Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdf№21
1. |
lim |
|
x2 + 3x - 28 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 - 4x |
|
|||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
lim |
|
|
x3 - 27 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→3 |
|
|
|
|
3x - x |
|
|||||||
|
|
æ |
|
2x2 + 5x -1 |
ö2x |
|||||||||
3. |
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
2x2 + 7x - 2 |
|||||||||||||
|
x→∞ |
ç |
|
÷ |
||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
4. |
lim |
|
cos8 x - cos3x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
7x 2 |
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
lim |
|
|
|
2x -1 |
|
|
|||||||
|
|
ln(1+ 4x) |
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||||||
6. |
lim |
|
|
(2ex−1 -1) |
3x−1 |
|
||||||||
|
|
x−1 |
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№23
2. |
lim |
|
4x6 |
- x + 5 |
|
|
|
|
ая |
|||||||||||
1. |
lim |
|
|
|
|
|
x2 |
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→3 |
|
3x2 - 8x - 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
нн |
|
||||
|
|
|
|
|
x2 |
+ 2 - |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
x6 |
+ |
3x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+1 -1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1- cos6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
lim |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
л |
|
7x − sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
æ |
|
4x -1 |
ö |
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Э x→∞ è |
4x |
- 3 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
lim |
æ |
|
|
|
x |
2 |
- 5x + 4 |
|
ö |
|
|||||||||
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
|
- 7x + |
8x |
-1 |
÷ |
|
||||||||||||
|
x→1 è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№22 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1. |
lim |
3x2 |
- 7x - 20 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
- x -12 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2. |
|
lim |
|
x + 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x→5 |
|
x -1 - 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||
|
|
|
|
|
3. |
|
|
æ |
|
3x + |
4 |
|
|
|
|
ö+5x−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
3x - |
7 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4. |
|
lim |
1- cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5. |
|
lim |
|
|
|
2sin(πx |
|
+ π ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
ln(1+ 2x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 sin x |
|||||||||||
|
|
|
и |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(sin x) |
|
|
|
ctgx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
6. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
л |
о x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№24 |
||||||
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1. |
|
lim |
|
x3 -1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x2 - 3x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2. |
|
lim |
1− cos 3x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
xtg5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3. |
|
lim |
|
|
|
|
2x + 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
x - 2 -1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4. |
|
lim |
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5. |
|
lim |
|
|
|
|
4x6 - x + 5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 + 3x2 +1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6. |
|
lim |
|
|
|
|
1 − cos 6x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x − sin 3x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
31
|
|
|
|
|
|
№25 |
|||||||
1. |
lim |
|
4x4 - 5x2 +1 |
||||||||||
|
|
|
|
x2 -1 |
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
|
|||
2. |
lim |
|
|
|
|
2x + 7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→9 |
|
|
|
3 - |
|
x |
||||||
3. |
|
æ |
2 - 3x |
|
|
|
ö4x+5 |
||||||
lim |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
||||||
ç |
5 - 3x |
÷ |
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
è |
ø |
|
|
||||||||
4. |
lim |
|
cos9x - cos x |
|
|||||||||
|
|
|
|
4x 2 |
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
arctg2x |
|||||||
|
|
sin(2π (x +10)) |
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
||||||||||
6. |
lim (2ex−1 -1) |
x |
|||||||||||
x−1 |
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№27 |
|
|
|
|
|
|||
1. |
lim |
|
6x4 - 5x2 -1 |
|
|
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
ая |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
||
2. |
lim |
|
|
|
|
2x + 7 |
|
|
нн |
|
|||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→9 |
|
|
|
|
|
x − 9 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
||||||
|
|
æ |
2 -8x |
|
ö4x |
+5 |
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
ç |
5 -8x |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|||
|
|
к9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos4x - cos x |
|
|
|
|||||||||
4. |
е |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
sin(6π (x +10)) |
|
||||||||||||
лx→0 |
|
|
|
||||||||||||
6. |
lim (3ex−1 - 2) |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
x−1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№26
|
|
1. |
lim |
8x4 - 7x2 -1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2. |
lim |
|
|
|
|
|
2x + 7 |
|
15 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
|||||
|
|
3. lim |
æ |
2 - x |
ö4x2 |
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ç |
5 - x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→∞ |
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4. lim |
|
cos13x - cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||||||||||
|
|
5. lim |
|
|
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→0 sin(3π |
(x |
+ |
10)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
о |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6. |
lim |
|
|
|
|
|
−1 -1)x |
|
−1 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
(2ex |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
и |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№28 |
||||||
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
1. |
lim |
9x4 - 7x2 - 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2. |
lim |
|
|
|
3x + 7 |
19 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
2 - |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
3. lim |
æ |
2 - 4x |
|
ö4x2 +5 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ç |
5 - 4x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4. lim |
cos13x - cos 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5. lim |
|
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x→0 sin(3π (x + 6)) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6. lim (9e |
-8) |
x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
|
|
|
|
|
|
№29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№30 |
|
|||||||||||
1. |
lim 3x2 + 2x -16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
lim |
|
|
|
|
x2 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + x -10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
x2 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
2x +1 |
x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
3 + 2x |
x + 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х - 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х -1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
|||||
|
|
æ |
|
3x + 4 |
|
ö3x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x2 |
+ 5x - |
3 |
ö8x |
||||||||||||||||||||||||
3. |
lim |
ç |
|
3x - 7 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
lim |
ç |
|
|
|
+ 8x -1 |
÷ |
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
ç x2 |
÷ |
||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||
4. |
lim |
sin 7x + sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
lim |
|
|
tg 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x ×sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x(1- cos8x) |
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
lim sin2 x - tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
tg x -sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
æ |
2x -8 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о6. lim |
|
|
æ cos x ö |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
x |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→8 |
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
è cos3 ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исследовать на непрерывность и построить график функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ï2x, x £ -π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
ïx, x £ -π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
f (x) = ícos 2x,-π p x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. f (x) = ícos x,-π p x p |
2 |
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ï2π , x f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïπ , x f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
î |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- 2x, x £ -π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ì2, x £ -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
,-2 £ x £ 2 |
. |
4. |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = í |
4 |
|
- x |
|
|
f (x) = ícos3x,-π p x p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
л |
|
|
|
|
ïx - 2, x f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
еî |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï2π , x f |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx +1, x £ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì- x - 3, x £ -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
ï |
2 - 4,-2 p x p 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = í2, 1 p x £ 2 . |
|
|
f (x) = íx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ï3x, x f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î2x, x |
³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
ìx, x £ -1 |
|
7. |
ï |
|
f (x) = í2,-1 p x p 4 . |
||
|
ï |
³ 4 |
|
î2x - 3, x |
|
ì |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
ï2x, x £ -π |
π |
|
|
8. |
ï |
|
. |
|
f (x) = ísin 2x,-π p x p |
2 |
|||
|
ï |
π |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
ï2π , x ³ |
2 |
|
|
|
î |
|
|
|
ì |
|
|
|
ï |
|
|
|
ï2x, x £ -π |
π |
|
9. |
ï |
|
|
f (x) = ísin 3x,-π p x p |
2 |
||
|
ï |
π |
|
|
ï |
|
|
|
ï2π , x ³ |
2 |
|
|
î |
|
|
ì |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
ïπ - x, x £ -π |
π |
|
|
10. |
ï |
|
. |
|
f (x) = ícos x,-π p x p |
2 |
|||
|
ï |
π |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
ï2π , x ³ |
2 |
|
|
|
î |
|
|
|
ì2x, x £ -2 |
11. |
ï |
f (x) = í4 - x2 ,-2 p x p 2 . |
|
|
ï |
|
î- 2x, x ³ 2 |
|
|
|
ìx +1, x £ 0 |
|
|
||
13. |
f (x) = |
ï |
+1) |
2 ,0 p x £ 2 . |
|
||
í(x |
|
||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
î- x + 4, x f 2 |
ая |
|||
15. |
f (x) = ísin 2x,-π p x p 0 . |
||||||
|
|
|
ì-1, x £ -π |
нн |
|
||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
îπ , x ³ 0 |
|
|
||
|
|
|
|
ро3 |
|
||
|
|
|
ì- 2x, x p 0 |
|
|||
17. |
f (x) |
ï |
|
,0 £ x p 2 . |
|
||
т= í- x |
|
||||||
|
е |
ï |
|
|
|
|
|
л |
к3, x ³ 2 |
|
|
||||
|
î |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Э19. |
|
|
ì- x, x p 0 |
|
|
||
f (x) = |
ï |
|
|
|
|
||
íx3 ,0 £ x p 2 . |
|
||||||
|
|
|
ï |
|
2 |
|
|
|
|
|
î4, x f |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
2 |
ка2 |
||||
|
|
ì |
|
|
|
|
£ - |
π |
|
|
|
|
||
|
|
ï- 2, x |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
í |
|
|
|
|
|
|
е |
|
. |
|||
|
f (x) = ï2cos x,- π |
p x £ π |
|
|||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ï |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï1, x fт |
|
|
|
|
||||||||
|
|
иì |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ï |
|
|
|
£ 0 |
|
|
|
|
|
|||
и |
лï2x, x |
|
|
π |
|
|
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
14.бf (x) = ícos x,0 p x p |
|
|
||||||||||||
б |
|
î |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ï2, x ³ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ì- x, x p 0 |
|
|
|
|
|||||||
16. |
f (x) = |
ï |
3 ,0 £ x p 2 . |
|
|
|||||||||
íx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
³ 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
î4, x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ì |
|
x |
, x p 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. |
f (x) = |
3 ,0 £ x p 2 . |
|
|
||||||||||
íx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- 2, x f 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì- x, x p 0 |
|
|
|
|
|||||||
20. |
f (x) = |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íx2 ,0 £ x p 2 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î- 4, x ³ 2 |
|
|
|
|
34
АГНИ
|
ì |
|
x |
, x p 0 |
|
|
|
|
ï- |
|
|
|
ì2 - x, x p 0 |
||
|
3 |
|
|||||
21. |
ï |
|
22. |
ï |
2 . |
||
f (x) = íx |
3 -1, 0 £ x p 2 . |
f (x) = íx3 ,0 £ x p |
|||||
|
ï |
|
|
|
|
ï |
|
|
ï5, x ³ 2 |
|
î- 4x, x ³ 2 |
|
|||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì6 - x, x £ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì5 - x, x p 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
|
23. |
f (x) = í1- x2 ,0 p x p 2 . |
|
|
|
|
|
|
24. |
f (x) = í1- x3 ,0 £ x p 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î4x + 3, x ³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î4, x ³ 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ì- x2 , x p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì5 - x, x p 0 |
|
|
||||||||||||||||
25. f (x) = |
ï |
3 ,0 £ x p 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
26. f (x) = |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
íx |
|
|
|
|
|
|
|
íx3 ,0 £ x p 2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï4, x ³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï1 - x, x ³ 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
каp 2 . |
|
|
27. |
f (x) = íx3 ,0 £ x p 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
f (x) = í3 - x3 ,0 £ x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
2 , x p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
е |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ìx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì3 |
- x, x p 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
т |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
î- 2, x ³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î4, x ³ |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лï |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ì- x, x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 |
- x, x p 0 |
|
|
|||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = íx |
|
|
,0 £ x p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,0 |
£ x p 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. f (x) = íx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
î4 - x, x ³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
î5 |
- x, x ³ 2 |
|
|
||||||||||||||||||
x→−5 |
3x2 + x - 70 |
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Образец выполнения контрольных заданий по теме «Введение в анализ» |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. lim |
|
|
|
x2 |
- 25 |
|
|
|
. |
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
ро |
|
числитель и |
|
знаменатель |
дроби |
под знаком предела |
||||||||||||||||||||||||||||
При |
|
|
х → −5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются бесконечно |
малыми. Имеем отношение двух бесконечно малых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
величин или неопределенность [0/0]. Чтобы избавиться от неопределенности, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложим многочлены на множители, и сократим дробь на общий множитель. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(x -5)(x |
+ 5) |
|
|
|
|
|
(x -5) |
|
|
-10 |
|
|
10 |
|
|
||||||
Э |
еx - 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[ |
|
] = lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= . |
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x→−5 |
|
|
|
|
|
x→−5 |
-14 |
|
|
|
- 29 29 |
|
|
|||||||||
л3x + x - 70 |
|
|
|
|
|
|
3(x + 5)(x |
- |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. lim |
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→4 |
|
|
|
х - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
При х → 4 числитель |
|
и знаменатель дроби под знаком предела |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются |
бесконечно |
малыми. |
|
Имеем |
|
отношение двух бесконечно малых |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величин или неопределенность [0/0]. Сначала переведем иррациональность из числителя в знаменатель, для этого умножим компоненты дроби на выражение, сопряженное числителю. Далее, после преобразований, сократим дробь на общий множитель (х-4).
lim
x®4
|
|
|
- 3 |
|
0 |
|
|
( |
|
- 3)( |
|
|
+ 3) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
2(x - 4) |
|
|
|
|||||
|
|
2x +1 |
= [ |
] = lim |
2x +1 |
2x +1 |
= lim |
2x +1)2 -32 |
= lim |
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
х - 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x®4 |
|
(x - 4)( 2x +1 + 3) |
x®4 |
(x - 4)( |
2x +1 + 3) |
x®4 |
(x - 4)( 2x + |
1 + 3) |
|
|||||||||||||||||
= |
2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
3x4 -8x2 + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x®¥ |
|
|
х3 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
При |
х → ∞ члены дроби- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
величины бесконечно большиеАГНИ. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенность |
[∞]. Разделим числитель и |
|
е |
|
на наивысшую |
|||||||||||||||||||||||||
знаменатель |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степень аргумента х, т.е на |
|
х4 . В результате преобразования получим дробь, в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
к нулю. |
|
числитель которой при х → ∞ стремится к 3, а знаменательт |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
-8x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3- |
8 |
|
+ |
2 |
|
|
|
|
б |
и |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim 3x |
|
|
= [¥ |
] = lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= [ |
3] |
= ¥ . |
л |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
х3 - 4 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
x®¥ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
æ |
|
3x +1 |
ö9x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. lim ç |
|
÷ |
. |
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x®¥ |
ç |
|
3x - 7 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Имеем |
|
неопределе ость |
|
[1¥ ] . |
Для |
вычисления предела воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
следствием из вт рогоннзамечательного предела: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limu(x)v( x) |
= |
|
|
lim (u-1)v |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1¥ ] = ex→a |
|
|
|||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ö9x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
æ 3x +1 |
|
¥ |
|
lim ( |
3x+1 |
-1)×(9x+5) |
|
|
|
lim |
8(9x+5) |
|
24 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
= [1 |
] = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
= e . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
е |
|
|
|
|
|
x→∞ |
3x-7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
3x-7 |
|
|
|
||||||||||||||||||
x®¥ |
ç 3x - 7 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Э |
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x + sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x®0 |
|
|
x ×sin |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
sin x + sin |
x |
|
|
0 |
|
2sin |
3x |
cos |
x |
|
|
2 × |
3 |
x |
|
9 |
|
||||||
Решение. lim |
2 |
|
= [ |
] = lim |
4 |
4 |
|
= lim |
4 |
= lim |
= ¥ . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 x × sin |
х |
|
|
|
0 |
x→0 x × sin |
|
|
|
x→0 |
x × |
x |
|
x→0 |
2x |
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
В нахождении предела использовали эквивалент: sinα ~α,приα → 0.
|
|
|
æ cos x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||
6. lim |
ö |
x2 -9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x®3 |
è cos3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
(cos x-cos3) |
|
|
|
|
|
-2sin |
x-3 |
×sin |
x+3 |
|
|
|
-2× |
x-3 |
×sin |
x+3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( |
-1)× |
1 |
|
lim |
|
|
|
lim |
2 |
2 |
|
lim |
2 |
2 |
|
|
-sin 3 |
|
|
tg3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
æ cos x öx-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
¥ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3( x-3)(x+3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
→3 cos3×( x2 -9) |
|
|
|
x |
3 |
|
x |
3cos3×( x-3)(x+3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
limç |
|
|
÷ |
|
|
= [1 ] = e |
→ |
|
cos3 |
x |
-9 = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
= e → |
|
|
|
|
|
|
|
= e6cos3 = e |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x®3 |
è cos3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследовать на непрерывность и построить график фун ции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ïx + π, x £ -π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = ísin x,- π p x p π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ï1, x ³ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
-π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
л |
к |
|
|
|
|
|
|
y = sinx |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y = x +π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Функции y = x + π, y = sin x, y = 1являются непрерывными на всей числовой прямой. Значит, функция, возможно, имеет точки разрыва в точках, где изменяется ее аналитическое выражение, т.е. в точках x = −π , x = π .
Для исследования на непрерывность вычислим односторонние пределы функции в этих точках.
В точке x = −π |
имеем: |
lim |
|
|
f (x) = |
|
lim (x + π ) = 0, |
|
lim |
|
|
|
|
|
АГНИ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = lim sin x = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−π −0 |
|
x→−π −0 |
|
|
|
|
|
|
x→−π +0 |
|
|
x→−π +0 |
|
|||||||||
Таким образом, |
|
lim |
f (x) = |
lim |
f (x) = f (-π ) . Следовательно, |
x = −π - точка |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−π −0 |
|
|
|
x→−π +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
непрерывности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В точке x = π |
имеем: |
lim f (x) = lim sin x = 0, lim |
|
f (x) = lim 1 = 1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π −0 |
|
|
x→π −0 |
|
|
|
x→π +0 |
|
|
|
x→π +0 |
ка |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким образом, |
|
lim f (x) ¹ lim f (x) . Значит, функция в точ е |
x = π имеет разрыв |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→π −0 |
|
|
x→π +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|||||||
1-ого рода (скачок). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные задан я |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тема 4: Дифференциальное исчисление функции одной переменной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1. Найти производную |
|
|
изаданной функции, |
в пункте в- найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
производные |
, |
|
|
, в пункте д вычислить производную функции в указанной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 2. Вычислить предел функции по правилу Лопиталя. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
к |
ро |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
), |
|
|
|
ìx = ln2 t |
|
|
||
а) |
у = |
3 |
9х |
2 |
+ 4х - 5 + |
|
|
, |
б) |
у = arcsin |
2 |
3x |
|
в) |
í |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5х - 4)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = t |
+ lnt |
|
||||
г) |
у = |
æ |
|
2 ö3х |
, y′ |
= ? |
|
д) f (x) = |
|
1- 2x |
, |
f ′(4) |
= ? |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ç1+ |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 3 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
2.а) lim ln( |
x - 5 |
) |
б) lim |
1− cos 3x |
в) lim x(ln(8 + x) - ln(x +1)) . |
|
tg 2 9x |
||||
x→∞ 5 x + 6 |
x→0 |
x→∞ |
3.Найти угол пересечения кривых y = x3 , y = x12 .
4.С помощью дифференциала приближенно вычислить 534 с точностью
ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - 2x + 4 |
|
АГНИ |
||||
5. Исследовать с помощью производной функцию y = |
|
|
x +1 |
, построить ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) íìx = ln3 t ка |
|
||||||||||||||||
1.а ) у = 4 |
|
9х2 |
+ 7х − 5 + |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 , б) у = arctg |
4 (9x2 ), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2х − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = t + ln t |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
у = х2 cos 4x |
, д) |
|
|
|
f (x) = |
|
x2 + 2 |
|
x |
|
, f ′(1) = |
? |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2ln x - x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
л5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim x |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
и |
|
|
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
x |
lim(сos |
x |
|
+ 3sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти угол пересечения линий y = |
|
|
2 |
sin x , |
|
y = |
2 |
cos x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. С помощью дифференци ла приближенно вычислить 4 |
16,64 |
с точностью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
ую относительную и абсолютную погрешности. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ε = 0,01, оценить допуще |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
5. Исследовать с пом щью производной функцию y = e |
|
, построить ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x+5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график. |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x |
|
), в) |
ìx = lnt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
8х - 4 + |
2х |
|
|
, б) у = arctg |
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(3х2 |
|
|
-1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = t + lnt |
|
||||||||||||||||
|
у = х7х2 −3 6 , д) f (x) = x3e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
г) |
|
, |
f ′(0) = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2. а) lim |
|
|
|
tgx − x |
|
|
б) |
limln x ×ln(x2 -1) в) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim(x + 2x ) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x − sin 2x |
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти угол пересечения линий y =1+ sin x , y=1.
4.С помощью дифференциала приближенно вычислить 533 с точностью
ε = 0,01, оценить допущенную относительную и абсолютную погрешности.
5. |
Исследовать с помощью производной функцию y = - x2 |
+ 4x - 4 |
, построить ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
у = х2sin 3x , |
д) |
|
f (t) = ln(1+ 2−4t ) , |
f ′(0) = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
АГНИ |
|||||||||||||||||||||||||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. а) у = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
б) |
|
у = arccos |
3 (5x2 ) , |
в) íìx = 4(t - sin t) |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
4х3 |
|
- 3х -1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(9х |
- 3)5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = 3(1- cost) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|||||||||||||||||
|
x→3 |
x - 3 |
|
|
x2 - x - 6 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
а) lim( |
|
1 |
|
- |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
) |
б) |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
в) lim(1+ |
|
е |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3tg2 x)ctg 2 x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
2 |
ln(1- x) |
|
|
|
|
т |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти угол пересечения линий y = x - x3 , y=5х.о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С помощью дифференциала приближенно вычислить 5 31 с точностью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ε = 0,01, оценить допущенную относ тельную и абсолютную погрешности. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
Исследовать с помощью производной функцию y |
= |
|
|
, построить ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = 3t 3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
(2х + 5)2 |
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
а) у = 3 |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
, |
|
б) у = |
|
|
|
|
|
|
, |
в) |
íìx = (8t + 3)cost |
|||||||||||||||||||||||
|
5х4 |
|
- 4х3 +1 |
- |
|
|
|
|
|
|
arctg(7x3 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
л |
5х2 |
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
у = х |
|
|
|
|
, д) |
|
f (t) = |
|
|
a |
|
+ b |
|
- 2abcos2t , |
f ¢( |
|
) = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
etgx -1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
а) lim arcsin |
|
× ctg (x - a) |
|
|
б) |
lim |
в) lim(cos2x) |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э x→ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 tgx - x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.При каком значении параметра а кривая y = 14 (аx + x3 ) пересекает ось OX под углом 45o .
40