9). Повторение испытаний. Схема Бернулли.

Одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события АА в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события АА в единичном испытании буквой рр, т.е. p=P(A)p=P(A), а вероятность противоположного события (событие АА не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯¯)=1−pq=P(A¯)=1−p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражаетсяформулой Бернулли

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅qn−k,q=1−p.Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k,q=1−p.

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

10). Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

11). Вероятность гипотез.Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1,В2,.. ., Вп, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности (см. § 2): Р (А) = Р (В1)  (А)+ Р (В2)  (А)+ ...+ Р (Вn)  (А).       (*) Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности РА(В1), РА(В2), ..., РА(Вп). Найдем сначала условную вероятность Pa(B1).По теореме умножения имеем Р (АВ1) = Р (А) РА (В1) = Р (B1)  (A). Отсюда РА (В1)=..

Теорема Бейеса.

Пусть событие А может наступить лишь при условии пояления одного из несовместных событий В1,В2,…Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:

i=1,2,…,n.

12). Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение (до опыта неизвестно, какое именно).

События принято обозначать большими буквами латинского алфавита, вероятность буквой Р, например, Р(А). Реализации события (случайные величины) обозначаются малыми буквами: a₁, a₂, …, a_n.

Среди встречающихся в практике случайных величин можно выделить дискретные и непрерывные.

Дискретными случайными величинаминазываются такие, которые принимают только отделенные друг от друга значения и могут быть заранее перечислены. Например, количество автомобилей на заданном километровом участке дороги в конкретный момент времени; число бракованных узлов деталей автомобиля в партии из n штук.

Для дискретных случайных величинхарактерно, что они принимают отдельные,изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Например, количество автомобилей на заданном участке дороги может принимать только целочисленные значения 0, 1,2, ..., п и зависит от времени суток и интенсивности движения.

Существуют случайные величины другого типа, которые чаще встречаются и имеют большое практическое значение.

Непрерывной случайной величиной называется такая, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал числовой оси). Интервал числовой оси может быть конечным или бесконечным. Примерами непрерывных случайных величин являются время безотказной работы автомобиля в заданных дорожных условиях, скорость движения автомобиля на заданной дороге, ошибка измерения.

В отличие от дискретных возможные значения непрерывных случайных величин нельзя заранее перечислить, так как они непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Случайные величины обозначаются обычно большими буквами латинского алфавита - X, Y, Z, Т, а их возможные значения соответствующими малыми x_i, y_i, z_i, t_i, где i = 1, 2, .... п.

Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значениями x₁, x₂, …, x_n. В результате проведения многократных опытов величина Т может принять каждое из значений x_i, т. е.: