UMF-BOOK

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Согласно формуле Гаусса–Остроградского

∂u

u

1

ZDZr

u

I

=

+

4ϕdξ1dξ2dξ3 =

+

,

∂t

t

4πat

t

4πat

где Dr шар с центром в точке (x1, x2, x3) и радиусом r = at. Отсюда находим

∂2u

u 1 u

I

I

1 ∂I

1 ∂I

= −

+

+

−

+

=

,

(9.7)

∂t2

t2

t

t

4πat

4πat2

4πat ∂t

4πat

∂t

Покажем, что

∂I

= a ZSatZ

4ϕdSat,

(9.8)

∂t

Действительно, переходя в I к сферическим координатам ρ, θ, ψ с центром в точке

x, получим

at

2π π

I = Z0

Z0

Z0

4ϕρ2 sin θdρdψdθ.

Отсюда

π

2π

∂I

= a Z0

Z0

(4ϕ)|ρ=at a2t2 sin θdθdψ = a ZSatZ

4ϕdSat.

∂t

Сравнивая (9.5), (9.7) и (9.8), приходим к выводу, что функция (9.3) удовлетворяет

(9.1) для ϕ C2. Из (9.4), (9.6) следует, что

∂u

u|t=0 = 0,

∂t

t=0 = ϕ(x1

, x2, x3),

(9.9)

1

ZZ

так как

4π

dS1

= 1.

S1

Если u решение (9.1) при условиях (9.9), то функция (достаточно продифферен-

цировать (9.1)) v(x1, x2, x3, t) = ∂u/∂t тоже решение (9.1) с начальными данными

v|t=0

= ϕ(x1, x2, x3),

∂v

t=0

=

∂2u

= 0,

(9.10)

∂t

∂t2 = a 4u|t=0

t

так как

u

ϕ

dS

, что следует из (9.4). Взяв в (9.9) ϕ

ϕ

, а в (9.10) ϕ

ϕ

и

4

= 4π

4

=

=

0

ξ

1

1

S1

RR

сложив оба решения, получим решение задачи (9.1), (9.2) в виде формулы Пуассона

u(x1, x2, x3, t) =

t ∂

ZSatZ

ϕ0(

ξ

1, ξ2, ξ3)

dSat +

t

ZSatZ

ϕ1(

ξ

1

, ξ2, ξ3)

dSat,

(9.11)

4πa ∂t

r

4πa

r

где ϕ0, ϕ1 – начальные данные.

Формула (9.11) отражает физическую картину распространения волны в R3 в слу-

чае однородного волнового уравнения.

71

М.А. Греков	Уравнения математической физики

§ 10. Решение неоднородного волнового уравнения. Запаздывающий потенциал

∂2u

− a24u = g(x1

, x2, x3, t),

(10.1)

∂t2

∂u

u|t=0 = 0,

∂t

t=0 = 0.

(10.2)

Для решения задачи (10.1), (10.2)

рассмотрим задачу

∂2v

− a24v = 0,

(10.3)

∂t2

∂v

v|t=τ

= 0,

∂t

t=τ

= g(x1, x2, x3, τ),

(10.4)

t

−

τ

, затем применим формулу

замену:

где τ некоторый параметр. Сделаем

t1 =

Пуассона и обратную замену, получим:

v(x1, x2, x3, t, τ) =

=

t − τ

g(x

+ n a(t

τ), x

+ n a(t

τ), x

+ n a(t

τ), τ)dS

,

(10.5)

4π ZZ

−

−

−

1

1

2

2

3

3

1

S1

Покажем, что функция

u(x, t) = Z0 t

v(x1, x2, x3, t, τ)dτ −

(10.6)

есть решение задачи (10.1), (10.2), если v решение (10.3), (10.4).

Физический смысл (10.6) состоит в том, что решение неоднородного уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям (10.2), является суммой импульсов v(x1, x2, x3, t, τ)dτ, происходящих от наличия свободного члена и определяемых уравне-

ниями (10.3), (10.4)
Из (10.6)следует, что
4u = Z0 t	4vdτ.	(10.7)

Поскольку оператор Лапласа применяется к переменной x и так как u, v C2,

можем дифференцировать под знаком интеграла.

72

М.А. Греков Уравнения математической физики

Принимая во внимание (10.4), получим

t

t

∂u

= v(x1, x2, x3, t, τ)|τ=t + Z0

∂v(x1, x2, x3, t, τ)

dτ = Z0

∂v(x , x2, x3

, t, τ)

1

dτ

(10.8)

∂t

∂t

∂t

0

t

0

t

∂2u

∂v

∂2v

∂2v

∂t2

=

∂t

τ=t + Z

∂t2

dτ = g(x, t) + Z

∂t2

dτ

(10.9)

Подставим (10.7), (10.9) в

(10.1), тогда на основании (10.3) получим тождество.

Из (10.7), (10.3) и (10.9) следует, что u удовлетворяет уравнению (10.1). Краевые усло-

вия (10.2) вытекают из (10.6), (10.8). Подставим (10.5) в (10.6), тогда

t

1

u(x, t) = 4π Z (t − τ) ZZ g(x1 + n1a(t − τ), x2 + n2a(t − τ),

0

S1

dτ.

x3 + n3a(t − τ), τ)dS1

Введем вместо τ новую переменную интегрирования

r = a(t − τ),

r

dr

, и

тогда t − τ = a,

dτ = − a

at

2π

π

r )

1

Z0

Z0

Z0

g(x + nr, t

u(x, t) =

− a

r2 sin θdθdψdr.

4πa2

r

Поскольку τ (0, t) то а r (at, 0), поэтому перед интегралом знак ¾+¿.

Введя вместо сферических координат прямоугольные ξj = xj + rnj , с учетом

n12 + n22 + n32 = 1,

|n¯| = 1

получим

Окончательноr = |x − ξ| = p

.

(x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2 + (x3 − ξ3)2

u(x, t) =

1

g(ξ, t − r/a)

dξ

dξ

dξ

,

ξ

D

,

(10.10)

4πa2 ZDZatZ

r

1

2

3

at

Dat шар.

Определение 1. Выражение (10.10) называется запаздывающим потенциалом (для сферических волн).

73

М.А. Греков Уравнения математической физики

Значение функции g определяется в момент времени t − r/a, предшествующий моменту t на промежуток времени, необходимый для прохождения процесса от точки ξ до x при скорости распространения a. То есть в момент времени t возмущение в точке x определяется значением импульсов в момент времени t − r/a в точке ξ Dat.

Аналогично в двумерном случае решением уравнения

∂2u

∂2u

∂2u

− a2

+

= g(x1, x2, t)

(10.11)

∂t2

∂x12

∂x22

с нулевыми начальными данными

u|t=0 = 0,

∂u

t=0 = 0

(10.12)

∂t

будет

dτ,

u(x, t) =

1

t

g(ξ1, ξ2, τ)dξ1dξ2

(10.13)

2πa Z

ZZ

a2(t − τ)2

− ρ2

p

0ρ≤a(t−τ)

где ρ2 = (x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2 = |x − ξ|2. Решение (10.13) описывает цилиндрические

волны.

	И, наконец, для уравнения колебания струны
		∂2u				2 ∂2u				(10.14)
					− a			= g(x, t)
		∂t2					∂x2
	решение					t	x+a(t−τ)g(ξ, τ)dξ dτ
	u(x, t) =		1		Z					(10.15)
			2a
							Z
					0		x−a(t−τ)

удовлетворяет условиям (10.12).

§ 11. Решение волнового уравнения для точечного источника

Рассмотрим случай, когда функция g(x, t) описывает действие точечного источника. Пусть в уравнении (10.1) предыдущего параграфа g(x, t) отлична от нуля только внутри шара Dε с центром в начале координат, радиуса ε. Будем считать, что при ε → 0 для любого фиксированного момента t g(x, t) → ∞ т.е. интенсивность внешней силы

стремится к бесконечности, но

ZZZ

g(x, t)dDε = 4πa2ω(t) < ∞.

(11.1)

Dε

74

М.А. Греков		Уравнения математической физики
Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса шара Dε. При этом g(x, t) =
0, если		|x| = R = q
			x12 + x22 + x32	≥ ε	(11.2)
Можно было бы говорить, что g(x, t) 6= 0 только в одной точке, где она неопреде-
лена. Тогда ее можно представить через δ-функцию
		g(x, t) = f(x, t)δ(x),
и такая функция будет обладать нужным свойством для любой области D, содержащей
точку x, т. е.	Z
		f(x, t)δ(x)dx = f(0, t), x D.

D

Впределе при ε → 0 мы приходим к решению волнового уравнения (10.1) при наличии точечного источника, который начинает действовать в момент t = 0 в начале координат. В (10.10) считаем at > R = |x|.

Всилу (11.2) интегрирование достаточно произвести по шару Dε (вне шара g(x, t) = 0) С учетом (11.2) получим, r = |x − ξ| → R при ε → 0, тогда

	1		R		(11.3)
u(x, t) =		ω(t −		),
	R		a

где at > R, причем решение имеет смысл только в этом случае, т.к. оно должно быть ненулевым. Можно доказать (самостоятельно), что если функция ω C2, то (11.3)

является решением (10.1), (10.2).

Функция (11.3) имеет особенность в начале координат (при R → 0) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся со скоростью a от начала координат. Физический смысл состоит в том, что в момент t − R/a возникает импульс, который в момент

t приходит в точку x.

= 0 при |x| =

p

В случае уравнения (10.13) точно также

считаем, что g(x, t)

(x12 + x22)

≥ ε,

g(x, t)dx1dx2 = 2πaω(t),

ZDZε

где Dε - круг с центром в точке 0 радиуса ε. Тогда из (10.14) при ε → 0 получим решение

для точечного источника на плоскости

t−R/a

u(x, t) =

Z

ω(τ)dτ

, at > R.

(11.4)

p

a2(t

−

τ)2

−

R2

0

u(x, t) = 0 при att < R.

Сравнивая (11.3) и (11.4), видим, что воздействие точечного источника на точку x в момент t в первом случае зависит только от отдельного импульса, возникшего в точке x = 0 в момент t − R/a и пришедшего в точку x со скоростью a; а во втором это

75

М.А. Греков Уравнения математической физики

воздействие зависит от суммы импульсов и определяется действием точечного источника за промежуток времени t [0, t − R/a]. Если в некоторый момент времени t0 − R/a точечный источник прекращает действовать, то в первом случае при t > t0 в точке x

наступает покой (ω(t − R/a) = 0 при t > t ), а во втором процесс затухает как функция

! 0

t−RR/a

t−1,т. е. u =

0

Таким образом задачи трехмерного случая и двухмерного не переходят друг в друга.

76

Глава 4

Метод разделения переменных краевых задач

§ 1. Метод разделения переменных для однородных гиперболических уравнений. Собственные числа,

собственные функции и их свойства

Рассмотрим гиперболическое уравнение
		L[u] = ρ		∂2u						(1.1)
				∂t2
L[u] =		∂	Aαβ		∂u		− Au,
		∂xα			∂xβ
		m
	X
A ≥ 0, Aαβ ξαξβ ≥ B		ξj2, α, β =						1, m,	B > 0, x Rm	( )
	j=1

L – линейный дифференциальный оператор второго порядка по пространственным координатам xk; точка x Ω Rm; t переменная времени; ρ(x) > 0 заданная функция, u(x, t) определена на Ω × (0, ∞); Область Ω ограничена кусочно-гладкой поверхностью= ∂Ω; Матрица коэффициентов Aαβ положительно определена.

	Подчиним u(x, t) дополнительным условиям,
	начальным:			∂u	t=0
	u(x, 0) = ϕ0(x),					= ϕ1(x)	(1.2)
				∂t
	и граничному:
		∂u					(1.3)
	γ1Aαβ		cos(n, xα) + γ2u| = 0, t > 0,
		∂xβ

где n вектор внешней нормали к границе . При γ1 = 0 получим первую краевую

задачу, при γ2 = 0 – вторую, при γ1 6= 0,			γ2 6= 0 третью.
Будем искать решение задачи (1.1)–(1.3) в виде
	u(x, t) = Φ(x)Ψ(t).				(1.4)
Представление (1.4) суть метода разделенных переменных. Подставим (1.4)
в (1.1), получим:			Ψ00(t)
	L[Φ]				(1.5)
		=		= −λ,
	ρΦ		Ψ(t)

77

М.А. Греков Уравнения математической физики

где λ = const, так как обе дроби зависят каждая от своей переменной. Получаем два

независимых уравнения
			Ψ00 + λΨ = 0,				(1.6)
		L[Φ] + λρΦ = 0.					(1.7)
Подставив (1.4) в краевые условия (1.3), получим
γ1Aαβ ∂xβ cos(n, xα) + γ2Φ Ψ = 0.
	∂Φ
Так как Ψ не зависит от x, то
		∂Φ
γ1Aαβ		∂xβ		cos(n, xα) + γ2	Φ	= 0.	(1.8)

Определение 1. Задача (1.7), (1.8) задача Штурма Лиувилля. Значения

λ, при которых (1.7), (1.8) имеет нетривиальное решение, называются собственными числами, а соответствующие им нетривиальные решения Φ(x) собственными

функциями задачи Штурма Лиувилля.

Теорема 1.Существует бесконечное множество собственных чисел λn и соответствующих им функций Φn краевой задачи Штурма Лиувилля.

Обозначим через A класс функций, которые:

1)непрерывны в Ω;

2)имеют кусочно-непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка;

3)удовлетворяют краевому условию (1.8).

Очевидно, что собственные функции задачи Штурма – Лиувилля (1.7), (1.8) принадлежат классу A.

Теорема 2. (О разложимости, Стеклова)

Произвольная функция f(x) A разлагается в ряд Фурье по собственным функ-

циям краевой задачи Штурма Лиувилля (1.7), (1.8), абсолютно и равномерно сходящийся в области Ω.

Определение 2. Рядом Фурье функции f(x) по ортогональным функциям Φn, с весом ρ > 0 называется ряд:

X∞

		f(x) = CnΦn(x),		(1.9)
		n=1
где	ZΩ	f(x)ρ(x)Φn(x)dτ, kΦnk2 = ZΩ	ρΦn2 dτ,	(1.10)
Cn = kΦnk2
1

78

М.А. Греков	Уравнения математической физики
	kΦnk2 = Z ρΦn2 dτ,

Ω

dτ неотрицательная мера, определенная в Ω. В частности, для лебеговой меры dτ = dx = dx1dx2 . . . dxm элемент объема Ω. Будем обозначать ее dΩ.

Можно ввести нормировку Φ =			Φn	, тогда получим, что
∞	en		kΦnk
f(x) = n=1 CnΦn,		Cn = CnkΦnk = Z			f(x)ρ(x)Φn(x)dτ.
X f f		e		Ω	f

Можно показать, что при условиях (*) все собственные числа {λn}, которым соот-

ветствуют собственные функции задачи Штурма Лиувилля, неотрицательные. Для

этого умножим (1.7) на Φm, и проинтегрируем. Если m 6= n, то

ρΦnΦm = 0, так как

Ω

это система ортогональных функций с весом ρ. Тогда

∂xα Aαβ

R

− AΦn dΩ =

λn = −kΦnk2 ZΩ

Φn(x)L[Φn]dΩ = −kΦnk2 ZΩ

Φn(x)

∂xβ

1

1

∂

∂Φn

(согласно формуле Гаусса Остроградского)

Z

ΦnAαβ ∂xβ

= −kΦnk2

ZΩ

Aαβ ∂xα ∂xβ

+ AΦn2

dΩ − kΦnk2

cos(n, xα)d

1

∂Φn ∂Φn

1

∂Φn

В силу (*)

• для 1-й краевой задачи: γ1 = 0, γ2 6= 0 : Φn| = 0 Z

= 0 и λn = 0;

•для 2-й краевой задачи: γ1 =6 0, γ2 = 0 : Aαβ

при A = 0 и Φn = const, в частности, Φn = 1)

•для 3-й краевой задачи: γ1 =6 0, γ2 =6 0 : Aαβ

γ1γ2 > 0.

∂Φn
∂xβ		cos(n, xα)	= 0 λn ≥ 0 (λn = 0
	∂Φn			γ2
	∂xβ	cos(n, xα)	= −	γ1	λn ≥ 0 при

Пусть задача Штурма – Лиувилля решена. Тогда для каждого собственного числа λn (λn > 0) уравнение (1.6) имеет решение:

p					p
Ψn(t) = An cos(		λnt) + Bn sin(				λnt).
Учитывая (1.4), можем утверждать, что частными решениями уравнения (1.1),
удовлетворяющими только краевым условиям (1.3), являются функции
p				p
un(x, t) = hAn cos(	λn		t) + Bn sin(		λn		t)i Φn(x).		(1.11)

79

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Определение 3. Физические процессы, описываемые функциями (1.11), принято

называть собственными колебаниями. Их также называют стоячими волнами.

√

Числа λn частоты собственных колебаний, функции Φn(x) формы собственных

колебаний.

Отметим, что частота и форма собственных колебаний не зависят от начальных условий (1.2).

Возьмем теперь сумму частных решений (1.11)

∞
X	p		p
u(x, t) = n=1 hAn cos(		λn	t) + Bn sin(	λn	t)i Φn(x).	(1.12)

Нельзя ли выбрать An и Bn так, чтобы (1.12) было решением задачи (1.1)-(1.3)?

Теорема 3. Непрерывное в Ω × [0, ∞) решение задачи (1.1)-(1.3) представляется в виде ряда (1.12), в котором коэффициенты An и Bn определяются зависимостями

1

ZΩ ρ(x)ϕ0(x)Φn(x)dτ,

1

ZΩ ρ(x)ϕ1(x)Φn(x)dτ.

An =

Bn =

kΦnk2√

(1.13)

kΦnk2

λn

Для доказательства рассмотрим функционал

R[W, Φ] = − ZΩ W L[Φ]dτ

(1.14)

Докажем сначала вспомогательное утверждение для этого функционала

Лемма 1.

Функционал (1.14) симметричен на функциях класса A, т.е.

R[W, Φ] = R[Φ, W ];

Φ, W A.

(1.15)

Доказательство леммы.

∂

∂Φ

R[W, Φ] = − ZΩ

W

Aαβ

− AΦ dΩ =

=

∂xα

∂xβ

ZΩ Aαβ ∂xα ∂xβ + AW Φ dΩ − Z

W Aαβ ∂xβ cos(n, xα)d .

∂W ∂Φ

∂Φ

В первой и во второй задачах интеграл по границе равен 0. В третьей задаче

∂Φ

γ2

Aαβ

cos(n, xα) = −

Φn

∂xβ

γ1

и, таким образом, симметричность доказана.

Упражнение 1. Показать, что γ1γ2 > 0 для краевой задачи о колебании струны

длины l с упругими закреплениями концов
	∂u
	∂x	− hu x=0	= 0,

80