4). Аксиоматика теории вероятностей. Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

2. Если А и В – несовместные события, т. е. , то

.

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если при, то

, (2.1)

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют "теоремой" сложения (для схемы случаев она может быть доказана), или правилом сложения вероятностей.

3. Если имеется счетное множество несовместных событий (при), то

.

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).

Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев . Случайблагоприятен событиюА, если он представляет подмножество А (), или, иначе говоря, это вариант событияА. Так как образуют полную группу, то

.

Но все случаи несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей

.

Кроме этого, так как все события равновозможны, то

.

Благоприятные событию случаи образуют его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна, то по правилу сложения получаем

.

Но это и есть классическая формула (1.1).

Следствия правила сложения вероятностей

1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если

при ,

то

.

Доказательство. Так как события несовместны, то к ним применимо правило сложения

.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

,

так как событияА и образуют полную группу.

Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

3. Если событияА и В совместны, т. е. , то

. (2.2)

Доказательство. Представимкак сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6)

.

По правилу сложения

. (2.3)

Но

,

,

откуда получаем

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.

5). Теоремы сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:

Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать.

Пример:

Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице