Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdf5. Исследовать с помощью производной функцию y = |
x2 |
+ 4 |
, построить ее |
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x2 |
-1 |
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график.
Вариант 25
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1 |
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- 2tgx |
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6 |
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ì |
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3 |
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АГНИ |
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2 |
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1.а) |
у = 3 |
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(4 + х4 - 8х |
2 )7 |
+ |
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11 |
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, б) y = 10arcctg ( |
x |
−x), |
в) íïx = 3cos |
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2t , |
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(- 4x + 9)12 |
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ïy = 3sin 3 |
2t |
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î |
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г) у = 2 x |
x7 |
, д) |
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x = a(t − sint), y = a(1− cost) , |
y′ = ?при t = |
π . |
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2 |
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б) lim x2 × sin 3 ; в) |
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ка |
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2. а) |
lim |
cos2 x |
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; |
lim x |
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. |
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1+3ln x |
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е |
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3 ϕ |
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x |
→ |
π |
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1+ cos4x |
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x→∞ |
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x |
x→∞ |
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т |
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о |
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3.Вычислить наибольшее значение радиуса кривизны линии r = a sin . |
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и |
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3 |
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л |
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4. С помощью дифференциала приближенно выч слить arctg1,08 с точностью |
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б |
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x5 |
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ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности. |
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б |
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5. Исследовать с помощью производной функцию y = |
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, построить ее |
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график. |
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ая |
и |
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x4 |
-1 |
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нн |
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Вариант 26 |
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в) íìx = 9t cos2t , |
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1 |
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б) y = 5arctg2 (4x) , |
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1. а) у = 4 |
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(3x3 + 5х2 )3 |
- |
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, |
2 |
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y// = ? |
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ро |
(4x - 7)5 |
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2 |
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îy = 9t sin 2t |
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т |
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f ¢(π ) = ? |
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г) у = (arctg |
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)2x , д) |
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f (x) = 3 |
tg 2 |
x |
, |
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x |
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л |
к |
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2 |
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x |
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3 1 + 2x +1 |
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e |
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-1 |
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; в) lim(ln(1))x . |
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2. а) |
lim |
; б) lim |
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Э |
еx→−1 2 + x + x |
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x→0 |
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sin3x |
x→0 |
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x |
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3.Составить уравнения касательной и нормали к полукубической параболе |
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x = t2 , y = t3 , проведенных при t=2. |
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4. С помощью дифференциала приближенно вычислить |
|
|
с точностью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
490 |
ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.
51
5. Исследовать с помощью производной функцию y = e2x +1 , построить ее
ex
график.
Вариант 27
|
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1- 2sin x |
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ex3 |
-1 |
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tgx |
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АГНИ |
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1. а) у = |
11 |
(3x2 |
+ 7х)5 |
+ |
|
|
1 |
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, |
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|
б) y = 5arcsin 3x × ln(9x + 2), в) íìx = |
8(t sin t + cost) , |
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(- 4x2 |
+ 9)7 |
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îy = 4(sin t - t cost) |
||||||||
г) у = (arcsin 2x)x3 , д) |
|
f (x) = |
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1- 4x |
, f ′( |
1) = ? |
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1+ 3 |
4x |
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4 |
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ка |
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2. а) |
lim |
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; б) lim |
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; в) lim(ln(ctgx)) . |
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cos3x |
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x2 |
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x |
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π |
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x→0 |
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x→0 |
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||||||||||
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→ 6 |
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cos x - |
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-1 |
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е |
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||||||||||
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2 |
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т |
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о |
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3.Плот подтягивается к берегу с помощью каната, ко орый натягивается на |
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и |
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ворот со скоростью 50м/мин. Определить скорость движения плота в тот |
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л |
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момент, когда его расстояние от берега будет 25м, если ворот находится на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
берегу и на 6 |
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6 |
м выше поверхности воды. |
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4. С помощью дифференциала прибл женноб |
вычислить cos650 |
с точностью |
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б |
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||
ε = 0,01, оценить допущенную относительнуюи |
и абсолютную погрешности. |
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ая |
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x3 |
|
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|||||||
5. Исследовать с помощью производной функцию |
y = |
|
, построить ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 -16 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график. |
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ро |
нн |
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Вариант 28 |
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11 |
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1 |
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б) y = 9arcsin 3x × ln(5x -12), в) íìx = 8(t sin 2t + cos 2t) |
|||||||||||||||||||||
1. а) у = |
(4x3 |
+ 7х)6 |
+ |
|
|
|
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, |
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т |
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(- 8x3 + 9x)4 |
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îy = 8(sin 2t - t cos 2t) |
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к |
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е |
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1 |
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||
г) у = (arcsin 7x) |
|
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, д) |
f (x) = x(1+ |
|
|
x3 ) , f ′(1) = ? |
|
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||||||||||||||||||||||||||
x |
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Э |
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л |
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x |
|
x |
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e |
5x |
-1 |
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tgx |
|
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||||||||
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2 − 5 |
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2. а) |
lim |
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; б) lim |
sin 7x |
; в) lim(ln(ctg2x)) . |
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x→0 x |
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1 − x2 |
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x→0 |
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x→0 |
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3.Найти уравнения касательной и нормали к кривой x2 + y2 + 4x - 2y - 3 = 0
в точках ее пересечения с осью OY.
52
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить lg1,5 с точностью ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.
5. Исследовать с помощью производной функцию y = |
|
x3 |
, построить ее |
|
4 |
- x2 |
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график. |
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5 - x2 |
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Вариант 29 |
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АГНИ |
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|||||
|
у = 10 |
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
, б) y = 6arcsin 2x × ln(9x2 -12), |
в) íìx = arcsin(t 2 -1) |
||||||||||||||||||||||||||
1.а) |
(4x3 + 7х3 )5 |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(− 8 |
|
|
|
+ 9)6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3x |
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îy = arccos 2t |
||||||||||
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1 |
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3 |
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||||||
г) у = (ar cos2x) |
|
|
, |
|
д) |
|
|
f (x) = |
1+ x |
|
, |
|
f ′(1) = ?, f ′(0) = ? |
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x3 |
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1 |
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ка |
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x→0 x |
|
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x→0 |
|
sin2 7x |
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x→1 2x - 5 |
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1− x2 |
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2. а) lim1− cos 4x |
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|
lim cos x − cos 5x ; в) |
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|
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|
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x |
|
е |
|
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||||||||||||||||||||||||
; б) |
lim(2x + 4)x 2 −1 . |
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3 |
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|
т3 |
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||||
3.Найти уравнение нормали к астроиде |
|
|
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о |
|
|
t в точке, для которой |
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x = 2cos t, у |
= |
2sin |
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л |
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t = π4 . |
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б |
и |
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и |
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4. С помощью дифференциала прибл женно вычислить lg101с точностью |
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б |
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2 |
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ε = 0,01, оценить допущенную относ тельную и абсолютную погрешности. |
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ая |
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- 2ln x , построить ее |
||||||||||
5. Исследовать с помощью производной функцию y = x |
|
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график. |
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нн |
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1.а) у = 4 (7x3 −ро3х) + |
|
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|
, б) y = 9arctg3x × ln2 |
(3x - 2), |
в) í |
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2 |
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Вариант 30. |
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||||
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|
ì |
|
|
t |
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ïx = 5sin |
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к |
5 |
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1 |
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т |
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||||||||||
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(− 9x + 4sin 2x)2 |
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|
ï |
= 5cost |
|||||||||||||||||||
л |
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îy |
|||||
г) у |
е= (arctg2x)52 x , д) |
|
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f (x) = ( |
5 - x2 |
)2 |
, f ′(1) = ? |
|
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|||||||||||||||||||||||||
Э |
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2 - x |
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x +1 |
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|||||
|
|
x |
1 − cos 4x |
|
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arctg 4x |
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|||||||||||||||||||||
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x −3 |
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||||||||||||||||||||||
2.а) |
lim |
|
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; б) lim |
|
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; в) lim(3x - 8)) |
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. |
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|||||||||
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sin2 8x |
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sin 7x |
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||||||||||||||||||||||
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x→0 |
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x→0 |
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x→3 |
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||||||||||||
3.Под каким углом пересекаются эллипс |
x2 |
+ y2 |
|
=1 и парабола 4у = 4 - 5x2 ? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
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53
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить tg590 с точностью ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.
5. Исследовать с помощью производной функцию y = |
|
x4 |
|
|
, построить ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 -1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график. |
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АГНИ |
||||||
а) |
у = 6 |
|
(7x2 |
|
- 3х) + |
(- 9x |
2 |
+ 4cos 2x)2 . |
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Образец выполнения контрольных заданий по теме №4 |
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1. |
Найти значения производных |
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1 |
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ка |
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е |
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5 |
+ (-9x2 + 4cos 2x)−2 . |
||||||
Решение. Преобразуем функцию к виду у = (7x2 - 3x)6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользовавшись правилом |
|
взятия |
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о |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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пр извтдной сложной функции, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
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−1 |
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и |
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л |
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|||||
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||||||
|
¢ |
|
5 |
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2 |
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6 |
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|
2 |
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б |
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|||||||||
у |
|
= |
|
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|
(7x |
|
|
- 3x) |
|
|
|
(14x - 3) |
- 2(-9x |
|
+ |
4 cos 2x) |
|
(-18x - 8sin 2x) . |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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6 |
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и |
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||||||||
б) |
y = 3arctg7 x |
× ln7 (3x - 2). |
ая |
б |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
¢ |
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|
¢ |
|
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|
¢ |
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|||||
Решение. Определим производную по правилу взятия производной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произведения функций: |
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||||||||||||||||||||||||
y¢ = 3 |
|
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|
|
× ln 3 × |
7 |
|
|
|
нн× ln (3x - 2)+ 3 |
|
|
|
|
× 7 × ln (3x - 2) × |
|
|
|
|
|
× 3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
= |
(3 |
arctg 7 x |
) |
|
× ln |
(3x - 2)+ |
3 |
arctg 7 x |
× (ln |
7 |
(3x - 2)) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arctg 7 x |
|
ро |
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg 7 x |
|
|
|
6 |
|
|
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|
1 |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||||
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|
к |
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1 + 49x2 |
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3x - 2 |
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|||||||||||||||||
y¢ |
= |
× ln 3 × |
|
|
|
|
|
1 |
|
× ln |
|
(3x - 2)+ 21× 3 |
|
|
|
× ln |
|
(3x - 2) × |
|
1 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
arctg 7 x |
|
|
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|
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|
7 |
arctg 7 x |
6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
е |
т |
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||||||||||||||
1 + 49x2 |
|
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3x - 2 |
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||||||||||||||||||||||||||
л |
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||||||||||||||||||||||
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ìx = cos2t |
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||||||||||||
в) |
íy = sin 2t . |
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î |
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ЭРешение. Искомые производные найдем по формулам |
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¢ |
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|
|
yt′ |
|
|
¢¢ |
|
|
(y′x )′t |
. |
|
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|||||
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xt¢ |
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|
xt¢ |
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|||||||
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|
yx |
= |
|
, yxx |
= |
|
|
|
|
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|
54
2
|
|
y′x |
= |
|
2cos 2t |
|
|
= −ctg2t, |
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 2t |
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
yxx |
|
= |
|
|
|
|
|
= - |
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− 2sin 2t |
|
|
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|
|
- 2sin 2t |
|
sin3 2t |
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
|
y = (x2 |
+ 4x)sin 2x . |
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|
|
||||||||||||||||
|
Решение. Для дифференцирования степенно-показательной функции, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
предварительно прологарифмируем функцию. |
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln y = ln((x2 + 4x)sin 2x ) , |
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
ln y = sin 2x × ln(x2 |
+ 4x) , |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
y′ |
= 2cos 2x × ln(x2 |
+ 4x) + sin 2x × |
2x + 4 |
|
|
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|
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|
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|
ка |
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|
|
y |
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
x2 + 4x |
|
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|||||||||
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|
е |
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|
|
||||||||||
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2x + 4 |
|
|
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|||||||||
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|||||||||||
|
|
y |
= y(2cos2x ×ln(x |
|
+ 4x) + sin 2x × x2 |
+ 4x), |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
т |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
о |
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||
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|
|||
|
|
|
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|
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|
2 |
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|
|
|
|
sin 2x |
|
|
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|
2 |
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|
и |
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|||||||
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|
л |
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|
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|
|
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|
|||||||||
|
|
y¢ |
= (x |
|
+ 4x) |
|
|
(2cos2x × ln(x |
|
|
+ 4x) + sin 2x × |
x |
2 |
+ 4x |
). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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и |
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|||||||||||||
д) Для данной функции у = x |
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в точке x0=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ arctg2x |
вычислить производную у |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
б |
б |
|
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|
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|
′′ |
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||||||||||||
|
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|||||||||
Решение. |
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ая |
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||||||||||||||||||
у′ = (x2 + arctg 2x)′ = |
|
2x + |
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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+ 4x2 |
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1 |
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2 |
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2 - |
2(1+ 4x |
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= 2 - |
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16x |
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2 |
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2 2 |
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2 |
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(1+ 4x ) |
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(1+ 4x ) |
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4x |
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т |
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16(1+ 4x2 )2 |
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-16x × 2(1+ 4x2 ) ×8x |
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16(1+ 4x2 )(1+ 4x2 -16x2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у¢¢¢ = (2 - |
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16x |
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)¢ = - |
|
= - |
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2 |
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2 |
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4 |
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2 |
4 |
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|||||||||||||||
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к |
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(1+ 4x ) |
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(1+ 4x ) |
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|||||||||||||||
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(1 |
+ |
4x ) |
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|||||||
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16(1-12x2 ) |
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16(1- 0) |
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¢¢¢ |
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, у |
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= - (1+ 0) |
3 = -16 . |
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ул= - (1+ 4x2 )3 |
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(0) |
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2. |
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Вычислить пределы по правилу Лопиталя: |
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а) lim ln( |
x2 + 4 |
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x→∞ |
3 2x -1 |
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55 |
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|
Решение. Так как под знаком предела числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при x → ∞ , то имеем неопределенность
Для ее раскрытия применим правило Лопиталя.
lim |
f (x) |
= |
é |
¥ ù |
= lim |
f ¢(x) |
. |
g(x) |
ë |
¥ û |
|
||||
x→∞ |
|
x→∞ |
g (x) |
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¢ |
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2x |
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ln(x2 + 4) |
|
é¥ |
ù |
|
|
|
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x × 3 (2x -1)2 |
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é |
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|
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x2 |
+ 4 |
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ê |
|
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|
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= lim |
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= 3lim |
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= ê |
ú . |
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|||||||||||||
|
|
3 |
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1 |
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|
2 |
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x |
2 |
+ 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x -1 |
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x→∞ |
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x→∞ |
|
|
× |
|
|
|
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|
|
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x→∞ |
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¥û |
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3 |
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3 |
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(2x -1)2 |
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Применим еще раз правило Лопиталя: |
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ка |
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lim |
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3 |
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== 3lim |
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2 |
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= ê ú = 3lim |
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= |
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2 |
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|
2 |
−1 |
|||
|
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ln(x2 |
+ 4) |
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x × 3 |
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(2x -1)2 |
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é¥ù |
|
|
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1× 3 |
е |
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|
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(2x -1) |
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+ + x × 3 × 2 × (2x -1) 3 |
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x→∞ |
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x→∞ |
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x + 4 |
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|
ë¥û |
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x→∞ |
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|
|
т |
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2x |
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2x -1 |
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3(2x -1) + 4x |
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3 |
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|||||||||||||||||
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|
|||||
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|
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2x -1 |
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10x - 3 |
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10 |
и |
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= 3lim |
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3 |
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= lim |
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|
= lim |
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- x |
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о= 0 |
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2x |
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|
л |
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x→∞ |
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x→∞ |
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3 |
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x→∞ |
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2x |
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2x -1 |
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2 |
3 |
2x -1 |
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arctg 2013x |
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б |
б |
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б) lim |
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. Так как под знакомипредела числитель и знаменатель дроби |
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x→0 sin 2011x |
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ая |
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0 |
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||||||||||||||
стремятся к нулю при |
x → 0 |
, то имеем неопределенность êé |
úù . Раскроем ее по |
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правилу Лопиталя. |
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arctg2013x |
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1+ (2013x) |
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= lim |
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2013 |
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sin 2011x |
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0 |
2011cos2011x |
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2011×1 |
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2011 |
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x→0 |
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x→0 |
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тx−2 |
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в) lim(4,5x - 8)) |
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x→2 к |
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Имеем неопределенность [1 |
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ЭВведем обозначение y = (4,5x - 8)) |
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x+1 |
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x−2 |
. Найдем натуральный логарифм функции. |
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ln y = ln((4,5x - 8)) |
x+1 |
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x−2 |
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ln y = |
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x +1 |
× ln(4,5x - 8) |
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Вычислим предел натурального логарифма функции, а затем сделаем вывод о пределе самой функции.
limln y = lim |
x +1 |
× ln(4,5x - |
8) = [¥ × 0]= lim |
(x +1) ln(4,5x - 8) |
= |
é0 |
ù |
= |
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ú |
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x - 2 |
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x - 2 |
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x→2 |
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x→2 |
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x→2 |
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ë0 |
û |
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1× ln(4,5x - 8) + |
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4,5(x +1) |
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0 + |
4,5(2 +1) |
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lim |
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4,5x - 8 |
= |
4,5 × 2 - 8 |
= 13,5 |
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АГНИ |
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x→2 |
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Тогда lim y = e13,5 . |
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x→2 |
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3. |
Под каким углом пересекаются кривые y = (x - 2)2 , y = -4 + 6x - x2 ? |
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Решение. |
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ка |
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Под углом между кривыми y = f 1(x), y = f2 (x) |
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в их общей точке М0(x0,y0) |
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понимают угол между касательными и М0А и М0В к эти кривым в точке |
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М0. |
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Угол определяется по известной формуле аналитической геометрии: |
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f |
¢ |
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¢ |
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(x0 ) - f1 |
(x0 ) |
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tgϕ = |
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л |
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¢ |
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¢ |
(x0 ) |
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1+ f1 (x0 ) f2 |
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б |
2 |
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Найдем точку пересечения кр вых: |
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нн |
ая |
(x - 2) |
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= -4 + 6x |
- x . |
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x1 =1, x2 = 4. |
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Вычислим угол ϕ1 |
между касательными, проходящими через точку x1 =1. |
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ро |
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¢ |
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= (2x - 4) |
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= -2, |
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т |
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f1 (1) |
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x=1 |
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f2¢(1) = (6 - 2x) |
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x=1 = 4, |
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к |
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4 - (-2) |
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6 |
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Э |
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tgϕ1 = |
1+ 4 × (-2) |
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= |
7 . |
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ϕ1 = arctg |
6 |
= 0,8571 ≈ 400 36′ . |
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7 |
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Итак, в точке с абсциссой х=1 параболы пересекаются под углом 40036′ . |
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Вычислим угол ϕ2 между касательными в точке x2 |
= 4. |
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57 |
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¢ |
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f1 (1) = (2x - 4) |
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x=4 = 4 |
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f2¢(1) = (6 - 2x) |
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x=4 = -2, |
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- 2 - 4 |
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6 |
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0 |
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¢ |
, |
||
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tgϕ2 = |
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1+ 4 × (-2) |
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= 7 ,ϕ2 |
» 40 |
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36 |
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АГНИ |
Как видим, параболы в обоих случаях пересекаются под одним углом.
4. С помощью дифференциала приближенно вычислить 385 с точностью ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.
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Решение. Представим данное число в |
виде 3 |
85 |
= 3 43 + 21. Введем |
|||||
функцию y = |
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. Пусть x = x0 + Dx , тогда x0 = 64, |
x = 21. |
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3 |
x |
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е |
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Воспользуемся формулой приближенных вычислений: |
ка |
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′ |
о |
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y(x0 |
+ D |
x) |
» |
y(x0 ) |
+ |
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D т |
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y (x0 ) |
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x . |
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и |
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y(x0 ) = |
3 x0 |
= |
3 |
64 = 4, |
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б |
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¢ |
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3 |
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|
¢ |
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1л |
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||||||||||
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y (x) = |
( |
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x) |
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= |
33 |
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, |
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x2 |
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б |
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¢ |
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¢и |
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1 |
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= |
1 |
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y (x0 ) |
= y (64) = |
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64)2 |
48 |
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ая |
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3(3 |
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Вычисляем 3 |
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1 |
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» 4,44 . |
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85 |
» 4 + |
× 21 = 4,4375 |
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нн |
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48 |
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Абсолютная погреш ость: |
4,44− 4,4 |
= 0,04 |
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ро |
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4,44 - 4,4 |
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Относительная погрешность:δ = |
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×100% = 0,9% . |
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т |
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4,44 |
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0) и построить ее график. |
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5.Иссл кдовать функцию y = 3 2ax2 |
- x3 ,(a f |
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л |
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Э |
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Решение. |
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1.Область определения: D(y) = R ,так как корень третьей степени имеет смысл при любом значении подкоренного выражения.
2.Элементы симметрии.
а) Исследуем на четность, нечетность: y(-x) = 32a(-x)2 - (-x)3 = 32ax2 + x3 .
58
Так как y(-x) ¹ y(x), y(-x) ¹ -y(x) , то данная функция общего положения.
б) функция не является периодической. 3. Точки пересечения с осями координат:
а) Точки пересечения с осью ОХ: y = 0, 2ax2 - x3 = 0, x2 (2a - x) = 0 ® x1 = 0, x2 = 2a .
б) Точки пересечения с осью ОУ: х=0,у=0. График проходит через начало координат.
4. Промежутки знакопостоянства: |
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ка |
АГНИ |
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е |
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+ |
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+ |
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- |
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y ³ 0 Û x |
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т |
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||||||
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2 (2a - x) ³ 0 |
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0 |
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2a |
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о |
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и |
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Рис.2. |
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л |
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||||||
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б |
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и |
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Решая |
неравенство |
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б |
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получим y ³ 0 Û x Î(-¥;2a]. |
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методом |
интервалов, |
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ая |
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Следовательно, график д нной функции при x Î(-¥;2a]находится не ниже ОХ, а |
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при x Î(2a;+¥) - ниже ОХ. |
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5.Асимптоты. |
нн |
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||||
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а) вертикальные асимптоты отсутствуют, так как нет точек разрыва. |
|||||||||||||||||||||||||||
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ро |
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б) Ищутнаклонные асимптоты у = кx + b . |
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к |
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Опр деляю параметры для правой наклонной асимтоты: |
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е |
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лк1 |
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|||||||||
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y |
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3 |
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2ax2 |
- x3 |
= [¥ |
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|||||||||||
= lim |
= lim |
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] = lim 3 |
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2a |
-1 = -1. |
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|||||||||||||||||||
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x |
|
|
|
x |
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||||||||||||||||||
Э |
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x→+∞ x |
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x→+∞ |
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¥ |
x→+∞ |
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= lim ( y − kx) = lim (3 |
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+ x) = [∞ − ∞] = |
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2a |
. |
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|||||||||||||||||
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b1 |
2ax 2 |
− x3 |
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||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
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x→+∞ |
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x→+∞ |
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3 |
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Итак, y = −x + 23a -правая наклонная асимптота.
59
Аналогично, можно определить параметры для левой наклонной асимптоты:
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к2 |
= lim |
y |
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= lim |
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3 2ax2 - x3 |
= [¥ |
] = lim |
3 |
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2a |
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-1 = -1, |
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|||||||||||||||||||||||||
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x |
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x→−∞ x |
x→−∞ |
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¥ |
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x→−∞ |
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x |
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||||||||||
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= lim ( y − kx) = lim (3 |
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+ x) = [∞ − ∞] = |
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2a |
. |
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||||||||||||||||||||||||||
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b2 |
2ax 2 |
− x3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→−∞ |
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x→−∞ |
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3 |
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Итак, левая асимптота совпадает с правой - y = −x + |
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2a |
. |
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3 |
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Значит, график имеет единственную наклонную асимптоту y = −x + |
2a |
. |
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ка |
3 |
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6.Точки возможного экстремума: y′ = 0или |
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АГНИ |
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y′ не определена. |
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−2 |
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е |
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Найдем производную. |
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о |
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y′ = |
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1 |
(2ax 2 |
− x3 ) |
3 |
(4ax − 3x2 ) . |
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и |
т |
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3 |
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éx = 0 |
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б |
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¢ |
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ê |
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y |
= 0 Û 4ax - 3x |
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л |
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2 |
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и |
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ë |
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3 |
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б |
ê |
= 0 . |
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y′ не определенаÛ 2ax2 - x3 = |
0 Û |
éx |
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ая |
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ëx |
= 2a |
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Исследуем знак производной на D(y). |
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y/ |
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нн |
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4 а |
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- |
ро |
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+ |
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- |
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- |
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y |
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т |
0 |
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2а |
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е |
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Риск.3 |
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3 |
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л |
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3 |
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3 |
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Э |
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xmin |
= |
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= |
0, |
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0, ymin |
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2 . |
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По знаку производной получим: |
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4 |
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2a3 |
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xmax |
= |
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a, ymax = |
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|||||||||||||||
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Функция |
убывает |
|
при |
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x (−∞;0) и |
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( |
4 |
a;2a) и(2a;+∞) ; |
возрастает при |
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3 |
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x (0; 43 a) .
60