3.2. Примеры построения математических моделей

Задача 1. Построить и проверить математическую модель yx=a₀+a₁x связи между количеством вещества вступавшего в реакцию (факторный признак Х) и количеством оставшегося вещества после реакции (результативный признак Y) по результатам 22 измерений (систематизированных по увеличению Х).

№	X, г	Y, г
1	6,5	3,33
2	7,0	3,00
3	7,5	3,00
4	7,5	3,33
5	8,0	3,67
6	8,5	3,67
7	9,5	3,33
8	10,0	3,67
9	10,5	4,00
10	10,5	4,00
11	11,0	3,67
12	11,5	4,00
13	12,5	4,33
14	13,0	4,67
15	13,5	4,33
16	13,5	4,33
17	14,0	5,00
18	14,5	5,00
19	15,5	5,00
20	16,0	4,67
21	16,5	5,33
22	16,5	5,67
	253,5	91,00

Решение.Проверим наличие связи между изучаемыми величинами.

Визуальный просмотр опытных данных показывает, что возрастание значений величины Х сопровождается в целом ростом значений Y. Это позволяет говорить о наличии связи между изучаемыми величинами.

Выберем форму связи. Для этого построим опытные точки М_i (x_i,y_i) в системе координат, т.е. диаграмму рассеяния опытных точек (рис.3).

Рис.3. Зависимость остатка вещества Yот количества веществаX,

вступившего в реакцию.

Графический анализ позволяет предположить о наличии прямолинейной связи между количеством оставшегося вещества Yи количеством вещества Х, вступившего в реакцию.

Таким образом, уравнение регрессии ищем в виде: y_x=a₀+a₁x.

Для определения коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции составим расчетную таблицу 3.

Запишем систему уравнений для нахождения коэффициентов:

Подставим в систему n=22 и итоговые суммы из таб.3, получим:

Решая систему, например, по формулам Крамера, найдем a₀=1,579,a₁=0,222. Запишем уравнение регрессии:y_x=1,579+0,222x.

Таблица 3

Расчет коэффициентов уравнения и корреляции

i	xi	yi	xi^2	yi^2	xiyi
1	6,50	3,33	42,25	11,11	21,67
2	7,00	3,00	49,00	9,00	21,00
3	7,50	3,00	56,25	9,00	22,50
4	7,50	3,33	56,25	11,11	25,00
5	8,00	3,67	64,00	13,44	29,33
6	8,50	3,67	72,25	13,44	31,17
7	9,50	3,33	90,25	11,11	31,67
8	10,00	3,67	100,00	13,44	36,67
9	10,50	4,00	110,25	16,00	42,00
10	10,50	4,00	110,25	16,00	42,00
11	11,00	3,67	121,00	13,44	40,33
12	11,50	4,00	132,25	16,00	46,00
13	12,50	4,33	156,25	18,78	54,17
14	13,00	4,67	169,00	21,78	60,67
15	13,50	4,33	182,25	18,78	58,50
16	13,50	4,33	182,25	18,78	58,50
17	14,00	5,00	196,00	25,00	70,00
18	14,50	5,00	210,25	25,00	72,50
19	15,50	5,00	240,25	25,00	77,50
20	16,00	4,67	256,00	21,78	74,67
21	16,50	5,33	272,25	28,44	88,00
22	16,50	5,67	272,25	32,11	93,50
	253,50	91,00	3140,75	388,56	1097,33

Выполним проверку модели разными способами.

Сначала заполним построим таблицу 4. Значения y_x рассчитываем по построенной модели. Затем построим диаграмму рассеяния точекМ_i (x_i,y_i) и линию регрессии (рис.4).

Таблица 4

Проверка уравнения регрессии на точность и надежность

i	xi	yi	yx	yi-yx	|(yi-yx)/yi|	(yx-y)^2	(yi-y)^2	(yi-yx)^2
1	6,5	3,33	3,02	0,312	0,093	1,242	0,645	0,097
2	7,0	3,00	3,13	-0,133	0,044	1,007	1,291	0,018
3	7,5	3,00	3,24	-0,244	0,081	0,797	1,291	0,059
4	7,5	3,33	3,24	0,090	0,027	0,797	0,645	0,008
5	8,0	3,67	3,35	0,312	0,085	0,611	0,221	0,097
6	8,5	3,67	3,47	0,201	0,055	0,450	0,221	0,040
7	9,5	3,33	3,69	-0,354	0,106	0,202	0,645	0,125
8	10,0	3,67	3,80	-0,132	0,036	0,114	0,221	0,017
9	10,5	4,00	3,91	0,091	0,023	0,052	0,019	0,008
10	10,5	4,00	3,91	0,091	0,023	0,052	0,019	0,008
11	11,0	3,67	4,02	-0,354	0,096	0,013	0,221	0,125
12	11,5	4,00	4,13	-0,131	0,033	0,000	0,019	0,017
13	12,5	4,33	4,35	-0,020	0,005	0,047	0,039	0,000
14	13,0	4,67	4,46	0,202	0,043	0,107	0,281	0,041
15	13,5	4,33	4,58	-0,242	0,056	0,193	0,039	0,058
16	13,5	4,33	4,58	-0,242	0,056	0,193	0,039	0,058
17	14,0	5,00	4,69	0,314	0,063	0,302	0,746	0,099
18	14,5	5,00	4,80	0,203	0,041	0,437	0,746	0,041
19	15,5	5,00	5,02	-0,019	0,004	0,779	0,746	0,000
20	16,0	4,67	5,13	-0,463	0,099	0,987	0,281	0,215
21	16,5	5,33	5,24	0,092	0,017	1,220	1,433	0,009
22	16,5	5,67	5,24	0,426	0,075	1,220	2,342	0,181
	253,5	91,00	91,00	0,000	1,161	10,822	12,146	1,324

Рис.4. Диаграмма рассеяния и теоретическая линия регрессии остатка вещества Yот количества веществаX, вступившего в реакцию.

Визуальное сопоставление эмпирических и теоретических значений величины Y позволяет сделать предварительный вывод, что построенная модель является достаточно точной.

Применим аналитические методы.

Найдем коэффициент корреляции:

Найдем среднее значения, используя итоговые суммы табл.4 .

Найдем средние квадратические отклонения величин X, Y.

Коэффициент корреляции равен

Коэффициент детерминации или 89,1%.

Найдем корреляционное отношение:

Для линейной модели

Значение коэффициента корреляции (корреляционного отношения) говорит о том, что между величинами X и Y имеет место прямая корреляционная зависимость: увеличение значений Х приводит к возрастанию значений величины Y. Это подтверждает ранее сделанные выводы. Так как 0,9 < R < 0,99, то теснота связи является очень высокой, т.е. изменение величины вещества X, вступившему в реакцию, существенно влияет на величину остатка вещества Y.

Значение коэффициента детерминации говорит о том, что 89, 1% общей вариации Y обусловлено величиной Х, а 10,9% - влиянием неучтенных факторов.

Оценим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости α=0,05.

Найдем значение критерия Стьюдента: Найдем t_кр– табличное значение критерия. Число степеней свободы

f=n-1=21. Тогда tкр=2,08. Так как t_xy > t_кр, то это говорит о наличии корреляционной связи между изучаемыми величинами Х и Y во всей генеральной совокупности, из которой отобраны значения x_i, y_i, т.е. коэффициент корреляции R является значимым с вероятностью р=1-0,05=0,95.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Средняя относительная ошибка < 20%, поэтому построенная модель является точной, адекватной оригиналу, т.е. расчетные (теоретические) значения, вычисленные по уравнению регрессии, хорошо согласуются с опытными (эмпирическими) значениями y. Качество модели хорошее.

Оценим надежность, достоверность уравнения на уровне значимости 0,05 с помощью критерия Фишера.

Найдем дисперсию признакаY:

Найдем остаточную дисперсию признака Y:

Найдем значение критерия Фишера:

Найдем табличное значение критерия F(0,05;f1;f2). Число степеней свободы f1=n-1=22-1=21, f2=n-p-1=22-2-1=19. По таблице находим Fкр=2,2.

Так как F>Fкр, то уравнение регрессии является надежным, достоверным с вероятностью p=1-0,05=0,95.

Вывод:построенная модель является адекватной, статистически надежной.

Задача 2. Построить и проверить двухфакторную модель

у_х=a₀+a₁x1+а₂х₂зависимости массы остатка зерен Y от массы навески Х₁и температуры сушки Х₂.

Масса навески - масса взятой глины. Навеску заливают водой и перемешывают. Через 1 час промывают и процеживают через сито, просушивают и взвешивают массу остатка.

Исходные данные:

Таблица 5

№ замеса	Х1, г	Х2, С^0	Y, г
1	500	100	8,0
2	520	102	9,3
3	540	104	8,6
4	560	105	9,0
5	580	105	10,3
6	600	106	9,6
7	620	107	10,0
8	640	106	11,3
9	660	110	10,6
10	680	110	11,0
Всего	5900	1055	97,6

Решение.Составим расчетную таблицу 6.

Коэффициенты уравнения линейной регрессии найдем из системы:

Таблица 6

i	Х1	Х2	Y	Х1^2	Х2^2	Х1Х2	Х1Y	Х2Y
1	500	100	8,0	250000	10000	50000	3979,2	795,8
2	520	102	9,3	270400	10404	53040	4831,7	947,8
3	540	104	8,6	291600	10816	56160	4657,5	897,0
4	560	105	9,0	313600	11025	58800	5016,7	940,6
5	580	105	10,3	336400	11025	60900	5969,2	1080,6
6	600	106	9,6	360000	11236	63600	5775,0	1020,3
7	620	107	10,0	384400	11449	66340	6174,2	1065,5
8	640	106	11,3	409600	11236	67840	7226,7	1196,9
9	660	110	10,6	435600	12100	72600	7012,5	1168,8
10	680	110	11,0	462400	12100	74800	7451,7	1205,4
Всего	5900	1055	97,6	3514000	111391	624080	58094,2	10318,7

Подставляя в систему n=10 и табличные суммы, получим:

Решая систему, получим: а_о=19,754, а₁=0,028, а₂=-0,253.

Запишем уравнение регрессии: у_х=19,754+0,028х₁ -0,253х₂.

Выполним проверку модели. Составим расчетную таблицу 7.

Таблица 7

i	Х1	Х2	Y	Yx	Y-Yx	| (Y-Yx)/Y |	(Y-Yx)^2	(Y-y)^2	(Yx-y)^2
1	500	100	8,0	8,61	-0,65	0,081	0,420	3,240	1,327
2	520	102	9,3	8,67	0,63	0,067	0,391	0,218	1,193
3	540	104	8,6	8,73	-0,10	0,012	0,010	1,284	1,067
4	560	105	9,0	9,04	-0,08	0,009	0,006	0,640	0,520
5	580	105	10,3	9,60	0,69	0,067	0,475	0,284	0,024
6	600	106	9,6	9,91	-0,29	0,030	0,084	0,018	0,024
7	620	107	10,0	10,23	-0,27	0,027	0,072	0,040	0,219
8	640	106	11,3	11,04	0,25	0,022	0,061	2,351	1,653
9	660	110	10,6	10,60	0,03	0,003	0,001	0,751	0,705
10	680	110	11,0	11,16	-0,20	0,019	0,042	1,440	1,972
	5900	1055	97,6	97,58	0,00	0,336	1,563	10,267	8,704

Средняя относительная ошибка аппроксимации равна:

модель является адекватной.

Оценим надежность уравнения на уровне значимости 0,05 с помощью критерия Фишера.

Дисперсия величины Yравна:

Остаточная дисперсия равна:

Найдем значение критерия Фишера

Найдем табличное значение критерия F(0,05;f1;f2).

f1 = n-1 = 10-1 = 9, f2 = n-p-1 = 10-3-1 = 6. По таблице находим Fкр=3,37.

Так как F>Fкр, то уравнение регрессии является статистически надежным, достоверным с вероятностью p=1-0,05=0,95.

Вывод:построенная модель является адекватной, статистически надежной.

32