Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
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21. |
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а) x2 |
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+ y2 |
+ 2x − 3 = 0 |
,б) |
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x2 |
+ |
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y2 |
= 1,в) |
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x2 |
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− |
y2 |
= 1,г) y2 = 8y + 4x . |
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22. |
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а) x2 |
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− 8x + y2 |
+ 6y = 0 ,б) |
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x2 |
+ |
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y2 |
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= 1,в) |
x2 |
− |
y2 |
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= 1,г) |
x2 + 6x + 5 = 2y . |
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4 |
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23. |
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а) x2 |
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+10x + y2 |
− 6y = 2 ,б) |
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x2 |
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+ |
y2 |
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= 1,в) |
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x2 |
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− |
y2 |
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= 1,г) |
x2 + 4x + 2y + 4 = 0 . |
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64 |
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1 |
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9 |
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АГНИ |
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25. |
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а) x2 |
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+ y2 |
− 4y = 0 ,б) |
x2 |
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+ |
y2 |
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= 1,в) |
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x2 |
− |
y2 |
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= 1,г) |
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y = |
4x2 −16 . |
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1/ 4 |
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26. |
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а) x2 |
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+ 4x + y2 |
= 12 ,б) |
x2 |
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+ |
y2 |
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= 1,в) |
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x2 |
− |
y2 |
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= 1,г) |
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y2 = 4y − x . |
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25 |
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4 |
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64 |
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ка |
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27. |
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а) x2 |
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= 12 ,б) |
x2 |
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y2 |
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= 1,в) |
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y2 |
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x2 |
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= 1,г) |
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. |
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+ 4x + y2 |
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+ |
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− |
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y = −5 + |
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− 3x |
− 21 |
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25 |
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81 |
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49 |
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4 |
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е |
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2 |
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2 |
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(x −1)2 |
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y2 |
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(y −1) |
2 |
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x2 |
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28. |
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а)(x + 2) |
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= 1,б) |
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= 1,в) |
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о |
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= 1,г) |
y = −4 + 3 y + 5 . |
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+ y |
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25 |
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+ |
4 |
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49 |
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− |
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т64 |
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(x − 2)2 |
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л |
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( y −1) |
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2 |
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2 |
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y2 |
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x2 |
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2 |
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2 |
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29. |
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а) x |
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+ (y + 4) |
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= 1 ,б) |
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+ |
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= 1,в) |
и− |
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= |
1,г) y = |
4x |
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− 8x + 7 . |
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4 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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x |
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(y |
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+ 2) |
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бx |
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y |
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x = 2 − |
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6 − 2y . |
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30. |
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а) x |
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+ y |
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= 25 ,б) 25 + |
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б |
,в) |
12 |
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− 3 |
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= 1,г) |
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4 |
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= 1 |
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ая |
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Образец выполнения контрольных заданий по теме 2 |
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1. |
Тетраэдр задан координатами своих вершин |
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А (1,2,3), В(-1,3,5),С(4,2,-4),Д(-1,6,0). |
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Найти: |
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ро |
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а) модуль вектннра АВ ; |
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т |
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к |
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б) угол между векторами АВ и СД ; |
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в) площадь треугольника АВС; |
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Э |
г) объем тетраэдра ДАВС; |
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д) найти уравнение плоскости, содержащей основание тетраэдра – треугольник АВС.
е) длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины Д;
ж) найти угол между плоскостями АВС и ДВС.
21
Решение.
1.а)Найдем координаты вектора, вычитая из координат конца координаты начала вектора: АВ = {−1−1,3− 2,5 −3}= {− 2,1,2}.
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r |
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Модуль вектора определим по формуле: |
= а1 |
2 + а2 |
2 + а3 |
2 . |
||||
а |
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АГНИ |
|||||
Имеем |
АВ |
= (−2)2 +12 + 22 = 3. |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||
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r |
×b |
||
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сosϕ = |
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a |
||||
б) Угол между |
векторами определим |
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по формуле |
r |
|
r |
, т.е с |
|||||||||||||||||||||||||
помощью скалярного произведения векторов. |
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ка |
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a |
× |
b |
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||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||
АВ = {- 2,1,2}. . |
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е |
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|||||||
CD = {- 5,4,4} |
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о |
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|||||||||
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|||
сosϕ = |
(-2)( |
-5) +1× 4 + 2 × 4 |
= |
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22 |
|
. |
|
|
|
|
|
и |
т |
|
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||||||||||
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|||||||||||||
3× (-5)2 + |
42 + 42 |
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3 57 |
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||||||||||
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л |
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|||||||||||||||
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||||||
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б |
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||||
в) Площадь основания тетраэдра определим как половину длины |
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векторного произведения векторов с началом в точке А, т.е по формуле |
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б |
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|||
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S(ABCи) = |
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1 |
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AB ´ AC |
. |
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||||||
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|
ая |
|
2 |
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|||||||||||||
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|
= {3,0,−7}. |
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||||||||||
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|||||||||
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АВ = {− 2,1,2}, АС |
|
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|
rr
ij k
|
|
|
нн |
|
|
3 0 |
- 7 |
= {- 7,-8,-3}. |
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
ро |
|
АВ ´ АС = - 2 1 |
2 |
|
|
|
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||||||||||||
|
|
S(ABC ) = |
1 |
|
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|
= |
1 |
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|
|
. |
|
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||||||
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|
(-7)2 + (-8)2 |
+ (-3)2 |
|
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||||||||||||||||||
|
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122 |
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||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||
|
т |
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|
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|
|
|
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||
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к |
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2 |
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2 |
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||||||
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||||||||
л |
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1 |
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||
Э |
ег) Объем тетраэдра вычислим по формуле V (ABCD) |
= |
|
ДА ×ДВ ×ДС |
. |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
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6 |
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||||
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||||
|
Смешанное произведение векторов: |
ДА × ДВ × ДС = |
|
2 |
- 4 |
3 |
|
= 9 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
- 3 |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
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|
5 |
- 4 |
- 4 |
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|
Искомый объем V (ABCD ) = 16 × 9 = 32 = 1,5.
22
д) Для нахождения уравнения грани АВС нужно знать нормальный вектор плоскости N и точку, принадлежащую плоскости. В качестве нормального вектора берут вектор, либо коллинеарный, либо равный векторному произведению двух векторов плоскости.
|
В |
пунте |
в. |
определено |
векторное |
|
|
|
произведение АВ× АС = {−7,−8,−3}, |
||||||||||||||||||
|
поэтому за нормаль берем вектор N = {7,8,3}. |
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|
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|
АГНИ |
|||||||||||||||||||||
|
Уравнение плоскости с нормальным вектором |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
N = {А, В,С}, проходящей |
||||||||||||||||||||||||||
|
через точку ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид: |
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|||||||||||
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A(x − x0 + +B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 . |
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|||||||||||||||||
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ка |
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|
В качестве точки (x0 , y0 , z0 ) |
можно взять любую из трех известных точек |
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е |
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||
|
грани АВС, для определенности возьмем точку А(1,2,3). |
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|||||||||||||||||||||||||
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о |
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|||
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7(x −1) + +8( y − 2) + 3(z − 3) = 0, |
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|
|
|
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|
|
7x + 8y + 3z - 32 = 0 |
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|
т |
|
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|||||||||||
|
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|
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и |
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|||||
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л1 |
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|||||||||
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Итак, получили искомое уравнение п оскости АВС. |
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б |
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|||
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и |
|
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е) Так как объем пирамиды есть V = 3 Sосн × H , то искомая высота |
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|
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б H = |
|
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3V |
. |
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|||||||
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|
Sосн |
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|||||||||||
|
В пунктах в,г найдены площадь основания пирамиды - треугольника |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
нн |
|
|
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||
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АВС, и объем пирамидыая. Тогда |
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|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ро |
|
|
H = |
3 |
×1,5 |
|
= |
|
|
|
9 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
|
|
т |
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
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|
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|
|
||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
ж) Угол между плоскостями есть угол между нормалями к этим |
||||||||||||||||||||||||||
|
плоскостям. |
|
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|
||||||
лОпределим нормаль к плоскости ДВС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
= {− 32;−25;−15}. В качестве нормали к плоскости ДВС |
||||||||||||||||||||
|
DB × DC = |
5 |
− 4 |
− 4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
− 3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
примем вектор |
N2 = {32;25;15}. Нормаль к плоскости АВС (определена в |
|||||||||||||||||||||||||
|
пункте в, д) |
N1 = {7;8;3}. Обозначим угол между плоскостями α . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сosα = |
|
N |
× N |
|
|
= |
|
|
|
32 × 7 + 25 ×8 +15 ×3 |
|
|
|
» 0,9804 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
× |
N2 |
|
|
|
|
|
322 + 252 +152 |
|
72 + 82 + 32 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
α ≈ 11020′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.Найти разложение вектора |
r |
= {1;5;0} |
по базису векторов |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
= {1;5;3}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p |
= {2;1;−1},q = {4;2;1},r |
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||
|
Решение. |
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|
|||||||
|
Векторы, образующие базис не являются компланарными, т.к. их смешанное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
произведение не равно нулю. Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
-1 |
|
= 12 - 20 +1+ 2 -10 -12 = -27 ¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|||
|
Пусть искомое разложение имеет вид: |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
е |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a × p + b × q + c × r . |
т |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задача сводится к нахождению коэффициентов разложения а,b,c, которые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2а + 4и + с = 1 |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
удовлетворяют системе: |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
íа + 2b + |
5c = 5 . Решим систему методом Гаусса. |
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ï |
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и |
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î- a |
+ b + 3c |
= 0 |
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|||||||
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б |
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||||
|
Преобразуем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: |
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æ |
2 4 1 |
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1ö |
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æ |
1 2 5 |
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5 |
ö |
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æ |
1 2 5 |
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5 ö |
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æ |
1 2 5 |
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5 |
ö |
||||||||||||||||||
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ç |
1 2 5 |
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÷ |
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ç |
|
|
|
ая |
|
1 |
÷ |
|
ç |
|
- 9 |
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
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|
5 |
÷ |
|||||||||||
|
ç |
|
5÷ |
→ ç |
2 4 1 |
|
÷ |
|
→ ç0 0 |
|
- 9÷ → |
ç0 3 8 |
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ç-1 1 3 |
|
0÷ |
|
ç-1 1 3 |
|
0 |
÷ |
|
ç |
0 3 8 |
|
|
|
5 ÷ |
|
ç |
0 0 - 9 |
|
- 9 |
÷ |
||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
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ø |
|
è |
|
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ø |
|
è |
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ø |
|
è |
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ø |
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нн |
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Здесь сначала поменяли первую и вторую строку местами, для того чтобы |
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ро |
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|
разрешающийт |
элемент первой строки был равен 1. Далее первую строку |
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|
умножилик |
на (-2) и сложили со второй, первую строку сложили с третьей. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сеедующее преобразование - поменяли вторую и третью строку местами. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
л |
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||||
Э |
Восстановим систему уравнений по виду ступенчатой матрицы. |
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ìа + 2b + 5c = 5 ìa = 2 |
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ï |
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8c = 5 |
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ï |
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= -1. |
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|||||
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í3b + |
Þ íb |
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ï |
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= -9 |
|
ï |
|
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= 1 |
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||||
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î- 9c |
|
îc |
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|
24
Итак, искомое разложение вектора x по базису векторов p,q.r имеет вид:
x = 2 p − q + r .
Задание 3. Найти канонические уравнения прямой
ì2x - y + 3z + 3 = 0 |
|
|
í |
= 0 |
|
î5x + 4y - z + -14 |
АГНИ |
Решение. Заданы общие уравнения прямой. Каждое из уравнений определяет плоскость, а система определяет их линию пересечения. Для записи
канонических уравнений прямой достаточно найти направляющий вектор прямой s = {m,n, p}и произвольную точку прямой М0(x0,y0,z0).
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r |
r |
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r |
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ка |
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r |
r |
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i |
j |
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k |
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= {-11,17,13}. |
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||||||||||||||||||
|
s = {m,n, p} = N1 |
´ N2 |
= |
|
2 |
-1 |
3 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
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5 |
4 |
-1 |
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|
е |
|
|
Для нахождения точки М0(x0,y0,z0) |
|
|
|
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|
|
|
т |
|
|||||||||||||||||||||||
|
положим z=0. Система общих уравнений |
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|
прямой примет вид: |
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о |
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|||||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
ì2x - y = -3 |
ìx = |
2 |
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|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ï |
13 . |
М0 ( |
2 |
|
|
|
42 |
;0) . б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
í |
|
|
|
Þ í |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
î5x + 4y = 14 |
ï |
|
42 |
|
|
|
13 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
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|
|
|
|
ïy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
|
|
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|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
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|
|
|
б |
|
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||||||||||
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|
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|
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|
|
||||||||
|
Запишем канонические уравнения прямой по формуле: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
нн |
ая |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ро |
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - |
|
|
|
|
y - |
|
|
|
= |
z - 0 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
= |
13 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-11 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Контрольные задания
Тема 3. Введение в анализ
№1 |
№2 |
1. |
lim |
3x2 + 2x -16 |
|
||||||
|
|
|
x3 - 8 |
||||||
|
x→2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
2. |
lim |
|
|
|
2x +1 |
x + 6 |
|||
|
|
|
2x2 - 7x -15 |
||||||
|
x→5 |
|
|
|
|||||
3. |
|
æ |
3x + 4 |
ö3x+5 |
|||||
lim |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
||
ç |
3x + 7 |
÷ |
|
|
|
||||
|
x→∞ |
è |
ø |
|
|
|
|||
4. |
lim |
|
sin 7x + sin3x |
|
|||||
|
|
|
x ×sin x |
||||||
|
x→0 |
|
|
|
5. |
lim |
|
|
sin 2 x - tg2 x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
æ 2x -1ö |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
x |
|
ая |
||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
№3 |
ро |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5x2 - 2х - 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
lim |
к16х |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→4 |
|
|
|
|
4 + х - |
|
2х |
|
|
|||||||||||||||
л |
æ |
8x +1 |
|
ö4х |
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Э x→∞ |
è |
8x - 5 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
lim |
|
ln(1+ 8x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1- cos9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
lim |
ç |
|
|
|
x2 - |
АГНИ÷ |
|||||||||
|
|
|
|
|
1. |
|
lim |
|
3x2 + x |
-10 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2. |
|
lim |
|
|
3 + 2x |
- |
|
x + 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 - 4x +1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ö2x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ ç |
x |
|
|
+ 5x - 3 |
÷ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 7x -1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
tg 7x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
limе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
и |
|
|
x→0 |
2sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
л |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
tg x - sin x |
|
|
|||||||||||
и |
|
|
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
б |
|
|
|
|
|
x→0 |
x(1- cos 4x) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ cos x |
ö |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6. |
|
lim |
|
|
|
x−2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
è cos2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№4 |
|
1. |
lim |
2x2 +11x +15 |
|
||||||||
|
3x2 + 5x -12 |
||||||||||
|
x→−3 |
|
|||||||||
2. |
lim |
|
|
|
х2 + х -12 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→3 |
|
х - 2 - 4 - х |
||||||||
3. |
æ |
|
3х + 4 |
ö4 х+5 |
|||||||
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
||||
lim ç |
3х - 3 |
÷ |
|
|
|||||||
|
x→∞ è |
ø |
|
|
|||||||
4. |
lim |
1- cos10x |
|
||||||||
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
4x2 |
|
|
|
|
26
5. |
lim |
|
x ×sin 7x |
5. |
lim |
|
x ×sin 2x |
|
|
|
|
||||
1+ cos(x - 7π ) |
|
+ cos(х - 3π ) |
|||||||||||||
|
x→0 |
|
x→0 1 |
||||||||||||
|
|
|
4х |
|
|
|
æ |
3x -1ö |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
||||||
6. |
lim |
|
6. |
lim |
х |
||||||||||
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||
|
tg(π (2 + x)) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
x→1 |
è |
х +1 ø |
|
|
|
|
№5
1. |
lim |
|
|
8x2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
x2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
5 + х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
8 - х - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
|
|
æ |
|
4 - 2х |
|
ö8х+3 |
|
|
||||||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
1- 2х |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
lim |
|
|
cos9х - cosx |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
lim |
sin 6( |
x + 2π ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
1- |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
ая |
||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
tg |
πx |
|
нн |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2a |
|
||||||||||
6. |
lim |
|
|
(2 - |
|
) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
е |
№7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
lim |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→2 |
|
|
3x2 |
+ 5х - 22 |
|
|
|||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
x - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→3 |
|
|
|
|
3 + x - |
|
2x |
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
æ |
|
4x -1 |
|
ö2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
4х - 3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№6 |
||||||
|
|
|
1. |
lim |
|
|
|
x2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
3x2 + 4x - 7 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2. |
|
lim |
|
|
x +13 |
2 x +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
x |
− 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
еæ |
|
|
|
öx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2х +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3. |
lim |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б |
и |
|
x→∞ è |
2х -10 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1- cos20x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
л |
4. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б |
|
|
|
x→0 |
|
e4х |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
5. |
|
lim |
|
|
|
x ×sin 3x |
|
||||||||||||||
|
|
|
1+ cos(х - 3π ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ х + 4 |
ö |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6. |
|
lim |
|
|
x−2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
è 2х |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№8 |
||
1. lim |
3x2 + 5x - 42 |
|
|
x2 - 5x + 6 |
|||
x→3 |
2.lim x - 3 - 2
→7 x + 2 - 3x
3. |
æ |
х - 7 |
ö2x2 −5 |
ç |
|
÷ |
|
|
|||
lim ç |
х - 9 |
÷ |
|
|
x→∞ è |
ø |
27
4. |
lim |
|
1- cos8x |
|
4. |
lim |
|
7x |
|||
|
arctg 2 5x |
sin x + sin7x |
|||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|||||||
|
|
|
x ×sin 9x |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
5. |
lim |
|
5. |
lim |
|
|
1+ x |
||||
1+ cos(x - 5π ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
x→0 sinπ (х + 2) |
6. |
lim |
|
|
|
|
3 |
|
х - 6 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
lim |
|
3x2 -11x + 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x2 - 5х - 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
− x + 2 |
x + 6 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− x − 6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
æ x + 2 |
ö2х+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
х + 7 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
lim |
|
|
|
sin5x + sin9x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
lim |
|
|
|
1 − cos 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
cos7x - cos3x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
ая |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
x→2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
нн |
||||
lim |
|
(cos x) sin 3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ро |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
№11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
|
|
4x |
2 |
+ |
7x |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
+ 8х + 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - |
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
limе |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Э |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
æ |
|
3x - 4 |
ö7 х2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
3х |
+ 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
lim |
|
cos 9x - cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. lim |
(2e x−2 -1) |
|
3x+2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
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x→2 |
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АГНИ |
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№10 |
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||||
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1. |
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lim |
x3 - 2x - 4 |
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x2 |
- 4 |
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x→2 |
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ка |
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|||||||
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2. |
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lim |
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5x +1 |
− 4 |
|||||||||||||||||||
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о |
x→3 |
|
x2 |
+ 2x −15 |
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|
еæ |
|
2 |
+ |
|
2 |
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ö2x2 −5 |
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3.тlim |
ç |
7х |
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÷ |
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||||||||||
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|||||||||
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и |
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x→∞ ç |
7х2 - 6 |
÷ |
|
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|||||||||||||
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б |
|
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è |
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ø |
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|||
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л |
4. |
lim |
1- cos7x |
|
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|||||||||||
и |
|
|
|
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||||||||||||
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x→0 |
|
9x 2 |
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|||||||||
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5. |
lim |
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e4x -1 |
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||||||||||
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x |
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x→0 |
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+1)) |
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|||||||||||||
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2 |
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|
1 |
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|
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|||||
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6. |
lim |
|
(cos x ) |
|
|
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|||||||||||||||
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sin 2x |
|||||||||||||||||||||||
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x→2π |
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№12 |
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1. |
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lim |
x2 - 4x + 3 |
|
||||||||||||||||||||
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2x2 - 7x + 5 |
|||||||||||||||||||||||
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x→1 |
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||||||||||||
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2. |
|
lim |
|
x +10 − 4 − x |
|
|||||||||||||||||||
|
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2x2 |
− x − 21 |
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x→−3 |
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|||||||||||||||||||||
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3. |
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|
æ |
2х +1 |
|
ö2x2 |
||||||||||||||||
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lim |
ç |
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|
÷ |
|
|
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|||||
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ç |
2x -1 |
÷ |
|
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|
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||||||||||
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|
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x→∞ è |
ø |
|
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||||||||||
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|
|
|
4. |
lim |
sin 3x + sin x |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
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x→0 |
|
|
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5x |
|
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|||||
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28 |
|
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5. |
lim |
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2x2 - x -1 |
|
|
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||||||||||||
|
3x2 |
|
- x - 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x®1 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
6. |
|
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ln(x+1) |
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lim ç |
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÷ |
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|
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||
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|
æ |
1 ö |
|
ln(2-x) |
|
|
|
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||||||||||||
|
x®1 |
è |
|
|
x |
ø |
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|||
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№13 |
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|||||||||||||||
1. |
lim |
|
|
4x2 |
|
+ 3x - 27 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 - 6x - 27 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x®-3 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
2. |
lim |
|
|
|
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|
2x2 - 9x + 4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
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|
||
|
x®4 |
|
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|
5 - x - |
x - 3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3. |
|
æ x + 8 |
|
|
ö2x2 -3 |
|
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lim |
ç |
|
|
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|
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|
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|
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|||
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x®¥ |
è x - |
9 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
cos 5x - cos3 x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
|||
|
x®0 |
|
|
tg(2π (x + |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
|||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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||
6. |
|
|
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|
(cosx) |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
tg 5x×sin2x |
|
|
ая |
|||||||||||||||||||||
|
x®4π |
|
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|
|
№15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
||||||||||
1. |
lim |
|
6 + x - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|||||||||||||||
|
x®-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x®3 |
|
|
|
|
x3 - 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
+ 4x +1 |
|
|||||||||||||||
2. |
lim |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
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|
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|
||
|
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x + 3 - |
5 + 3x |
|
|||||||||||||||||||
|
е |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
л |
æ |
|
|
x + |
4 |
|
ö |
-3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||
Э |
x®¥ |
è x + |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
cos 4x - cos5 x |
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
lim |
|
ln(1+ sin 2x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin 4(x - π ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin 4x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(e - x) -1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
æ sin x |
ö |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
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|||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x®a |
|
|
|
|
|
|
|
è sin a |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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№14 |
|
|
АГНИ |
||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1. |
|
lim |
|
|
|
x3 - 2x |
- 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 -11x +18 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x®2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 - 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||
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|
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|
x®0 |
|
|
|
|
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x2 +16 - 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
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|
ö4x-5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
æ |
|
4x - 7 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
x®¥ ç |
|
4x +1 |
÷ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
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||
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4.тlim |
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sin 8x + sin x |
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
4x |
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|
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|||||
|
б |
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x®0 |
|
|
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|
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||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
e4πx -1 |
|
|||||||||||||||||||
и |
л |
5. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
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|
|
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
x®0 |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
б |
|
|
|
|
|
3 |
|
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8 + 24x - 2 |
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||||||||||||||||||||||
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6. |
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lim |
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(cosx) |
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||||||||||
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sin2 5x |
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x®2π |
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№16 |
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||||||||||
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1. |
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lim |
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x2 - 4x - 5 |
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|||||||||||||||||||
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3x2 + 2x -1 |
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x®-1 |
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- 3 |
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||||||||||||||
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2. |
lim |
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4x - 3 |
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||||||||||||||||||||
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x - 3 |
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|||||||
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x®3 |
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||||||
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3. |
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æ x - 7 |
ö4x-2 |
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lim |
ç |
|
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÷ |
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||||
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|||||||
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x®¥ |
ç |
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x +1 |
÷ |
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|||||||||
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è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4. |
lim |
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|
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|
7 x |
|
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||||
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|
sin x + sin 9x |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
x®0 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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5. |
lim |
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ln(1+ 7x) |
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||||||||||||
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sinπ (x + 7) |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
x®0 |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
29 |
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6. |
lim |
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æ 9 - 2x ö tg πx |
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|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
6 |
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→3 |
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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№17 |
|||||||||
1. |
lim |
|
|
x3 - x2 + x -1 |
|||||||||||||||
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|
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|
x3 + x - 2 |
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|
x→1 |
|
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|||||||||||||
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|
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|
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|
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||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2 - |
|
|
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|||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x2 +1 -1 |
|||||||||||
3. |
|
æ |
|
1+ 2x |
ö |
+5 x2 −3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
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|
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|
÷ |
|
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|
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|||
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|
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||||||
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x→∞ |
ç |
|
3 + 2x |
÷ |
|
|
|
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|
|||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
lim |
|
cos x - cos9 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
lim |
|
|
e4 x2 -1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cos 5x -1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
|
|
æ 2x -1 |
ö |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
x−1 |
||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
x→1 |
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№19 |
|
|
|
|
|
ая |
|||||
1. |
lim |
|
3x2 |
- 3x - |
36 |
|
|
нн |
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
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||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
x3 |
- 64 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4x - 3 |
- 3 |
|
|
|
|
|||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
к |
|
ö2x2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
æ |
4x |
- |
1 |
|
|
|
||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
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|||
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|||||||
|
|
|
т |
|
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|
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|
|
|||||||||
|
е |
|
|
+ 5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
ç |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Э |
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1- cos7 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
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лx→0 |
|
|
|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
- 2 |
|
|
|
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|||||||
5. |
lim |
|
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|
4 + x |
|
|
|||||||||||
|
3arctg5x |
|
|
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|
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|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
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|||||||||
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æ 2 - x |
ö |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
lim |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ ln(2−x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
(2e x−2 |
-1) |
|
|
3x+4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x−2 |
|
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||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
x→2 |
|
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№18 |
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|
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|
|
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||||||||
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|
|
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|
1. |
|
lim |
|
|
|
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|
x2 - 5x -14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 - 9x - 35 |
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|
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|
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|
|
x→7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
АГНИ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
- |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
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|
x→4 |
|
|
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|
x - 2 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
æ x - 7 |
ö−2x+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
lim |
|
ç |
|
|
|
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|
|
|
÷ |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
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x→∞ |
|
ç x + 6 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
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|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4. |
|
lim |
|
sin 9x + sin 5x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
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|
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|
|
|
|
x→0 |
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
и |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 + x - |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
о x→0 |
|
|
|
|
|
|
3arctgx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
б |
|
|
6. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
æ sin x ö |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−3 |
||||||||||||||||||||||||||
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
è sin 3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
№20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1. |
lim |
|
|
2x2 - x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x2 - x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→1` |
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2. |
|
lim |
|
|
|
|
x + 12 |
4 - x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x - 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
ö−4x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
ç |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
1+ 2x |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4. |
|
lim |
|
|
|
|
cos 9x - cos3x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
5x2 |
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
|
5. |
|
lim |
|
|
|
1- cos(10(x +π )) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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ex |
2 |
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-1 |
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x→0 |
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5 |
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6. |
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lim |
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(cosx) |
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tg5πx |
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x→4π |
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30 |
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