Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdf7.Исследуем на направление выпуклости.
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1 |
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(-8a2 ) |
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Вторая производная: y¢¢ = |
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× |
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. |
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9 |
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(2a - x) |
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3 (2ax2 |
- x3 )2 |
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Т.В. П.(точки возможного перегиба): y′′ = 0 или y′′ |
не определена. |
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y′′ = 0 - нет таких х, так как числитель второй производной отличен от |
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нуля при любом х. |
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АГНИ |
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y′′ не определена, если x = 2a или |
x = 0. |
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Исследуем знак второй производной y′′ = 0 : |
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ка |
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Получим единственную точку перегиба M1 (2a;0). |
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е |
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Пользуясь результатами исследования, строим график функции. |
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т |
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о |
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и |
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л |
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б |
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и |
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ая |
б |
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нн |
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т |
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к |
ро |
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рис.4 |
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е |
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л |
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Э |
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61
Контрольные задания
Тема 5:Функции нескольких переменных
Задание 1. Дана функция z=f(x,y) и точки А(х0,у0),В(х1,у1). Требуется:
а) Вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения в
точке А и заменив приращение функции при переходе от точки к точке В ее
АГНИ
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дифференциалом; |
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ка |
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б) оценить абсолютную и в относительную (в %) погрешности, получающиеся |
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при замене приращения функции ее дифференциалом; |
е |
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т |
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о |
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в) составить уравнение касательной плоскости к п верхности z=f(x,y) в точке |
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С(х0,у0,z0). |
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л |
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Вариант |
Выражение функции z |
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т.А |
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Координаты т.В |
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Координатыи |
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2 |
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б |
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1 |
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z = x2 |
− y2 |
+ 5x + 4 y |
б |
А(3;2) |
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|
В(3,05;1,98) |
|
||||||
|
2 |
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|
z = x |
|
− 2xy + 5x − |
5y |
А(4;1) |
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В(3,97;1,05) |
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||||||
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3 |
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z = xy + 2y2 − 2x |
ая |
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А(1;2) |
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В(0,97;2,03) |
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||||||
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4 |
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z = x2 |
+ y2 |
нн |
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А(2;3) |
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|
В(2,01;3,03) |
|
||||
|
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|
+ 4x + 3y |
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||||||||||
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5 |
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ро |
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|
А(4;1) |
|
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|
В(3,96;1,04) |
|
||||
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|
z = x |
2 |
+ 3xy2 − 6y |
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|||||||
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6 |
|
|
т2 |
|
2 |
2 + 2x |
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|
А(1;3) |
|
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|
В(1,01;2,99) |
|
|||
|
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|
z = xy − 2y |
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|||||||||
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7 |
|
к |
|
|
+ y |
|
+ 5yx |
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|
А(1;3) |
|
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В(0,98;3,01) |
|
||
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|
z = x |
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л |
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+ y2 |
− 3x + 4y |
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|
А(2;1) |
|
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|
В(2,05;0,97) |
|
||||
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8 |
е z = x2 |
|
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|||||||||||
Э |
|
|
z = x2 |
− y2 |
+ 7x − 2 y |
|
|
А(3;2) |
|
|
|
|
В(2,97;1,95) |
|
||||||
9 |
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|||||||||||
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10 |
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|
z = x2 |
+ y2 + 6xy |
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А(3;1) |
|
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|
В(2,98;0,97) |
|||||||
|
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||||||
11 |
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|
z = xy − 3y2 + 5x |
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А(2;1) |
|
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|
В(2,01;0,97) |
||||||||
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62
|
12 |
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|
z = x2 |
+ 3y2 |
+ xy + 4y |
|
А(2;3) |
|
|
|
|
В(2,01;2,97) |
|
|||||
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||
13 |
|
|
z = x2 + y2 + 2x + y − 2 |
|
А(2;4) |
|
|
|
|
В(2,03;3,99) |
|||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||
14 |
|
|
z = x2 − y2 + 3x − y −1 |
|
А(2;4) |
|
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|
В(2,03;3,99) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15 |
|
|
z = x2 |
− y2 + 3x + 4y − 2 |
|
А(2;3) |
|
|
|
|
В(1,98;2,97) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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16 |
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|
z = x2 − y2 + 6x − y −1 |
|
А(2;1) |
|
|
|
|
|
АГНИ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В(1,99;0,97) |
|
||||||||||
|
17 |
|
|
z = x2 |
− y2 + 6x + 3y + 3 |
|
А(1;3) |
|
|
|
|
В(0,99;2,97) |
|
||||||
|
18 |
|
|
z = xy − 2y2 |
+ 2x |
|
А(1;3) |
|
|
|
|
В(0,99;2,97) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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19 |
|
|
z = 3x2 |
− y2 |
+ 6x + 2y + 8 |
|
А(1;1) |
|
|
|
|
ка |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В(0,98;0,96) |
|
||||||||||
|
20 |
|
|
z = x2 |
− y2 + 3y + 3 |
|
А(2;1) |
|
т |
|
В(1,99;0,97) |
|
|||||||
|
21 |
|
|
z = 5x2 |
− y2 |
+ 3y + 3 |
|
А(2;1) |
|
|
В(1,99;0,97) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
||||||||||||
|
22 |
|
|
z = x2 |
− y2 + 6x + 3y + 3 |
|
|
|
и |
|
|
|
В(-0,98;2,97) |
|
|||||
|
|
|
|
А(-1;3) |
о |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
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|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
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23 |
|
|
z = 3x2 |
− xy + x + y + 3 |
|
б |
|
|
|
|
|
В(-0,98;2,97) |
|
|||||
|
|
|
|
А(-1;3) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
z = 2x |
2 |
− 3y |
2 |
+ 5x + y − 4 |
б |
А(1;1) |
|
|
|
|
В(0,98;0,96) |
|
|||
|
25 |
|
|
z = 2x2 |
+ 2 y2 |
+ x + y − 2 |
|
А(1;1) |
|
|
|
|
В(0,98;0,96) |
|
|||||
|
26 |
|
|
|
2 |
|
2 |
ая |
|
А(-1;3) |
|
|
|
|
В(-0,98;2,99) |
|
|||
|
|
|
z = −x2 |
+ 2y2 |
+ 7x + y − 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
27 |
|
|
z = 5x |
|
+ 2y |
|
− 5x + y − 5 |
|
А(1;1) |
|
|
|
|
В(0,98;0,96) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
28 |
|
|
z = −5x2 − ннyx + 7x + y − 4 |
|
А(2;3) |
|
|
|
|
В(2,01;3,04) |
|
|||||||
|
29 |
|
|
т |
|
+ xy2 |
+ 7x − y + 4 |
|
А(2;3) |
|
|
|
|
В(2,01;3,04) |
|
||||
|
|
|
z = −x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
е |
|
|
+ 2y2 |
− xy + y |
|
А(1;2) |
|
|
|
|
В(0,95;1,98) |
|
|||||
|
|
кz = 3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
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Задание 2. Дана функция z=f(x,y) , точка А(х0,у0) , точка В(x1,y1). |
|
|
Найти угол между градиентами функции в точках А и В; производную в точке А по направлению АВ .
1. z = 4x2 + 3xy ,А(2;3), В(-4;1). |
2. z = 2x4 + x2 y3 ,А(2;-1), В(3;1). |
|
63 |
3. |
z = 3x4 + 2x2 y3 ,А(-1;2), В(-4;3). |
4. z = 2x2 y2 |
+ 4xy2 ,А(2;2), В(3;-1). |
5. |
z = 3xy2 + 2x2 y3 ,А(2;-1), В(3;1). |
6. z = 3x2 y2 |
+ 5xy2 ,А(1;1), В(3;4). |
7. |
z = 2x2 + 4xy ,А(2;3), В(3;6). |
8. z = 3x3 + x2 y3 ,А(2;3), В(3;5). |
|
9. |
z = 2x3 y + 4x2 y3 ,А(1;-1), В(3;1). |
10. z = ln(5x2 + 4y2 ) ,А(1;1), В(3;0). |
11. |
z = ln(2x2 |
+ 4y2 ) ,А(1;3),В(3;2). |
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||||||
|
z = ln(3x2 + 4y2 ) ,А(1;2) В(2;-1). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
z = ln(x2 + 4y2 ) |
|
А(-1;2),В(1;4). |
|
14. |
z = ln(5x2 |
+11y2 ) , А(-1;2),В(1;4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
z = ln(3x2 |
+ y2 ) |
|
А(1;2),В(4;3). |
|
16. |
z = ln(2x2 |
+ 5y2 ) |
А(-1;2),В(2;-6). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
z = ln(6x2 |
+ 4y2 ) |
А(2;2),В(5;6). |
|
18. |
z = ln(7x2 |
− 4y2 ) |
|
ка |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
А(1;1),В(3;2). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
||||||
19. |
z = arcsin( |
|
) |
А(1;2),В(6;-10). |
|
20. z = x2 |
+ xy + 4y2 |
А(-1;2),В(1;4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
z = arctg(x2 y) А(1;1),В(3;0). |
|
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(1;3),В(2;4). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
z = 2x2 +тxy + 3y2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
z = ln(5x2 |
+ 4y2 ) А(-1;2),В(2;6). |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
− 4y2 ) А(1;1),В(5;4). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
24. |
z |
|
= ln(16x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
z = 3x |
|
+ 5y |
|
|
x |
|
|
А(1;-2),В(4;-5). |
|
б |
z |
= ln(−x |
|
+ 4y |
|
) А(-1;2),В(1;4). |
||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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2 |
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3 |
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и28. |
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2 |
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2 |
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|||
27. |
z = ln(x2 + 4y2 ) |
|
А(1;-2),В(-2;4). |
|
z = ln(7x2 |
+ 4y2 ) А(-1;2),В(1;-2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
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|
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|
ая |
б |
30. |
z = 3x2 − 5y2 x3 |
+ y2 |
А(1;-2),В(4;-5). |
|||||||||||||||||||||
z = arctg(x2 y) А(-1;1),В(-2;0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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нн3 |
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Задание 3.Исследовать экстремум функцию. |
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1. z = x2 + xy + y |
2 |
− 2x − 3y + |
17 |
. |
|
2. z = 4x2 y + 24xy + y2 + 32 y − 6 . |
|
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ро |
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|||||||||
3. z = −x |
2 |
|
т |
|
2 |
− 9x + 3y − 20 |
|
|
4. z = −10xy2 + x2 + +10x +1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+ xy |
− y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
к |
|
− y |
|
− 9y + 6x − 35. |
|
6. |
|
z = 6x |
|
|
− 7xy + 2y |
|
+ 6x − 3y . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. z = −x |
2 |
+ xy |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
л |
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||
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е2 |
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2 |
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x3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
7. z = 4x |
|
− 5xy + 3y |
|
− 9x − 8y . |
|
|
8. |
|
z = |
|
|
− xy |
|
+ |
|
− |
3xy − 2x + y |
|
+ 3y . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Э9. z = 2x3 + 2y3 − 36xy +10 . |
|
|
10. |
|
z = 14x3 + 27xy2 − 69x − 54y . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
z = x4 |
+ y4 |
− 2x2 |
+ 4xy − 2y2 . |
|
|
12. |
z = x3 y2 (12 − x − y) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
z = x3 + y2 |
− 6xy − 39x +18y + 20 . |
|
|
14. z = x2 − xy + y2 . |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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64 |
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15. |
z = x2 |
- 2xy + 2y2 + 2x. |
|
|
16. z = x3 - 2y3 - 3x + 6y. |
||||||||||
17. |
z = x3 + y3 -15xy . |
|
|
18. z = x2 + 4y2 - 2xy + 4. |
|||||||||||
19. |
z = x2 |
- y2 - xy. |
|
|
20. z = x3 + y3 - x2 - 2xy - y2 . |
||||||||||
21. |
z = 4x + 2y - x2 - y.2 |
|
|
22. z = x2 + y2 + xy - 6 y - 3x. |
|||||||||||
23. |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
АГНИ |
z = |
y |
+ |
|
+ y. |
|
|
|
z = 2x3 |
+ xy2 + 5x2 |
+ y2 . |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25. |
z = e2x (x + y2 + 2y) . |
|
|
|
26. z = 2x2 |
+ y2 |
+ 2x + 6y. |
||||||||
27. |
z = (3 − x − y)xy . |
|
|
|
28. |
z = 2xy - 3x2 - 2y2 |
+10 . |
||||||||
29. |
z = 4x - 4y - x2 + 2y2 |
|
|
|
30. |
|
|
ка |
|
||||||
|
|
|
z = x3 + y3 - 3xy |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
о |
е |
|
||||
|
|
|
|
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|
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|
по теме 5 |
|||||
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Образец выполнения контрольных заданийт |
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и |
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Дана функция z=x +xy-y |
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л |
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|||||||
точки А(4;1),В(3,97;1,01). Требуется: |
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||||||||||||||
|
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б |
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|
|
а) Вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения в |
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и |
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|
точке А и заменив приращение функц при переходе от точки А к точке В ее |
|||||||||||||||
дифференциалом; |
б |
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||||||
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|
б) оценить абсолютную и в относительную (в %) погрешности, получающиеся при замене приращения функции ее дифференциалом;
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|
|
нн |
|
|
в) составить уравнение касательнойая |
плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке |
||||
С(х0,у0,z0). |
|
|
|
||
Решение. Вычислим значение функции в точке В. |
|||||
|
|
т |
|
|
|
|
к |
= 18,7606. |
|
||
z(B)=3,972 |
+ 3,97ро×1,01-1,01 |
|
|||
е |
|
|
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|
л |
|
|
|
|
|
Зам ним полное приращение функции ее полным дифференциалом: |
|||||
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|
z(B) - z(A) » z′x (A)dx + z′y (A)dy . |
|
ЭТаким образом, отсюда можно найти приближенное значение функции в точке |
В по формуле:
z(B) » z(A) + z′x (A)dx + z′y (A)dy
Вычислим значения частных производных:
65
z′x (A) = (2x + y) A = 9 z′y (A) = (x −1) A = 3 . dx = 3,97 − 4 = −0,03,
dy = 1,01 −1 = 0,01.
Итак, приближенное значение функции в точке В:
z(B) » z(A) + z′x (A)dx + z′y (A)dy = 19 + 9 × (-0,03) + 3× 0,01 = 18,76 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
б )Абсолютная погрешность: |
= |
|
|
18,76 −18,7606 |
|
= 0,0006. |
|
|
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|||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||
Относительная погрешность:δ = |
|
|
18,76 -18,706 |
|
×100% = 0,003% . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
18,76 |
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||||||||||||||||||||
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||
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|
(x - x0 )Fx′(А) + (y - y0 )Fy′(A) + (z - z)Fz′(A) = 0 . |
|
|
ка |
|||||||||||||||||||
в) Составим уравнение касательной плоскости к поверхностиАГНИF(x,y,z)=0, |
||||||||||||||||||||||||||
проходящей через А(x0,y0,z0) по формуле: |
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е |
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о |
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Здесь F=x2+xy-y-z, А(4;1;19). |
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л |
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т |
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|||||||||||||||||
Fx′(A) = 2x + y = 9, Fy′(A) = x −1 = |
3, Fz′ = −1. |
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и |
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и |
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Получаем уравнение касательной плоскостиб: |
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б |
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||
9(x − 4) + 3(y −1) + (−1)(z −19) = 0 , или 9x+3y-z-20=0. |
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ая |
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||
Задание 2. Дана функция z=x2-5xy+4y , точка А(1;-1) , точка В(4,-3). |
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нн |
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||
Найти угол между градиентами функции в точках А и В; производную в точке |
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А по направлению АВ . |
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Решение. |
ро |
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|||||
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Г адиент-вектор, составленный из частных производных, т.е. |
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т |
|
|
grad z(А) = z¢x (А)i + z¢y (А) j . |
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к |
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||||
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е |
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′y = -5x |
+ 4 . |
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||
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z′x = 2x |
- 5y, z |
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|||||||
Э |
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r |
r |
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′ |
|
= |
2 |
+ |
5 |
= |
|
′ |
= - + |
4 |
= - |
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|
− j = {7,−1}. |
|
zлx (А) |
|
|
7, zy (А) |
5 |
|
1. Следовательно, grad z(A) = 7i |
||||||||||||||||||||
z′x (B) = 8 +15 = 23, z′y (B) = -20 + 4 = -16. |
|
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r |
|
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|
|
r |
|
|
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|
Следовательно, grad z(B) = 23i |
−16 j = {23,−16}. |
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|
|
66
Искомый угол между градиентами определим с помощью скалярного произведения векторов:
cosϕ = |
|
gradz(A) |
× |
gradz(B) |
= |
7 × 23 + (-1)(-16) |
|
|
|
= |
|
|
161+16 |
|
» 0,8934 . |
|
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|||||||||||||||||||
|
gradz(A) |
|
gradz(B) |
|
|
|
72 |
+1 × |
|
|
232 |
|
+ (-16)2 |
|
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|
50 785 |
|
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Итак, |
|
искомый угол между градиентами ϕ » 260 40¢ . |
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Производную по направлению найдем c помощью скалярного произведения |
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градиента gradz(A) |
и единичного вектора направления |
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l0 по формуле |
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∂z |
(A) = grad z(A) × l0 . |
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АГНИ |
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¶l |
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||||||||||
Отметим, что если функция z=z(x,y) дифференцируема в точке А, то в этой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке существует производная по любому направлению l . |
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ка |
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||||||
Найдем вектор направления: |
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е |
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|||||||||||||||||||||||||
AB = {4 −1;−3 +1}= {3;−2}. Найдем единичный вектор |
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l |
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{3;-2} |
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ì |
|
3 |
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|
- 2 |
ü |
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|
|
т |
|
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|
|
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|||||||||||||
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|
r |
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|
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|
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|
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|
о |
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направления: l0 = |
r |
= |
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í |
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l |
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32 + (-2)2 |
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î |
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13 13 |
þ |
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и |
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л |
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3 |
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− |
2 |
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23 |
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||||||
Итак, искомая производная по направленбю есть ∂z (A) = 7 × |
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+ (-1) × |
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= |
. |
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и |
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¶l |
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13 |
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13 |
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13 |
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|||||||||||||||
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Задание III. Исследовать функциюбz = x3 + 8y3 - 6xy + 5 на экстремум. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Найдем частные производные первого порядка |
|
z′x , z′y |
и критические |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки, в которых они раваяы нулю или не существуют, при этом точки должны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежать внутри области определения функции z. |
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z |
¢ = 3x |
2 - 6y |
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нн |
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||||||||||||||
, |
z′ = 24y2 |
− |
6x |
. |
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x |
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y |
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Решим сис ему уравнений: |
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т |
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к |
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x2 |
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ì |
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x2 |
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ì |
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x2 |
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ì |
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1 |
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|||||||||||||||
ìz¢ = 0 ì |
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2 |
= |
6y |
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y = |
|
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y |
= |
|
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y = |
|
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y |
= 0, y |
|
= |
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3x |
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ï |
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ï |
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ï |
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ï |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||
í |
x еï |
|
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, |
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2 |
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2 |
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2 |
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1 |
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2 . |
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í |
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í |
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í |
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í |
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í |
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||||||||||||||||
î |
z¢y = 0 |
ï24y |
2 |
- 6x = 0 |
ï |
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2 |
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ï |
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4 |
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ï |
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3 |
|
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|
ï |
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|||||||||||
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î |
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- x = 0, |
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- x = 0, |
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-1) = 0, |
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= 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
л |
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î4y |
|
îx |
|
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îx(x |
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îx1 = 0, x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
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1 |
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Получили две критические точки: |
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M1 (0;0), M 2 (1; |
) . Других критических точек |
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2 |
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нет, т.к z′x , z′y существуют при любых значениях х,у.
67
Составим |
определитель |
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|
из частных производных второго порядка и |
||||||||||
исследуем по знаку определителя критические точки. |
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||||||||||||||||
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z′′ |
z′′ |
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6x |
− 6 |
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. |
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= |
xx |
xy |
= |
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|||
z′′ |
z′′ |
− 6 |
48y |
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|||
|
yx |
yy |
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||
Для точки M1 получим |
= |
|
0 |
− 6 |
|
|
= −36 < 0- нет экстремума. |
АГНИ |
|||||||||
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||||||||||||||||
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− 6 |
0 |
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|
|
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|
||
Для точки M2 получим |
= |
|
|
6 |
− 6 |
|
= 144 − 36 = 108 >0 , кроме того первый угловой |
||||||||||
|
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||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
− 6 |
24 |
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|
|
минор 6>0, следовательно исходя из достаточных условий экстремума т. М2
есть точка минимума и zmin = z(M 2 ) = 1 + 8 × |
1 |
- 6 × |
1 |
+ 5 = 4 . |
|
|
ка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
8 |
|
2 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
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|
Контрольные задания |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
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|
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Тема 6: Интегральное исчисление функции одной переменной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I. Найти неопределенный интеграл |
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о |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б |
и |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2dx |
|
|
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|
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|
|
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|
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|
x +18 |
|
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|
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|||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||
1. а) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б). ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) ò |
(3x2 − 2)cos xdx ; г) òаrctg 4x −1dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
+ x |
3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
- 4x -12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
б |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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x + 4 |
|
|
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|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
dx; в) |
(3x |
− |
|
2x2 )sin 2xdx; г) |
аrctg |
|
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|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
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|
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|
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2x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
2 x2 |
|
|
|
|
ò x2 - 2x - 8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
|
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и |
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ая |
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|||||||||||||
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5 - x |
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5 |
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3. а) ò |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
; б). ò |
|
|
|
|
|
x + 23 |
|
|
|
|
dx; в) ò |
ln |
2 x |
dx ; г) òаrctg |
|
dx . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3x −1 |
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2 |
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2 |
6 |
|
|
|
|
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5x −1dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.а) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б). ò |
|
|
нн2 |
|
dx; в) ò(2x |
x |
−15x)cos3xdx ; г) òаrctg |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x |
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|
+ x - 20 |
|
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|||||||||
5.а) |
|
x |
|
|
7 − 5x2 dxро; б). |
|
|
x +19 |
|
dx; в) |
|
|
(8x2 +16x +17)cos3xdx ; г) |
|
|
аrctg x −1dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
x2dx |
|
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x +12 |
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|
2 |
|
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||||||
|
|
5 +100x |
|
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|
x |
|
|
- x - 6 |
|
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|
к |
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|
|
|||||||||||
|
е |
т |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
ò x2 - 2x -15 |
|
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|
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|
ò |
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ò |
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ò |
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|||||||||||||||||||||||||
л |
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5x + 6 |
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|
x cos x |
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|||||||||
6.а) ò |
arctg4 xdx |
; б). |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) ò(4x |
2 |
− 2x)cos4xdx ; г) ò |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 4x |
-12 |
|
sin |
3 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э7.а) ò |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
sin xdx |
|
|
|
|
; б). ò |
|
|
|
|
|
5x − 7 |
|
|
|
dx; в) ò(9x2 + 2x +13)cos3xdx ; г) òаrctg |
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1- cos x |
|
|
x |
2 |
|
- x - 20 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
8.а) òsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
dx; в) ò(8x2 |
+ 2x − 7)cos2xdx ; г) òаrctg |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 − cos2 xdx ; б). ò |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ x - 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
68
|
|
3 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
4x + 7 |
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
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|
|
|
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|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9.а) ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
б). ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) ò(3 − 7x |
|
|
− 2x)cosxdx ; г) òe− |
|
(2 − 9x)dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 2x −15 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
3x + 1 |
|
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2 |
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|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||
10.а) ò |
|
|
|
dx ; б). ò |
|
|
|
|
|
dx; в) ò(8x |
+ 5x)cos2xdx ; г) òаrctg 7x −1dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
|
|
x |
+ 4 |
x |
2 |
|
+ 5x + |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
19 − 4x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11.а) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б). ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) ò(4x − |
3x |
|
|
− 2)cosxdx ; г) òe− |
(4x − 3)dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сos |
2 |
x |
3 |
|
|
|
2x |
2 |
|
+ x |
|
− 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
|||||||||||||||||||||
12.а) ò |
|
|
x2dx |
|
|
|
; |
|
б). ò |
|
|
|
|
|
x + 9 |
|
|
|
dx; в) ò(9x2 + 7x − 2)cos2xdx ; г). òarcsin |
x |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 − x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
+ 2x − 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13.а) ò |
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
; б). ò |
|
|
|
2x + 27 |
|
|
|
|
dx; в) |
ò(7x |
2 |
− 2)cos3xdx ; г) ò(1− ln x)dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− x |
−12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
4 |
− e |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 ln x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
14.а) ò |
dx ; б). ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) ò(3x2 − 2)cos5xdx; г) òarcctg4xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
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|
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x |
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+11x +12 |
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аrctg5еxdx . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.а) |
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xdx |
; б). |
|
|
11x − 2 |
|
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dx; |
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в) |
|
|
(2x2 + 9)cos4xdx; г) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ò |
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2 |
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ò x2 + x − 2 |
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ò |
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ò |
о |
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||||||||||||||||||||||
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8 + x |
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л |
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|
т |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.а) |
ò |
|
x dx |
|
|
; |
|
|
б). |
|
|
|
|
|
17 −18x |
|
dx; в) |
ò |
(3x2 + |
|
|
|
|
|
; г) |
|
arctg6xdx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
2x)sin 2xdx |
|
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7 + x2 |
|
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ò x2 − 5x + |
4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
и |
|
|
иò |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(x + 4)dx |
|
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9 − 3x |
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2 |
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
17.а) ò |
|
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|
|
; |
б). ò |
|
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|
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|
dx; в) ò(3x −б2x )sin 4xdx; г) òxsin |
|
|
4xdx . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2 |
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2 |
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7 + x |
|
|
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|
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|
|
x |
|
|
|
− 4x −12 |
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|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
x + 1 |
|
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5x +1 |
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2 |
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||||||||||||||||
|
|
ò |
8 + x |
|
2 dx |
; |
ò x2 |
|
− 2x − 8 |
аяò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
4 |
|
òarctg2xdx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.а) ò |
2 + x |
б). |
ò |
2x |
2 |
− x − |
6 |
dx; |
в) ò(x |
|
|
+ 2)cos6xdx |
; г) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x2dx |
|
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7ннx + 18 |
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|
2 |
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||
19.а) |
|
x2dx |
|
; |
|
б). |
|
|
|
|
|
|
x − |
13 |
|
|
|
dx; в) |
|
|
xcos4 |
xdx ; г) arctg |
|
x |
dx . |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) òxcos |
|
4xdx ; г) òx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
20.а) ò |
1+ 3x |
2 |
|
; |
|
б). ò |
|
x |
2 |
|
− x −12 |
|
|
|
ln(1+ x)dx . |
|
|
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|
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|
(1− xт) dx |
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x +15 |
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|
2 |
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|
1− x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
; |
|
б). ò x2 − 4x −12dx; в) ò(3x − 2)cos xdx ; г) ò 1+ x dx . |
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21.а) |
ò |
|
кx x |
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
x + 5 |
|
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|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
x2 |
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||||||||||||||||
22.а) |
|
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|
; |
|
|
б). |
|
|
|
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|
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|
|
dx; в) |
(3x + 4)cos2 5xdx |
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
лò |
7 x4 +1 |
|
|
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|
ò x2 − x −12 |
|
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|
|
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|
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|
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|
|
ò |
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x +1) |
2 |
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
x +13 |
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|||||||||||||||||||
23.а) ò |
|
dx |
; |
|
б). ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) ò(3x + 2)cos2 4xdx ; г) ò(arcsin x)2dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
x |
2 |
− 4x −12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
exdx |
|
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|
|
|
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5x + 8 |
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|||||||||||||||||
24.а) ò |
|
|
|
|
|
; |
|
б). ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; в) |
ò(9x − 5)cos |
2 |
6xdx; г) ò |
|
1+ x |
2 |
|
dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
2 x |
+ 4 |
|
|
x |
2 |
|
|
− 4x −12 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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69 |
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|
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|
25.а) òctg2 5xdx ; |
б). ò |
|
|
|
|
|
x −18 |
|
|
dx; |
в) ò(x2 + 2)cos7xdx ; г) ò |
|
|
|
x + 1 |
+ 1 |
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 4x −12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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x + 1 −1 |
|
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||||||||||||||||||||||||
26.а) ò |
|
|
|
|
2x dx |
|
|
; |
|
|
б). |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
x +18 |
|
dx; в) ò(3x +1)sin2 3xdx ; г) ò(arctgx)2 xdx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− 7x + |
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
27.а) ò |
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
; б). ò |
|
|
|
|
4x +1 |
|
dx; в) òe |
3x |
cos xdx ; г) ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
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|
|
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|
2 |
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
АГНИ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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2 2 |
|
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 + 3x |
|
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x + 2x + 3 |
|
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x x − 9 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28.а) òsin |
4 |
xcos xdx ; |
|
|
|
б). ò |
|
|
|
6x + 1 |
dx; в) ò |
(3x |
2 |
− |
2)cosxdx; г) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x |
2 |
− x − |
12 |
|
|
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29. а) òesin x cos xdx ; |
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б). ò |
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3x + 8 |
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dx; в) ò(2x − 5)sin2 7xdx ; г) òarctg |
|
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x |
dx . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
2 |
− 6x −12 |
2 |
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x + 18 |
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2 |
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+ ln x |
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30.а) ò2x |
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x |
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+1dx ; |
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б). ò |
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2 |
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dx; в) ò(x + |
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dx . |
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4x |
+ 4x + 5 |
5x)cos9xdx ; г) |
ò |
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x ln x |
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II. Найти неопределенный интеграл |
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+ 4x + 2 |
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− 4xи−16x −12 |
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1. ò |
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2 |
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dx . |
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(x +1) |
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+ x +1) |
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(x |
−1) |
2 |
(x |
+ 4x + |
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5) |
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x3 |
+ 4x2 + 3x + 2 |
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− 3x3 |
+13x2 −13x +1 |
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2. ò |
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dx . |
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(x +1) |
2 |
(x |
2 |
+1) |
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2) |
(x |
− x + |
1) |
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3. ò |
2x3 |
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+ 7x2 + 7x − |
1 |
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dx . |
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13. ò |
|
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x3 + 2x2 +10x |
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dx . |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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(x + 2) (x + x +1) |
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(x +1) (x − x +1) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2x3 + 4x2 + 2x −1 |
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3x3 + x + 46 |
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2 |
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2 |
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dx . |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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dx . |
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|||||||||||||||||||||||||
4. ò |
(x |
+ |
1) |
2 |
(x |
2 |
|
+ 2x + 2) |
|
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14. ò |
|
(x |
−1) |
(x |
+ |
9) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
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x3 |
+ 6x |
2 |
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+ 9x + 6 |
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dx . |
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|
|
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15. |
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4x3 + 24x2 + 20x − 28 |
dx . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(x + 3) (x + 2x + 2) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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(x + |
1) |
|
|
т(x + 2x + 2) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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+11x2 +16x |
+10 |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
2x3 + 3x2 + 3x + 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2x3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
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|
|
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|
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|
dx . |
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|
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|
16. ò |
|
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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|
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|
2 |
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2 |
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|
+ 2) |
|
|
(x |
|
|
+ 2x + 3) |
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(x |
|
+1)(x |
|
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+ x +1) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. ò |
3x3 + 6x2 + 5x −1 |
|
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17. ò |
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x3 + x +1 |
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dx |
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(x +1) |
2 |
(x |
2 |
+ 2) |
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(x |
2 |
+1)(x |
2 |
+ x + |
1) |
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8. ò |
x3 |
+ 9x2 + 21x + 21 |
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18. ò |
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x2 + x + 3 |
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dx . |
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dx |
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(x |
+ 3) |
2 |
(x |
2 |
+ 3) |
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(x |
2 |
+1)(x |
2 |
+ x +1) |
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70 |
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