Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdf7. |
y// - 3y/ = |
9e−3x |
, y(0) = 4 × ln 4, y / (0) = 3(3× ln 4 -1) . |
|||
3 + e−3x |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
1. xy¢ - 4y = y2 . |
|
|||||
2. |
y¢ = |
2xy + y2 |
. |
|
||
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
3.xy¢ - 2y = 2x4 , y(1) = 0.
4.x(y// +1) + y/ = 0
5. |
yy// |
- ( y/ )2 |
|
= 0, |
|
y(0) = 1, |
y/ (0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||||||||||||||
6. |
2y// |
+ 7 y/ + 3y = 222 ×sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||||||||||
7. |
y// + |
1 |
× y = |
|
|
|
|
1 |
|
|
, y(0) = 2, y/ (0) = 0 |
|
|
о |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
π 2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
т |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
y2 |
+ 6dx = xydy . |
|
|
|
|
|
|
|
б |
б |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
yx + y |
2 |
|
= (2x |
2 |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+ xy)y . |
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
y |
// |
+ 4y |
/ = cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
(1- x)(y |
¢ + y) = e− x , y(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
yy// |
- ( y/ )2 |
|
= y2 |
|
|
нн |
|
|
y/ (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln y, |
|
|
y(0) |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т2 |
|
|
|
|
|
|
+ 74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y // + 2y/ + 37 y = 37x2 - 33x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
е |
|
|
π |
|
|
|
|
æ |
1 ö |
|
|
æ 1 ö |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
// |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
y |
|
+ πкy = |
|
|
|
|
|
, |
yç ÷ = 1, y |
|
ç ÷ |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Э¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinπx |
|
|
è |
2 ø |
|
|
è 2 ø |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|||||||||
1. y - xy |
|
|
= 2xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. (x2 - 2xy)y¢ = xy - y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
y′ + ytgx = |
|
|
1 |
|
, y(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
АГНИ
4. |
y// + y/ = sin x . |
5. |
yy// - ( y/ )2 = 0, y(0) = 1, y/ (0) = 2 |
6. |
y// -12y/ + 40y = 2e6x |
7. |
y// - 9y/ +18y = |
9e3x |
|
|
, y(0) = 0, y/ (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1+ e−3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 22 |
|
|
|
|
|
|||
1. 2x2 yy¢ + y2 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y¢ = |
y - 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||
3. |
|
¢ |
|
2 |
+1) + 4xy = 3, y(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|||||||||||||||||||||
4. |
x2 y // = ( y/ )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||||||||||||
5. |
y(1- ln y) × y// |
|
|
+ (1+ ln y)(y / )2 = 0, |
y(0) = 1, |
|
y/ (0) = |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
6. |
y// - 4y/ = 8 -16x |
|
|
|
|
|
|
|
б |
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
y |
|
- 6 y |
|
+ 8y = 1 + e−2 x |
, y(0) = 1 + |
и |
|
(0) = 6 |
× ln 2 . |
|
|
||||||||||||||||||||
// |
/ |
2 × ln 2, y |
/ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
бВариант 23 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. y¢ = (4 + y2 )(1 + x |
2 ) . |
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
xy |
¢ = - y(ln |
|
y |
|
-1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
xy |
¢ + y = sin x, y(π ) = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
2xy// |
|
|
|
/ )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
× y/ |
= |
( y |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
y |
|
(1 |
+ y) = ( y ) |
|
+ y , |
|
|
y(0) = y (0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Э |
|
//е |
|
|
|
|
/ 2 |
|
/ |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
y// + 3y/ = 10 - 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
y // - 6 y / + 8y = |
|
4 |
|
|
|
, y(0) = 1 + 2 × ln 2, y / (0) = 6 × ln 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 + e−2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 24
92
АГНИ
1. y¢1+ y2 = x2 / y .
2.y¢ = x2 + y . 2xy
3.y¢(x2 -1) - xy = x3 - x, y(2) =1.
4.y // × x ln x = y/ .2
5. |
|
y// |
= |
|
|
y/ |
|
|
, |
|
|
|
y(0) = 1, |
|
y/ (0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
y// |
- 8y/ |
|
+ 20y = 16sin 2x -16cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|||||||||||||||||||||||||
7. |
|
y |
// |
+ 4 y = 8ctg 2x, |
|
|
|
|
æ |
π ö |
= 5, |
y |
/ æ |
π ö |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
yç |
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
4 ø |
|
|
|
è |
4 ø |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||
1. |
(y +1)y¢ = |
|
|
|
|
|
|
+ xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1- x2 |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
y¢ = |
x + 7 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
л |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
y (1- x |
|
) + xy = 1, y(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
|
y// |
× ctgx + y/ = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
yy// - 2yy/ |
|
ln y = (y/ |
)2 |
, |
y(0) |
= y/ (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
|
y// - 5y/ - |
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6y = 3cos x |
+19sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
|
y // + 3y/ = |
|
|
|
9e |
3x |
|
, y(0) = ln 4, y/ (0) = 3 - 3× ln 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
1+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
|||||||||||
л |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Э |
|
|
|
|
2 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
(1+ x |
|
|
)y |
|
|
+ y 1+ x |
|
|
= xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
|
xy′ = (x + 4y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos |
2 |
|
xctgx, y(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y ctgx - y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. |
(1+ x2 )y// |
= 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
АГНИ
5. y// = |
1 |
|
, y(0) = y / (0) = 0 |
|
|
|
|
||
|
y |
|||
|
|
|
|
6. |
y // − 3y/ + 2y = (34 −12x)e− x |
|||||
7. |
y// + π 2 y = |
|
π 2 |
, y(0) = 3, y / (0) = 0 . |
||
cosπx |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант 27 |
|
1. |
xyy′ = |
1+ x2 |
. |
|
||
|
|
|||||
|
1− y2 |
|
2.y′ = y − 2x .
x+ 2y
3.y′x2 = 2xy + 3, y(1) = −1.
4.y// = − xy .
5. |
|
y// |
= 1− ( y/ )2 , |
|
|
y(0) = 0, |
|
|
y / (0) = 0 |
||||||||||||||
6. |
|
y // |
+16y = 8cos 4x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
|
y // |
+ |
1 |
y = |
|
1 |
ctg |
x |
, |
y(π ) = 2, y / (π |
||||||||||||
|
4 |
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ая |
||||
1. |
|
y′ = y(4 + 2y + y2 )(1+ x2 ) . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
||||
|
2x3 y′ = y(2x2 − y2 ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y′ |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
+ 2xy = xe |
−x |
2 |
, y(0) |
= 0. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
е |
|
// |
− xy |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
(1− x2 ) y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
л |
|
|
e |
|
, |
|
|
|
y(0) = 0, y |
|
(0) = 1 |
||||||||||||
5. |
|
y |
// |
= y |
y |
|
|
|
/ |
||||||||||||||
Э |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y// |
− 9y / |
+ 20y = 126e−2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б |
|
|
|
|
|
|
|
||
) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 28
7. |
|
// |
|
1 |
æ |
π |
ö |
|
|
/ æ |
π |
ö |
|
π |
y |
|
+ y = |
|
, yç ÷ |
= 1, |
y |
ç ÷ |
= |
|
|||||
|
sin x |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
è |
2 |
ø |
|
|
è |
2 |
ø |
|
94
АГНИ
Вариант 29
1.(xy − x)2 dy + y(1− x)dx = 0 .
2.y′x2 = y(x + y) .
3.y′ −3x2 y = x2ex3 , y(0) = 0 .
4.y // + y/ tgx = sin 2x .
5. |
y // + 2 y( y / )3 = 0, |
y(0) = 2, y / (0) = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
y// + 2y / − 24y = 6cos3x − 33sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||||||||||
7. |
y// + y / = |
|
|
ex |
|
, |
y(0) = ln 27, |
y/ (0) = |
1− ln9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||||||||
2 + ex |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 30. |
о |
|
|
|||||||
1. (x2 y − y)y′ = x2 y − y + x2 −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
y′ = 2 |
y |
+ |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
б |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
xy′ + y = ln x +1, y(1) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. y′′(1+ 2ln y′) =1. |
−нн30 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. y′′ − 3y′ + 2y = 2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. y′′ = 4cos3 |
x − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. 4 y′′ + y = ctg |
ро, y(π ) = 3, y′(π ) = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
т2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
к |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95
АГНИ
Образец выполнения контрольных заданий по теме №7
1. y(4 - x2 )dy = -x(y2 - 3)dx .
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, так как имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||
f1 (x)q1 (y)dy = f2 (x)q2 (y)dx. Разделяем переменные: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
dy = − |
|
|
x |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 − 3 |
4 − x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Интегрируем обе части последнего равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = −ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
− |
3 |
4 |
− x |
2 |
|
е |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
||
При вычислении интегралов можно применить внес ниекамножителя под знак |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|||
дифференциала, или замену переменной. В люб м случае получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ò |
d( y |
|
- 3) = 1 |
|
ò |
|
|
d(4 - x |
|
) . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
- 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
и4 - x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ln y2 - 3 = ln 4 |
- x2 + ln C ,C ¹ 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
y2 - |
3 |
б |
C(4 |
- x2 ) |
|
,C |
¹ 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, получим общий интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y2 - 3 = C(4 - x2 ), |
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
|
|
выразить общее решение |
||||||||||||||||||||||
из которогоая |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
роdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дифференциальн го уравнения y = ± |
C(4 - x2 ) + 3 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. y − x |
dy |
|
= x + y |
dy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решениек. Преобразуем уравнение к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
( y |
+ x) = y − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
= |
y − x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
y + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как в числителе и знаменателе правой части уравнения содержатся однородные функции одного измерения, то исходное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
96
Приведем его к виду y¢ = ϕ( xy ) , для этого числитель и знаменатель правой части уравнения сократим на x.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
y |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
y |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t¢x + t = |
t −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Выполним замену переменной: t = |
y |
, где |
t |
= t(x) . Тогда справедливы равенства: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = t × x, y′ = t′x + t . |
Подставим |
|
полученные |
|
|
|
выражения в преобразованное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t′x = t −1 |
− t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
+1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t′x = − t +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проинтегрируем: |
t |
+1 |
|
dt = - |
dx |
. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 ая |
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
dt |
= - |
ò |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
нн |
|
t |
2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ро |
|
1 |
ln(t 2 |
+ 1) + arctgt = - ln |
|
x |
|
+ ln |
|
C |
|
,C ¹ 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
+ 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
- ln |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
е |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgt = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
t 2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вернувшись к замене, запишем общий интеграл уравнения |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
y |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
|
|
|
|
|
3. y¢sin x - y cos x = 1, y(π2 ) = 0 .
97
Решение. Разделим обе части уравнения на sin x ¹ 0. Преобразуем уравнение к виду: y¢ - y cossin xx = sin1 x . . Исходное уравнение является линейным относительно y′ и y, так как имеет вид y′ - y × p(x) = q(x) . Искомое решение уравнения ищем в
виде произведения множителей: |
y = u ×v,u = u(x),v = v(x) . Тогда y′ = u′v + uv′. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + uv¢ - uv × |
cos x |
= |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
АГНИ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + (uv¢ - uv × |
cos x |
) = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + u(v¢ - v × |
cos x |
) = |
|
|
|
1 |
|
(*). |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
sin x |
|
|
|
|
ка |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v¢ - v × cos x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функцию v(x) найдем исходя из условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
и |
т |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
dv |
= ò |
|
cos x |
dx |
.о |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnv = ln(sinx) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Итак, v = sin x . Подставляем полученное выражение v(x) в уравнение (*). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
u × sin x = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢ = sin2 |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
u = -ctgx + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вернувшись к замене переменной, получим y = (-ctgx + C) ×sin x - общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
кπ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
исходного уравнения. Подставим начальное условие в уравнение: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
е |
|
+ C) × sin 2 Þ C = 0 . Итак, частное решение примет вид y = -ctgx×sin x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
л |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 = (-ctg 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y |
+ y = x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Так как уравнение имеет вид |
|
y¢ + p(x)y = q(x) yn , то имеем уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Бернулли n = |
1 |
. Разделим обе части уравнения на |
|
¹ 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
yy′ + yy = x .
yy′ + y = x
Выполним замену z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
y , тогда |
z |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Подставим в уравнение выражения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для z, z′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z′ + z = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z¢ + |
|
1 |
|
z = |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||||||||||||||
Решаем |
|
|
линейное |
уравнение |
|
|
относительно |
|
z, z′ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
посредством замены |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
= |
u |
× |
v,u |
= |
u(x),v |
= |
v(x) , |
z |
′ = |
u |
′× |
v |
+ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + uv¢ + |
1 |
uv = |
x |
, |
|
|
т |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xи |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
,(*) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + u(v¢ + |
2 v) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
1 |
|
|
|
|
|
и |
1 |
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
+ |
v = 0, |
dv |
|
= - |
|
|
v, |
= - |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
2 |
|
|
|
v |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
1б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
v |
= - |
2 |
òdx, ln v |
|
= - |
2 |
, v |
= e 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим найде ое з ачение v = e в уравнение (*), получим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u e |
− x |
= |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢ = 2 × e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò du = ò |
|
|
|
|
x |
|
|
× e |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применив интегрирование по частям, получим
|
x |
(x - 2) + C . Итак, |
|
x |
− x |
u = e |
2 |
z = (e |
2 |
(x - 2) + C) × e 2 |
− x
, или z = x - 2 + C × e 2
. Так как z = y ,
− x − x
то y = x - 2 + C × e 2 , т.е. y = (x - 2 + C × e 2 )2 .
99
5. y3 y′′ = −1, y(1) = 1, y′(1) = 0 .
Решение. Данное уравнение второго порядка, причем не содержит в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения может быть понижен на
единицу с помощью подстановки y′ = p(y), y′′ = p′p = p dpdy .
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 = |
1 |
|
+ 2C1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||||||
Далее, y3 p |
dy |
= −1, |
pdp = −y−3dy , |
|
ò |
pdp = - |
ò |
|
y |
−3 dy , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
+ C1 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = ± |
|
|
|
12 + 2C1 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
л |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2C1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
и |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ± |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
2C1 y |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
dx = ±ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C1 y |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C2 - общее решение дифференциального уравнения. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = ± |
|
|
|
1 + 2C1 y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2C1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем частное |
ешение, для этого подставим начальные условия в общее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
ì |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
решение. При х=1,у=1, y′ = 0 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï1 |
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
2C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï0 = ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив систему, получим C1 = −1/ 2,C2 =1.
Итак, искомое решение примет вид x = ±1− y2 +1.
6. y′′ − 8y′ + 20y = 10(sin2x + cos2x) .
100