и _y – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Корреляционное отношение: , 0<<1.

или , -1<R<1.

- средние значения величин Х,Y, XY;

- исправленные средние квадратические отклонения признаков Х иY;

- средние средние квадратические отклонения признаков Х и Y;

,

- значение величины Y, вычисленное по уравнению регрессии.

Шкала Чеддока позволяет определить степень тесноты связи.

R, 	0	0 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99	1
Cтепень тесноты	отсутст-вует	слабая	заметная	умеренная	высокая	Очень высокая	функцио-нальная

Коэффициент корреляции позволяет определить направление связи:

если R>0, то между X и Y имеет место прямая связь - увеличение X приводит к возрастанию Y;

если R<0, то между Х и Y имеет место обратная связь - увеличение X приводит к убыванию Y.

Для оценки силы влияния фактора Х часто используют коэффициент детерминации, равный квадрату коэффициента корреляции или корреляционного отношения.

Для оценки значимости коэффициента корреляции используют критерий

Стьюдента: ,

где t_кр(,f) – табличное значение критерия, - уровень значимости (обычно полагают =0,1; 0,05; 0,01), f=n-1 – число степеней свободы (параметр критерия Стьюдента).

Если условие выполняется, то это говорит о наличии корреляционной связи между признаками X и Y во всей генеральной совокупности, из которой отобраны значения x_i, y_i, т.е. коэффициент корреляции и является значимым с вероятностью p=1-.

Определение параметров уравнения регрессии

Условным средним называется среднее тех значений случайной величины Y, которые соответствуют значениюx случайной величины Х. Например, если при x=2 величина Y приняла значения 3; 5; 10, то

.

Очевидно, что условное среднее является функцией от x:. Это уравнение называется уравнением регрессии Y на Х. График уравненияназывают линией регрессии.

Уравнение называетсяуравнением обратной регрессии.

Приведем примеры уравнений регрессии.

Уравнение прямолинейной регрессии: = a₀ + a₁х.

Уравнения криволинейных регрессий:

= a₀ + a₁х + a₂x², =.

Коэффициенты (параметры) уравнения регрессии обычно находят методом наименьших квадратов. Для этого сначала строят расчетную таблицу 2.

Таблица 2

i	xi	yi	xiyi
1	x1	y1	x1y1
2	x2	y2	x2y2
….	….	….	….	….	….
	xi	yi	xiyi		

После этого составляют и решают систему нормальных уравнений. В случае линейной регрессии система имеет вид:

Следует отметить, что в ряде случаев от криволинейной регрессии можно перейти к линейной путем линеаризации. Для этого уравнение криволинейной регрессии логарифмируют.

Выполним линеаризацию уравнения: . Прологарифмируем уравнение:

. Полагая,получим линейное уравнение=a₀ + a₁х.

После нахождения a₀ надо перейти к его истинному значению.

В случае параболической регрессии =a₀+a₁х+a₂x² система имеет вид:

Системы нормальных уравнений разработаны для всех основных форм корреляционной связи, их можно решать обычными методами, например, по формулам Крамера.