Типовой расчет №4
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот за оценку математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и S , т.е = 5,4426;S =0,167.
Теоретические частоты находят по формуле =n;
где n - объем выборки;
- вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в i -й интервал.
Вероятность определяется по формуле
=<)=
где Ф(t)=*- интегральная функция Лапласа - находится по таблице для
=,=
Для вычисления вероятности и теоретических частот составим таблицу 1.5.
Таблица 1.5
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Интервалы (;) |
Ф() |
Ф() |
n |
/h | |||||
4,99 - 5,10 5,10 - 5,21 3,21 - 5,32 5,32 - 5,43 5,43 - 5,54 5,54 - 5,65 5,65 - 5,76 5,76 - 5,87 5,87 - 5,98 |
1 8 7 34 26 13 5 5 1 |
-2,05 -1,39 -0,73 -0,07 0,58 1,24 1,90 2,55 |
-2,05 -1,39 -0,73 -0,07 0,58 1,24 1,90 2,55 +∞ |
-0,5000 -0,4798 -0,4177 -0,2673 -0,0279 0,2190 0,3925 0,4713 0,4927 |
-0,4798 -0,4177 -0,2673 -0,0279 0,2190 0,3925 0,4713 0,4927 0,5000 |
0,0202 0,0621 0,1504 0,2394 0,2469 0,1735 0,0788 0,0234 0,0053 |
2,02 6,21 15,04 23,94 24,69 17,35 7,88 2,34 0,53 |
2 6 15 24 25 17 8 2 1 |
0,18 0,54 1,36 2,18 2,27 1,54 0,72 0,18 0,09 |
|
100 |
– |
– |
– |
– |
1,0000 |
– |
100 |
– |
Построим теоретическую нормальную кривую f(x) на рис.1.1. Для этого из середины частных интервалов восстановим перпендикуляры высотой /h (табл.1.5, графа 10), где =/n. На рис.1.1 концы этих перпендикуляров отмечены точками. Полученные точки соединены плавной кривой.
|
Сравнение гистограммы и теоретической нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределениями.
Типовой расчет №5
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
Примечание. При использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим (n>50) и интервалы должны быть достаточно заполнены частотами. Если отдельные теоретические частоты на концах распределения окажутся малыми (<5), то при вычислениинеобходимо объединить такие интервалы, сложив соответствующие частоты.
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий , основанный насравнении эмпирических частот с теоретическими , которыеможно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение - наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
где к - число интервалов (после объединения), – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления , сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6
Вычисление критерия при проверке нормальностираспределения объемов основных фондов
Интервалы
|
|
|
(-) |
|
4,99 - 5,10 5,76 - 5,87 5,87 - 5,98 5,10 - 5,21 3,21 - 5,32 5,32 - 5,43 5,43 - 5,54 5,54 - 5,65 5,65 - 5,76 |
1 5 1 8 7 34 26 13 5 |
2 2 1 6 15 24 25 17 8 |
4
4 64 100 1 16 9 |
0,8
0,67 4,27 4,17 0,04 0,94 1,12 |
|
100 |
100 |
– |
=12,01 |
Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения Хи-квадрат критическое значение(,) для числа степеней свободы =к-3 и заданного уровня значимости . Затем сравниваем и .
Если <, то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
Если >,то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки . Для нашего; примера =12,015, =0,05, =7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и (0,05;4)=9,5;
Так как >, то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе отвергается. Можно сделать вывод, что распределение объемов основных фондов 100 предприятия не является нормальным.
Вопросы для самопроверки
Перечислите основные задачи математической статистики.
Что называется генеральной совокупностью; случайной выборкой?
Что называется вариационным рядом распределения?
Как сделать предварительный выбор закона распределения генеральной совокупности по виду гистограммы и полигона относительных частот; по значениям выборочных коэффициентов ассиметрии и эксцесса?
Графикам каких функций в теории вероятностей соответствуют гистограмма и полигон относительных частот; кумулята?
Что называется эмпирической функцией распределения? В чем различие между эмпирической и интегральной функцией распределения?
На основании каких признаков или критериев можно произвести предварительный выбор закона распределения генеральной совокупности?
В чем состоит задача нахождения точечных оценок неизвестных параметров распределения?
Какая оценка параметра называется несмещенной; состоятельной; эффективной? Почему желательно, чтобы оценка была несмещенной и состоятельной?
Укажите точечные оценки неизвестных параметров нормального распределения генеральной совокупности.
Что называется статистической гипотезой?
Что называется параметрической; непараметрической статистической гипотезой?
Что называется ошибкой первого рода; ошибкой второго рода? Интерпретировать вероятности совершения ошибок первого и второго рода.
Как изменяется вероятность совершения ошибок второго рода при стремлении уровня значимости к нулю?
Что называется уровнем значимости ?
Что называется статистическим критерием?
Что называется критической областью статистического критерия? Как выбрать критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы?
Можно ли применяя статистический критерий значимости, сделать вывод: «Проверяемая нулевая гипотеза верна»?
Как находится критические точки для статистических критериев U, t, F, в случае двусторонней критической области; в случае правосторонней критической области?
Как проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона ?