Типовой расчет №2
Вычисление выборочных характеристик статистического ряда распределения
Для вычисления средней арифметической, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса рекомендуется следующий порядок вычислений.
Заменяем интервальный ряд дискретным для чего, все значения признака в пределах интервала приравниваем к его срединному значению, и считаем, что частота относится к середине интервала. Значения середин интервалов равны =(+)/2.
Для удобства вычислений целесообразно составить вспомогательную таблицу 1.3. Значения середин интервалов заносят в графу I, соответствующие частоты в графу 2 и т.д.
В таблице ∆i = (-)
Пользуясь таблицей 1.3, вычислим выборочную среднюю арифметическую:
=.
В нашем примере = 5,4426 млн.руб. и характеризует среднее положение наблюдаемых значений.
Выборочный центральный момент k-го порядка равен:
.
Таблица 1.3
Вспомогательная таблица для вычисления выборочных характеристик
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
5.04 5.15 5.26 5.37 5.48 5.59 5.70 5.81 5.92 |
1 8 7 34 26 13 5 5 1 |
5.04 41.20 36.82 182.58 142.48 72.67 28.50 29.05 5.92 |
-0,4026 -0,2926 -0,1826 -0,0726 0,0374 0,1474 0,2574 0,3674 0,4774 |
-0,4026 -2,3408 -1,2782 -2,4684 0,9724 1,9162 1,2870 1,8370 0,4774 |
0,16209 0,68492 0,23340 0,17921 0,03637 0,28245 0,33127 0,67491 0,22791 |
-0,06525 -0,20040 -0,04261 -0,01301 0,00136 0,04163 0,08526 0,24796 0,10880 |
0,02627 0,05863 0,02593 0,00094 0,00005 0,00614 0,02194 0,09110 0,05194 |
|
100 |
544.26 |
-0,4048 |
0 |
2,80526 |
0,16374 |
0,28294 |
Для проверки правильности вычисления должно выполняться равенство:
В нашем примере тождество выполняется. В итоговой строке столбца 4 табл.1.3 имеем 0
В данном примере μ2 =0,028, μ3=0,00164, μ4= 0,00283.
Выборочная дисперсия равна центральному моменту второго порядка:
=μ2
В нашем примере = 0,028. а выборочное среднее квадратическое отклонение S=√S2= 0,167 млн.руб.
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Ек определяются по формулам
Ас =;
Ас = 0,0586
Ек = -3
Ек= 3,6-3=0,6
Медиана Ме - значение признака x , приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. При четном числе наблюдений медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:
Ме=
Если ранжировать значения, попавшие в медианные интервал [5,43;5,54], – интервал, в котором накопленная частота mH впервые превышает половину объема выборки = 50, – до значениеи, получим
Следовательно, Ме =(млн.руб.).
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле
Ме
где Ме означает номер медианного интервала, (Ме-1) - интервала, предшествующего медианному.
В нашем примере Ме = 5,43+ = 5,43+0=5,43 млн.руб.
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака (табл.1.1), которому соответствует наибольшая частота.
У нас вариант 5,43 имеет наибольшую частоту (m=34). Это означает, что Мо =5,43 млн.руб.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле:
Мо =
Где означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой),-1 и +1 – номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов. В нашем примере
= 5,32 +
Так как , и Ме почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации:
=100%=3,07%.
Коэффициент вариации используют для характеристики того, насколько средняя арифметическая хорошо представляет статистический ряд распределения. Если ряды имеют одинаковые средние, то средняя арифметическая ряда с меньшим коэффициентом вариации более предпочтительна. Будучи безразмерным, удобен для сравнений рядов распределения.