- •1).Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Виды случайных событий. Вероятность. Классическое определение вероятности.
- •2). Вероятность. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.
- •3). Испытания и события. Основные формулы комбинаторики.
- •4). Аксиоматика теории вероятностей. Аксиомы теории вероятностей и их следствия.
- •5). Теоремы сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.
- •6). Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •7). Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •8). Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности.
- •9). Повторение испытаний. Схема Бернулли.
- •10). Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •11). Вероятность гипотез.Теорема гипотез (формула Байеса).
- •12). Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •13). Закон распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины. Смешанная случайная величина.
- •14). Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •15). Непрерывная случайная величина. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •16). Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.
- •17). Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия. Свойства дисперсии.
- •18). Среднее квадратическое отклонение. Моменты. Асимметрия. Эксцесс.
- •19). Вероятностный смысл математического ожидания.Свойства математического ожидания.
- •20). Распределения дискретных случайных величин. Биномиальное распределение.
- •21). Распределение Пуассона. Простейший поток событий.
- •22). Геометрическое, гипергеометрическое распределения.
- •23). Распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение.
- •24). Распределения непрерывных случайных величин показательное, нормальное распределение.
- •26). Числовые характеристики функций случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
- •27). Числовые характеристики функции случайного числа случайных слагаемых.
26). Числовые характеристики функций случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
Математическое ожидание и его свойства.
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значение на соответствующие им вероятности.
X |
… | |||
P |
… |
Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то
называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина имеет математическое ожидание M , то дисперсией случайной величины называется величина D = M( - M )2.
27). Числовые характеристики функции случайного числа случайных слагаемых.
Если каждому возможному значению случайной величины Хсоответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х: Y = φ(X). Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.
1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Хсоот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Yравны.
Пример 1. Ряд распределения для Х имеет вид: Х 5 6 7 8
р 0,1 0,2 0,3 0,4
28). Законы распределения функций случайных величин. Функция одного и двух случайных аргументов.
29). Закон больших чисел.
В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием "центральной предельной теоремы".
30).Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиямиM(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого действительного числа х существует предел
где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.