Проверка качества уравнения регрессии

Проверка уравнения регрессии осуществляется разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

Для проверки построенной математической модели на точность можно визуально сравнить опытные значения величины Y с теоретическими или сопоставить эмпирическую и теоретическую линию регрессии. Если отклонения малы, то модель является достаточно точной. Если отклонения значительны, то это говорит о том, что модель неадекватна оригиналу. В этом случае либо форма связи выбрана неправильно, либо имеются ошибки в расчетах.

Визуальное и графическое сравнение опытных значений величины Y с теоретическими используют для простейшей проверки построенной модели, так как при больших по величине значениях у_i отклонения могут быть далекими от нуля. Более точные методы проверки модели на адекватность, тождественность оригиналу основаны на количественном выражении отклонений .

Независимо от формы связи, находят коэффициент корреляции R и корреляционное отношение . Если >R, то кривая точнее аппроксимирует (заменяет) опытные данные, чем прямая. В случае прямолинейной зависимости =R. Считается, что уравнение регрессии тем точнее, чем больше .

Основной оценкой аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации:

Средняя относительная ошибка аппроксимации выражается в процентах. Принято считать, что если < 20%, то построенная модель является точной, адекватной оригиналу, т.е. расчетные (теоретические) значения, вычисленные по уравнению регрессии, хорошо согласуются с опытными (эмпирическими) значениямиy_i .

Найденное уравнение регрессии проверяют на статистическую надежность с помощью критерия Фишера, суть которого состоит в сопоставлении дисперсии величины Y и ее остаточной дисперсии: ,

где - дисперсия величиныY,

- остаточная дисперсия ,

p – число коэффициентов регрессии.

Эмпирическое значение критерия Фишера сравнивают с критическим значением F_кр (,f₁,f₂), вычисленным по таблице,- уровень значимости (обычно полагают=0,1; 0,05; 0,01),f₁=n-1 иf₂=n-p-1 – число степеней свободы (параметры критерия Фишера).

Если F >F_кр, то уравнение регрессии считается надежным (или значимым) на уровне значимостиили с вероятностьюp=1-.

Кроме проверки модели (уравнения регрессии) на адекватность и надежность, выполняют проверку коэффициентов уравнения на значимость.

Значимость коэффициентов a_i определяют с помощью критерия Стьюдента:

Если t_a > t_кр, то коэффициент a_i является значимым с вероятностью p=1-. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии.

Следует отметить, что критерий Стьюдента применяется для оценки коэффициентов только линейной регрессии. В случае криволинейной регрессии надо выполнить линеаризацию.

Многофакторный эксперимент.

При построении статистических моделей технологических объектов чаще всего возникает необходимость определения зависимости между результативным признаком Y и несколькими факторными признаками X_j , так как в процессах химической технологии на результативный признак Y влияют несколько случайных факторов.

Все факторы, которые предполагается включить в модель, должны быть тщательно проанализированы в соответствии со следующими требованиями:

а) каждый фактор должен быть количественным, т.е. иметь количественное выражение;

б) между результативным и каждым фактором должна быть логическая причинная связь;

в) между результативным и каждым фактором должна быть статистическая связь;

г) факторы не должны быть тесно связаны между собой, т.е. между ними не должно быть мультиколлинеарности.

В случае, когда два фактора оказываются мультиколлинеарными, надо оставить тот, который является первопричинным (более существенным).

В остальном этапы построения статистической модели при многофакторном эксперименте соответствуют этапам однофакторного эксперимента.

Оценка тесноты линейной связи осуществляется с помощью множественного коэффициента корреляции, для расчета которого сначала вычисляют парные коэффициенты корреляции между результативным признаком Y и каждым фактором X_j и между каждой парой факторных признаков X_j. После этого составляют симметрическую матрицу:

Множественный коэффициент корреляции определяют по формуле:

, где - определитель матрицы А,- определитель, полученный вычеркиванием в матрице А первой строки и первого столбца.

Для определения влияния только одного фактора X_j на Y находят частный коэффициент корреляции: ,

где - определитель, полученный вычеркиванием в матрице А первой строки и первого столбца;

- определитель, полученный вычеркиванием в матрице А первой строки иj-го столбца;

- определитель, полученный вычеркиванием в матрице Аj-ой строки и j-го столбца.

В случае двухфакторной зависимости f(x₁, x₂) множественный коэффициент корреляции определяют по формуле:

Частные коэффициенты корреляции в этом случае имеют вид:

,

Коэффициенты a_j линейной регрессии

находят из системы нормальных линейных уравнений: