UMF-BOOK

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Рис. 3.2.

Задача (4.1), (4.4) задача Коши. Из (4.4) находим другую частную производную на кривой Коши l

du

=

dx y=g(x)

или

∂u ∂x y=g

Введем функции

∂u			∂u
∂x	y=g(x)	+	∂y	y=g(x)	· g0(x) = ϕ00 (x)

= ϕ00(x) − ϕ1(x)g0(x) ≡ ψ(x).

(x)

	∂u			∂u
v =		,	w =		.
	∂x			∂y

Тогда уравнение (4.1) равносильно следующей системе

	∂v	= f(x, y) − av − bw − cu,
	∂y
	∂w
		= f(x, y) av		bw	cu,
	∂x		−	−	−
		∂u = w
		∂y

c условиями
	v|y=g(x)

w|y=g(x)

u|y=g(x)

=ψ(x),

=ϕ1(x),

=ϕ0(x).

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Возьмем в прямоугольнике ABCD некоторую точку N, через которую проведем характеристики NP и NQ до пересечения с l. Интегрируя первое и третье уравнения

51

М.А. Греков		Уравнения математической физики
системы (4.7) вдоль QN, а второе по P N, с учетом (4.4), (4.5) получим
	v(x, y) = ψ(x) + Zy			[f(x, y) − av − bw − cu] dy,
		x
		g(x)
		Z
					av		bw		cu] dx, ϕ1(x) = ϕ1(h(y)),		(4.8)
w(x, y) = ϕ1		(x) + [f(x, y)	−			−		−
								y
		h(y)
								Z
		u(x, y) = ϕ0(x) +							wdy.
							g(x)

Тем самым, показано, что если u(x, y) решение уравнения (4.1), удовлетворяющее данным Коши (4.4), то v, w, u удовлетворяют системе интегральных уравнений (4.8).

Обратно: непрерывное решение системы (4.8) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (4.7), а функция u(x, y) удовлетворяет задаче Коши (4.1).

Действительно, из третьего уравнения системы (4.8) следует, что

∂u	= w, u|y=g(x) = ϕ0.	(4.9)
∂y

Кроме того, отсюда, из второго и третьего уравнений системы (4.8), из второго уравнения системы (4.7) и из (4.5) следует

∂x		= ϕ00 (x) − w(x, y)|y=g(x) · g0(x) +			Z	∂x dy		=	ϕ00 (x) − ∂y y=g(x) · g0(x)+
					y
∂u (4.8)3						∂w		(4.9), (4.7)2		∂u
		y			g(x)		y
		Z
+			[f(x, y) − av − bw − cu] dy = ψ(x) + Z					[f(x, y) − av − bw − cu] dy = v.
				(4.5)							(4.8)
	g(x)					g(x)

Следовательно, оба равенства (4.6) выполняются. Из первых равенств систем (4.6) и (4.8) следует, что u(x, y) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.1). Также, из (4.8)2 видим, что u(x, y) удовлетворяет условиям Коши (4.4).

Таким образом, вопрос существования решения задачи Коши сводится к доказательству существования непрерывного решения системы (4.8).

Вопрос. Достаточно ли условия непрерывности решения системы для существования решения задачи Коши?

Решение системы (4.8) ищем методом последовательных приближений. Нулевое приближение:

v0 = ψ(x), w0 = ϕ1(x), u0 = ϕ0(x).

(4.10)

52

М.А. Греков

Уравнения математической физики

n-ное приближение:

vn(x, y) = ψ(x) + Zy

[f(x, y) − avn−1 − bwn−1 − cun−1] dy,

x

g(x)

−

−

−

−

−

−

Z

wn(x, y) = ϕ1(x) +

[f(x, y)

avn 1

bwn 1

cun

1] dx,

(4.11)

y

h(y)

un(x, y) = ϕ0(x) +

wn 1dy,

n = 1, 2, . . .

−

Z

g(x)

Докажем равномерную сходимость последовательностей

v , w

, u

n

в криволиней-

{

n

n

}

ном треугольнике BCD. Имеем

vn+1 − vn = − Zy

[a(vn − vn−1) + b(wn − wn−1) + c(un − un−1)] dy,

x

g(x)

Z

wn

=

[a(vn

vn

1) + b(wn

wn

1) + c(un

un

1)] dx,

(4.12)

wn+1

−

−

−

−

−

−

−

−

y

h(y)

un+1

un =

(wn

wn

1)dy,

n = 1, 2, . . .

−

−

−

Z

g(x)

Покажем, что

v

v

Kn−1A(x + y − x0 − y0)n−1 ,

−

| n

−

n−1| ≤

(n

1)!

n

1

−

n

1

−

(x + y

y0)

−

x0

|

w

−

w

| ≤

K −

A

−

−

,

(4.13)

n

n

1

(n

1)!

n 1 (x + y x0

y0)n−1

−

−

un

un 1

K − A

− −

,

|

−

| ≤

(n

1)!

где

M

max [ a +

b +

c

|

],

K = max(1, M),

A = const.

= MBCD

| |

|

|

|

При n = 1 (4.13) очевидно выполняется, если выбрать A достаточно большое,

так как из непрерывности функций a, b, c, f

и ψ, ϕ0, ϕ1

следует их ограниченность в

замкнутой области и существование конечных значений интегралов от этих функций.

53

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Пусть неравенства (4.13) выполняются. Покажем, что они верны при замене n на n + 1. Из (4.12) следует, что

|

n+1 −

n| ≤ Z

| | | | | |

(n 1)!

≤

y

(x + y − x0 − y0)n−1

v

v

( a + b + c )Kn−1A

dy

g(x)

−

y

≤

KnA

(x + y − x0 − y0)n−1

dy = KnA

(x + y − x0 − y0)n

(x − x0)n

≤

yZ0

(n − 1)!

n!

−

n!

≤ KnA(x + y − x0 − y0)n , n!

так как x ≥ x0, y0 ≤ g(x) ≤ y.

Аналогично неравенство доказывается для |wn+1 − wn| и |un+1 − un|. Из (4.13)

следует абсолютная и равномерная сходимость рядов

∞	∞	∞
X	X	X
v0 +	(vn − vn−1), w0 +	(wn − wn−1), u0 + (un − un−1),
n=1	n=1	n=1

поскольку члены этих рядов по абсолютной величине мажорируются членами степенного равномерно сходящегося ряда

A + A X∞ Kn−1 (x + y − x0 − y0)n−1 = A 1 + eK(x+y−x0−y0) .

n=1

(n − 1)!

Следовательно, в треугольнике BCD существуют предельные функции v, w, u частичных сумм этих рядов vn, wn, un:

vn, v, wn, w, un u.

В силу равномерной сходимости из непрерывности функций vn, wn, un следует непрерывность v, w, u. Переходя в (4.11) к пределу, получим, что v, w, u удовлетворя-

ют системе (4.8). Тем самым, доказано существование решения системы (4.8), которое находится методом последовательных приближений.

4.2Единственность

Пусть существуют два различных непрерывных решения системы (4.8) v1, w1, u1 и v2, w2, u2. Обозначим V = v1 − v2, W = w1 − w2, U = u1 − u2. Тогда V, W, U удовле-

54

М.А. Греков

Уравнения математической физики

творяют однородной системе уравнений

V (x, y) = − Zy

[aV + bW + cU] dy,

x

g(x)

−

Z

W (x, y) =

[aV + bW + cU] dx,

(4.14)

y

h(y)

Z

U(x, y) = W dy.

g(x)

W

V, W, U – непрерывные и ограниченные в

Покажем, что V =

= U = 0. Так как

треугольнике BCD, то существует B, такая, что

|V | ≤ B, |W | ≤ B, |U| ≤ B.

Из (4.14) следует, что

y

|

V (x, y)

| ≤

[ a + b +

c

] Bdy

≤

KB(y

−

y

)

≤

KB

(x + y − x0 − y0)

= B

.

Z | | | | |

|

0

1!

1

g(x)

Аналогично для |W (x, y)|, |U(x, y)|. Метод математической индукции дает

|

V

,

W ,

U

| ≤

KnB

(x + y − x0

− y0)n

,

n.

| |

| |

n!

А так как

Kn(x + y − x0 − y0)n

−→

0,

n!

n

→∞

то V = W = U = 0, следовательно, v1 = v2, w1 = w2, u1 = u2.

4.3Задача Гурса

Найти решение уравнения (4.1), принимающее заданные значения на характеристиках x = x0, y = y0

u|x=x0 ϕ1(y), y0 ≤ y ≤ b,	u|y=y0 ϕ2(x), x0 ≤ x ≤ a.	(4.15)
ϕj C(1), ϕ1(y0) = ϕ2(x0).
Введем функции
v = ∂u/∂x,	w = ∂u/∂y.	(4.16)

55

М.А. Греков		Уравнения математической физики
Тогда (4.1) равносильно системе (4.7). В силу (4.15) и (4.16) из (4.7) следует
	v(x, y) = ϕ20 (x) + Zy [f(x, y) − av − bw − cu] dy,
		y0
		x
		xZ
		0		av		bw		cu] dx,		(4.17)
w(x, y) = ϕ10		(x) + [f(x, y)	−		−		−
		y
		Z
	u(x, y) = ϕ2(x) +		w(x, y)dy.
		y0)

Существование и единственность задачи Гурса доказываются аналогично, путем доказательства существования и единственности системы (4.17) методом последовательных приближений.

§ 5. Метод Римана и формула Римана решения задачи Коши для неоднородного

гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными

Выведем интегральную формулу, выражающую в явном виде искомое решение задачи Коши через начальные данные. Существование решения при этом заранее предполагается.

Вместе с дифференциальным выражением

∂2u

∂u

∂u

(5.1)

L u =

+ a(x, y)

+ b(x, y)

+ c(x, y)u

∂x∂y

∂x

∂y

рассмотрим ему формально сопряженное

∂2u

∂(au)

∂(bu)

(5.2)

M u =

−

−

+ cu,

∂x∂y

∂x

∂y

где a, b C1, c C.

Обозначим за Ω область, ограниченную кривой P Q и двумя характеристиками MP и QM (Рис. 3.2). Тогда границей области будет являться:

= ∂Ω = l QM MP.

Согласно второй формуле Грина

56

М.А. Греков

Уравнения математической физики

=Z

2

v

∂x

ZZΩ (v L u − u M v) dxdy =

(5.3)

−u∂x +buv cos (n, y)+

2

v

∂y

−u∂y + auv cos (n, x) d ,

1

∂u

∂v

1

∂u

∂v

где n внешняя нормаль, интегрирование ведем против часовой стрелки.

Так как

	cos(n, y)d = −dx,				cos(n, x)d = dy,
то		∂x	− v ∂x − 2buv dx + 2Z v				∂y	− u∂y − 2auv dy.		(5.4)
(5.3) = 2Z u
1		∂v		∂u	1		∂u		∂v

Рассмотрим вдоль характеристик QM и MP отдельно каждый интеграл в правой

части (5.4):

Z

Z

1

∂v

∂u

1

P

∂v

∂u

MP u

∂x − bv

2

MP

u∂x − v ∂x − 2buv dx = −2uv M

+

dx,

равен

, т.к.

здесь v

взяли по частям, а интеграл по MQ

0

x = const.

∂x

Z

Z

1

∂u

∂v

1

M

∂v

∂u

v ∂y − u∂y

−

QM u

∂y − av

2

QM

+ 2auv)dy =

2uv Q

dy,

здесь v

взяли по частям, а интеграл по MP равен

0, т.к. y = const.

∂y

Выражения (5.5), (5.6) подставим в (5.4), тогда

− v ∂x − 2buv dx+

(uv)M

= 2 (uv)P +

2 (uv)Q −

2

Zl

u∂x

1

1

1

∂v

∂u

+ v ∂y

− u∂y + 2auv dy + ZQM u

∂y − av dy−

∂u

∂v

∂v

− ZMP u

∂v

− bv dx + ZZΩ (v L u − u M v) dxdy.

∂x

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

Lu = f(x, y),

ипусть u его решение, удовлетворяющее условиям Коши

	∂u
u|y=g(x) = ϕ0(x);	∂y	y=g(x)	= ϕ1(x),

а функция v решение уравнения

M v = 0,

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

57

М.А. Греков Уравнения математической физики

удовлетворяющая условиям

			y						x	b(z, y0)dz .
v|x=x0 = exp Zy0					a(x0, z)dz , v|y=y0			= exp Zx0			(5.11)
(5.10), (5.11) задача Гурса. Функция v зависит от выбора точки (x0, y0) и,
следовательно, v = v(x, y, x0, y0).
Из (5.11) имеем:
		∂v
			∂v
		∂y		x=x0		= a(x0, y)v(x0, y, x0, y0),					(5.12)
						= b(x, y )v(x, y , x , y .)					(5.13)
			∂x y=y0				0	0 0 0
Кроме того, из (5.11)	следует, что						v(x0, y0, x0	, y0) = v(M) = 1.

Определение 1. Решение v = v(x, y, x0, y0) однородного сопряженного уравне-

ния (5.10), удовлетворяющее условиям (5.11), называется функцией Римана.

Существование и единственность функции Римана следует из существования и единственности решения задачи Гурса.

Функция Римана не зависит ни от данных Коши на l, ни от вида этой кривой. Для нее точка (x, y) роль аргумента, а (x0, y0) роль параметра.

Следующие функции в равенстве (5.7) известны

u|l = ϕ0(x),
	∂u
	∂y		l
			= ϕ1	(x),
			l
	∂u		= ϕ00	(x) ϕ1(x)g0 (x).
	∂y				−
найдено, то правая часть в (5.7) известная функция.
Таким образом, если v

Тогда, с учетом уравнений (5.8), (5.10) и условий (5.11) из (5.7) приходим к формуле

Римана

, y0) = 2

(uv)P + 2

(uv)Q − 2

Zl

u∂x

− v ∂x − 2buv dx+

u(x0

1

1

1

∂v

∂u

+ v

∂u

− u

∂v

+ 2auv dy + ZZΩ vfdxdy.

(5.14)

∂y

∂y

Эта формула дает представление решения неоднородного уравнения (5.8) при произвольных начальных данных, заданных на произвольной нехарактеристической кривой l, через функцию Римана v(x, y, x0, y0).

Из построения формулы Римана следует, что если задача Коши имеет решение, то оно единственно. Из (5.14) следует, что при малом изменении данных Коши на l,

решение задачи изменится на сколь угодно малую величину, т.е. решение задачи Коши непрерывно по начальным данным.

58

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Каждая характеристика QM и MP отделяет область, где решение зависит от начальных данных на l от остальной части плоскости. Пересечение кривой l с каждой

характеристикой не более, чем в одной точке существенно. При невыполнении этого условия задача Коши, вообще говоря, неразрешима, т.к. решение не единственно, что также следует из формулы Римана.

§ 6. Пример применения метода Римана

Найдем решение следующей задачи Коши:

x	2 ∂2u			− y	2 ∂2u					= 0,
		∂x2				∂y2
							∂u
u|y=1 = f(x);							∂y	y=1			= F (x),

y = 1 кривая Коши, ∂y∂ производная по нормали к этой кривой.

Уравнение характеристик:

x2 ∂ω 2 − y2 ∂ω 2 = 0. ∂x ∂y

Соответствующее дифференциальное уравнение:

x2dy2 − y2dx2 = 0 xdy = ±ydx.

Интегрируя, находим

ln y = ± ln x + ln C

(6.1)

(6.2)

y/x = C, xy = C общие интегралы, или характеристики.

Таким образом, решением уравнения характеристик будут функции: ω = y/x, ω =

xy.

Введем замену переменных так, чтобы характеристики были осями новой системы

координат
y/x = η,					xy = ξ,		(6.3)
Тогда (6.1) приводится к каноническому виду
	∂2u		1 ∂u				(6.4)
		−				= 0.
	∂ξ∂η		2ξ ∂η

Очевидно, что y = 1 не является характеристикой и пересекается с прямыми y = Cx и гиперболами y = C/x не более одного раза. Из (6.3) следует, что прямая y = 1 в новых переменных ξ, η имеет вид гиперболы

ξη = 1.

(6.5)

59

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Рис. 3.3.

Построим решение задачи Коши для кривой (6.5) при ξ > 0, η > 0 (Рис. 3.3), считая, что x > 0, y > 0

Из (6.3) получим

x = s

ξ

p

,

y =

ξη,

ξη=1 =

η

+ 2ξ ∂y

ξη=1 ,

∂ξ

2 ∂x √ξη +

2 ∂y rξ

ξη=1 =

2 ∂x

∂u

1 ∂u

1

1 ∂u

η

1 ∂u

1 ∂u

∂u

ξ

2

ξ ∂u

ξη=1 = −

∂u

ξη=1

∂η

2 ∂x +

2 ∂y

На основании (6.2) имеем

∂ξ

ξη=1 = 2f (ξ) + 2ξ F (ξ) ξη=1

∂u

1

0

1

∂u

ξ

2

ξ

0

(ξ) +

∂η

ξη=1 = − 2 f

2F (ξ) ξη=1 ,

т.к. x = ξ при ξη = 1 и u

|ξη

= f(ξ).

Полагая в формуле Римана a = 0,

b = −1/2ξ,

f = 0, получим

∂η dη .

u(ξ0, η0)= 2(uv)P

+ 2(uv)Q −

2

∂ξ

−

∂ξ +

ξ

+

∂η − u

1

1

1

u

∂v

v

∂u

uv

dξ

v

∂u

∂v

(6.6)

ξηZ=1

Найдем теперь функцию Римана v(ξ, η, ξ0, η0). Имеем уравнение, сопряженное

с (6.4)

∂2v

+

1 ∂v

= 0,

(6.7)

∂ξ∂η

2ξ ∂η

60