UMF-BOOK

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Полученное ранее интегральное уравнение для внутренней задачи Дирихле запи-

шем в виде

σ(x) − λ Z

K(x, ξ)σ(ξ)d = −2ϕ(x),

(6.2)

где

2

∂E(x, ξ)

(6.3)

K(x, ξ) = −

,

x, ξ , λ = −1

|S1|

∂ν

K(x, y) =

2 cos(ν, r)

,

r = |ξ − x|

|S1|

rm−1

Заметим, что в двумерном случае при m = 2

|

− |

2

| −

|

1 ∂

X

∂ξk

1

cos ϕ

K(x, ξ) =

π

∂ν

ln |ξ − x| =

π ξ x 2

k=1 (ξk − xk)

∂ν

=

π ξ x

,

где cos ϕ = cos[(ξ

\

(ξ

−

x)ν

−

x), ν] =

|

ξ

x

.

− |

∂

1 ∂

1

∂

1

Очевидно,

ln r =

ln r2 =

(r2) =

(ξα − xα)να.

∂ν

2

∂ν

2r2

∂ν

r2

При этом, если гладкая замкнутая кривая Жордана с непрерывной кривизной, а σ(ξ) C2( ), то, используя параметрическую запись уравнений кривой :

yk = yk(z), z [0, l],

где l длина дуги , можно в уравнении (6.2) перейти к дуговым координатам s и t, отсчитываемым от некоторой фиксированной точки на , против часовой стрелки, и соответствующим точкам x и ξ из .

Тогда вместо (6.2) имеем

Z l

σ(s) − λ K (s, t)σ(t)dt = −2ϕ(s), λ = −1, s [0, l]. (6.4)

0

Для такой кривой функция K (s, t) непрерывная функция переменных s и t, и, следовательно, (6.4) уравнение Фредгольма II рода, где K (s, t) = K(x(s), ξ(t)).

Вернемся к общему случаю и покажем, что λ = −1 не является собственным чис-

лом ядра K(x, ξ), т. е., что уравнение
σ0(x) − λ Z K(x, ξ)σ0(ξ)d = 0,	x	(6.5)

при λ = −1 имеет только нулевое решение σ0(x) ≡ 0.

Действительно, пусть σ0(x) решение уравнения (6.5), тогда для потенциала двойного слоя u0(x) с плотностью σ0(ξ) имеем (согласно первому краевому условию для

однородного уравнения ϕ(x) = 0)
u+	x	lim u	0(	x ) = 0,	x		, x	+
0 (		0) = x→x0		0	0			Ω

161

М.А. Греков Уравнения математической физики

Из свойства единственности гармонических функций следует, что
u0(x) ≡ 0,					x Ω+
		∂u0		+
					= 0 на				(6.6)
		∂νξ
Так как для потенциала двойного слоя					∂ν0
∂ν0			=					,
	∂u	+				∂u		−

то для гармонической в Ω− функции u0(x) имеем

∂u0 − = 0. ∂ν

Тогда в силу второго свойства гармонической функции

u0(x) = const,	x Ω−,
а так как lim u0(x) = 0, то
x→∞	x Ω−,
u0(x) ≡ 0,
и из непрерывности следует, что u0−(x0) = 0,	x0 . Но тогда

−σ0(x0) = u+0 (x0) − u−0 (x0) = 0

и, следовательно, λ = −1 не является собственным числом ядра K(x, ξ), что и требова-

лось доказать.

§ 7. Применение теории Фредгольма к внутренней задаче Неймана

Решение задачи H+ ищется в виде потенциала простого слоя
u(x) =				1	Z	µ(ξ)E(x, ξ)d ,		(7.1)
			|S1|
что приводит к уравнению вида
2		Z				∂E(x, ξ)		(7.2)
µ(x) +				µ(ξ)			d = 2ψ(x),
	|S1|					∂n
Запишем в другом виде
µ(x) − λ Z				K(x, ξ)µ(ξ)d = 2ψ(x),				(7.3)

162

М.А. Греков

Уравнения математической физики

2

∂E(x, ξ)

2

cos(n, r)

где K(x, ξ) = −

=

.

|S1|

∂n

|S1|

rm−1

Легко показать, что λ = −1 является собственным числом. Действительно, для

соответствующего однородного

γ0

(x) + |S1| Z

γ0

(ξ)

∂ν

d = 0.

2

∂E(x, ξ)

Так как Z

∂E(x, ξ)

S

d = −

|

1|

при x , то γ0

= const 6= 0 решение этого

∂ν

2

уравнения. Следовательно, λ = −1 собственное число ядра K(x, ξ).

Тогда должно выполняться равенство

Z

ψ(ξ)d = 0,

(7.4)

которое в силу альтернативы Фредгольма обеспечивает разрешимость уравнения (7.3). Условие (7.4) вытекает из свойств гармонической функции u(x)

Z		∂u		+	(7.5)
				d = 0
		∂n

и является необходимым условием разрешимости задачи Неймана.

Для того, чтобы установить, что условие (7.4) является достаточным для разрешимости задачи Неймана, необходимо показать, что других нетривиальных линейно независимых решений однородного уравнения и союзного с ним нет.

В двумерном случае достаточность условия (7.4) можно установить другим более

простым путем:

Пусть u(x1, x2) искомое решение задачи Неймана в Ω+. Обозначим за v(x1, x2)

функцию, гармонически сопряженную с u(x1, x2). Так как

∂u

и

∂u

непрерывны в Ω+ ,

∂x

∂y

то в силу условий Коши-Римана имеем

dv

∂v dx

∂v dy

∂u dx

∂u dy

ds

=

∂x

ds

+

∂y

ds

= −

∂y

ds

+

∂x

ds

=

∂u dy

∂u dx

∂u

= ∂y dn

+ ∂x dn =

∂n

= ψ(x),

(7.6)

откуда

v(s) = Z0

s

ψ(t)dt + C,

s [0, l],

(7.7)

где l длина кривой .	R
s = 0, s = l, т. е. для
Так как v(0) = C,	v(l) = 0l

выполнения

ψ(t)dt + C, то для непрерывности функции v(s) при

равенства

v(0) = v(l)

163

М.А. Греков	Уравнения математической физики
должно выполняться условие
	Z0 l	ψ(t)dt = 0,	(7.8)

что совпадает с условием (7.4).

Но существование в Ω+ гармонической функции v(x1, x2), удовлетворяющей крае-

вому условию
v| = Z0 s ψ(t)dt + C,	(7.9)

нами уже доказано, так как v(x1, x2) решение задачи D+. Но тогда с точностью до константы легко восстанавливается гармонически сопряженная с v функция u(x1, x2), т.е решение задачи H+. Следовательно, условие (7.4) или (7.8) являются достаточными для разрешимости задачи H+.

§ 8.			Внешняя задача Дирихле
Как уже отмечалось, не любое решение задачи D− может быть представлено в виде
потенциала двойного слоя. Однако решение этой задачи можно искать в виде
1		Z		∂E(x, ξ)	1		Z σ(ξ)d ,	(8.1)
u(x) =			σ(ξ)		d +
	|S1|			∂ν		|S1|(m − 2)|x − x0|m−2

где x0 D+, x D−.

Для любой σ(ξ) C( ) правая часть (8.1) гармоническая функция в D−. Выра-

жение (8.1) приводит к интегральному уравнению:
σ(x) + 2 Z		∂E(x, ξ)	+	1	σ(ξ)d = 2ϕ(x)	(8.2)
		∂ν		|x − x0|m−r

Можно показать [С. Г. Михлин. КМФ. 2002, стр 392], что соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение. Таким образом, решение уравнения (8.2) существует и единственно при любой непрерывной правой части и дается формулой (8.1).

164

М.А. Греков	Уравнения математической физики

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Учебники и учебные пособия

1.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974, 1984.

2.Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976, 1982.

3.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 1976,

1981.

4.Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит. 1967, 2004, 2008.

5.Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 1979.

6.Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения : справочное издание. М. : Наука,

1968.

7.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.

8.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М., 1951.

9.Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз,

1959.

10.Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968, СПб., 2002.

11.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных : учебник. М.: Высшая школа, 1977.

12.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М., 1961.

13.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2, Т. 5. 1965.

14.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1953, 1966, 1972, 1977, 2004.

Задачники.

1.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972, 1980, 2004.

2.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1968,

1975.

3.Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.:

Наука, 1974.

4. Кабриц С.А., Колпак Е.П. Учебное пособие по решению задач математической физики. СПб. : СОЛО, 2012.

165