UMF-BOOK

М.А. Греков	Уравнения математической физики
	∂x	+ hu x=l = 0, h > 0.
	∂u

Доказательство теоремы.

Пусть u(x, t) искомое решение. Т.к. для любого t функция u(x, t) непрерывна в Ω и удовлетворяет краевым условиям (1.14), то u(x, t) A. Значит, по теореме Стеклова функцию u(x, t) можно представить в виде ряда Фурье:

∞

X

u(x, t) =

Ψn(t)Φn(x),

n=1

где

1

ZΩ

Ψn(t) =

ρ(x)u(x, t)Φn(x)dτ.

kΦnk2

Используя равенство

L[Φn] + λnρΦn = 0,

запишем (1.17) в виде

1

ZΩ uL[Φn]dτ =

R[u, Φn]

Ψn(t) = −

.

λnkΦnk2

λnkΦnk2

Согласно лемме, имеем

R[Φn, u]

1

ZΩ Φn(x)L[u]dτ.

Ψn(t) =

= −

λnkΦnk2

λnkΦnk2

Учитывая исходное уравнение (1.1), из (1.18), получим

1

ZΩ ρ(x)Φn(x)

∂2u

Ψn(t) = −

dτ.

λnkΦnk2

∂t2

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Сравнивая с (1.17), приходим к уравнению, которому должна удовлетворять функ-

ция Ψn(t)

Ψ00n + λnΨn = 0.

Его решения могут быть записаны в виде:

pp

Ψn(t) = An cos( λnt) + Bn sin( λnt),

√

где An = Ψn(0), Bn λn = Ψ0n(0). Используя (1.17), получаем выражения (1.13). Что и

требовалось доказать.

81

kΦnk2

М.А. Греков	Уравнения математической физики

§ 2. Основные свойства собственных чисел и собственных функций

Свойство 1. Если Φ собственная функция, отвечающая собственному значению λ, то CΦ (где C = const) собственная функция, отвечающая тому же собственному значению λ.

Свойство 2.	Собственные функции Φi, Φj , отвечающие λi 6= λj, ортогональны в
L2(Ω, ρ) с весом ρ(x), т.е.				ZΩ ρ(x)Φi(x)Φj (x)dτ = 0.
Доказательство. Из L[Φn] = −λnρΦn следует, что
(λi − λj) ZΩ ρ(x)Φi(x)Φj (x)dτ = R[Φj , Φi] − R[Φi, Φj ] = 0.
Свойство 3.	Все собственные числа задачи вещественны.
Доказательство. Следует из свойства 2.
	(λ −		) Z
		λ		ρ(x)Φi(x)Φi(x)dτ = 0 λ = λ.
				Ω
Свойство 4.	Все собственные числа задачи (1.7) (1.8) неотрицательны.

Доказательство. Следует из (1.7), (1.15).

λn = R[Φn, Φn].

Свойство 5. Если Ω0 Ω, то λ0n ≥ λn, т.е. при сужении области определения

решения задачи (1.7 (1.8) собственные числа не уменьшаются.

Доказательство. Пусть λ1 = inf{λn} для первой краевой задачи. Пусть области Ω соответствует класс A (функции удовлетворяют краевому условию на = ∂Ω), а Ω0класс A0.

82

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Рассмотрим Φn0

A0. Для первой краевой задачи

Φn0 |γ0 1 = 0,

где γ0 1 = ∂Ω0, 1 часть границы .

Рассмотрим

n

0,

x Ω \(Ω0

γ0);

Φ00 =

Φ0

,

x

Ω0

,

n

Следовательно, Φn00 A0 (т.к. выполняются граничные условия для Ω0). Обозначим

A0 =

Φ00

, A0

A. Имеем

e

{ n}

e

λ10

=

inf

RΩ0 [Φn, Φn]

=

kΦnkΩ2 0

Φn A0

=

inf

RΩ[Φn, Φn]

inf

RΩ[Φn, Φn]

= λ1.

Φn

Ω2

≥

Φn

Ω2

Φn A0

k

k

Φn A

k

k

e

§3. Дополнительные сведения о собственных числах

исобственных функциях задачи Штурма –

Лиувилля

R

Определение 1. Функция f L2(Ω, ρ), если существует ρ(x)f2(x)dτ < ∞.

Ω

Если функция f непрерывна в Ω, а область Ω конечна, то, очевидно, функция f L2(Ω, ρ). Обратно не всегда верно.)

Определение 2. Система попарно ортогональных в L2(Ω, ρ) функций Φn называется полной в L2(Ω, ρ), если для любой f L2(Ω, ρ) выполняется уравнение

замкнутости

					Ω	∞
						X
				ZΩ	Z	ρ(x)f2(x)dτ = k=1 Ck2kΦkk2,	(3.1)
где Ck =	(f, Φk)	1			ρ(x)f(x)Φk(x)dτ коэффициенты ряда Фурье разложения
		=
	kΦkk2		kΦkk2

функции f(x) по функциям {Φn}. L2(Ω, ρ) пространство функций, суммируемых с квадратом с весом ρ(x).

83

М.А. Греков Уравнения математической физики

Теорема. Достаточный признак полноты {Φn} в L2(Ω, ρ) (без доказательства). Если для любой F (x) C(Ω) и для любого ε > 0 существует линейная комбина-

ция

Xn

	Sn(x) =	αkΦk(x),	(3.2)
		k=1
для которой	ZΩ ρ(x)(F (x) − Sn(x))2dτ < ε,
			(3.3)

то {Φn} полна в L2(Ω, ρ).

Условие (3.3) можно записать в виде

Z

lim ρ(x)(F (x) − Sn(x))2dτ = 0,

n→∞ Ω

Определение 3. Говорят также, что последовательность Sn сходится в среднем к функции F (x).

На самом деле, достаточный признак полноты справедлив не только для непрерывных, но и для кусочно–непрерывных функций, более того, и для функций, которые принадлежат множеству M, всюду плотному в L2(Ω, ρ).

Определение 4. Множество M плотно в L2(Ω, ρ), если для любой f(x) L2 существует {fn}, fn M, что

lim fn = f.

n→∞

Теорема. Система собственных функций краевой задачи Штурма – Лиувилля (1.7) (1.8) полна в L2(Ω, ρ).

Доказательство. Задача Штурма Лиувилля сформулирована для уравнения гиперболического типа и оператор L положительно определен.

Возьмем функцию f(x) C(Ω). Тогда для любого ε > 0 существует g(x) A,

такая, что	ZΩ	ρ(x)(f(x) − g(x))2dΩ < 4		,	(3.4)
			ε

Здесь использовано без доказательства, что множество функций класса A всюду плотно в L2(Ω, ρ). Можно доказать (см. С.Г.Михлин. Вариационные методы...), что множество C0∞(Ω) множество бесконечно дифференцируемых в Ω функций, обращающихся в 0 в некоторой (своей для каждой функции) окрестности = ∂Ω плотно в

L2(Ω, ρ).

Для функции g(x) справедливо представление рядом Фурье

X∞

g(x) = CkΦk(x)	(3.5)
k=1

84

М.А. Греков Уравнения математической физики

по собственным функциям задачи (1.7) (1.8). Этот ряд равномерно сходятся в Ω, то есть для любого ε1 > 0 существует такой номер N(ε1), что для любого n > N

			X
		g −	n	CkΦk		< ε1					(3.6)
			k=1
Покажем, что
		ρ(x) f(x) −		n	CkΦk!2dΩ < ε						(3.7)
		Ω		X
		Z		k=1
Тогда, согласно достаточному признаку полноты, {Φn} полно в L2(Ω, ρ).
Очевидно,
Ω	ρ f − n	CkΦk!2dΩ = ρ f − g + g − n						CkΦk!2dΩ ≤
	X		Ω				X
Z	k=1		Z				k=1
≤ 2	ρ (f − g)2dΩ + 2 ρ		g −			CkΦk! dΩ <			+ 2ε12	ρdΩ.	(3.8)
								2
	Z	Z		k=1		2			Z
				n				ε
				X
	Ω	Ω							Ω
В (3.8) использовано неравенство 2AB ≤ A2 + B2. Таким образом, чтобы выпол-
нялось нужное нам неравенство (3.7), ε1 можно взять, например, такой
		2ε12 =		ε			.
				Z
				2	ρdΩ

Ω

Теорема (без док.). Об интегрировании ряда функций. Если система попарно ортогональных функций {Φn} полна в L2(Ω, ρ), то ряд Фурье для любой f(x) L2(Ω, ρ) можно почленно интегрировать, независимо от того, сходится этот интеграл или расходится, т.е. для любой подобласти Ω0 Ω справедливо равенство

Ω	∞	Ω
	X
Z0	f(x)dτ = k=1 Cn	Z0	Φn(x)dΩ.

85

М.А. Греков	Уравнения математической физики

§ 4. Задача о свободных колебаниях прямоугольной мембраны

Рассмотрим однородную изотропную мембрану 0 < x < a, 0 < y < b, с закреплен-

ными краями. Малые колебаний мембраны описываются уравнением

∂2u

− c24u = 0,

(4.1)

∂t2

где 4 =

∂2

∂2

2

T0

равномерное натяжение.

+

,

c

=

, T0

∂x2

∂y2

ρ

Граничные условия:

u|x=0,a = u|y=0,b = 0.

(4.2)

Начальные условия:

u(x, y, 0) = ϕ0(x, y), ut0 (x, y, 0) = ϕ1(x, y).

(4.3)

Получили смешанную задачу. Решение ищем методом Фурье (разделения переменных)

u = Φ(x, y)T (t).

(4.4)

Вообще, метод Фурье хорошо работает в том случае, когда граница области совпадает с координатными линиями, например, с прямыми, параллельными координатным осям. Если бы границей области являлась окружность, задачу нужно было бы рассматривать в полярной системе координат. Если граница сложная, то нужно постараться найти систему координат, где хотя бы одна координатная линия совпадала бы с границей.

Подставим (4.4) в (4.1). Тогда

	T 00	=	4Φ	=	λ,
	c2T		Φ
					−

где λ = const.

Отсюда приходим к уравнению для Φ

4Φ + λΦ = 0,

(4.5)

а из (4.3) и (4.4) получаем граничные условия

Φ(0, y) = Φ(a, y) = 0,

(4.6)

Φ(x, 0) = Φ(x, b) = 0,

Аналогично приходим к уравнению для функции T

T 00 + c2λT = 0

(4.7)

86

М.А. Греков	Уравнения математической физики
Решение задачи (4.5), (4.6) будем искать в виде:
	Φ(x, y) = X(x)Y (y),						(4.8)
После подстановки (4.8) в (4.5) получаем
		X00	+		Y 00	+ λ = 0.
		X			Y
X00	λ − α = β. Тогда предыдущее уравнение сводится к следу-
Обозначим X = −α,
ющим двум
		X00 + αX = 0,					(4.9)
		Y 00		+ βY = 0,			(4.10)
К (4.9), (4.10) добавим краевые условия
		X(a) = X(0) = 0,					(4.11)
		Y (b) = Y (0) = 0,					(4.12)

Задачи (4.9), (4.11) и (4.10), (4.12) две задачи Штурма – Лиувилля. Решение задачи (4.9), (4.11) имеет вид

Xn(x) = A cos √αnx + B sin √αnx.

Подставив его в (4.11), находим, что A = 0. Постоянная B =6 0, так как ищем нетривиальное решение. Возьмем B = 1. Тогда

Xn(x) = sin √

x,

√

=

nπ

, n = 1, 2, . . .

(4.13)

αn

αn

a

Аналогично, решением задачи (4.10), (4.12) является функция

kπ

Yk(x) = sin pβky,

pβk =

,

k = 1, 2, . . .

b

Следовательно

a2

+ b2

,

λnk = βk + αn = π2

n, k = 1, 2, . . .

(4.14)

n2

k2

и

nπx

kπy

Φnk(x, y) = sin

sin

.

a

b

Для каждого λnk из (4.7) получим:

λnkt + Dnk sin c λnkt

(4.15)

Tnk(x, y) = Cnk cos c

Окончательно

∞

p

∞

p

X

X

(4.16)

u(x, y, t) =

unk(x, y, t) =

Tnk(t)Φnk(x, y).

n,k=1

n,k=1

87

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Если ряд (4.16) и ряды, полученные двукратным дифференцированием, равномерно сходятся, то (4.16) удовлетворяет уравнению (4.1) и краевым условиям (4.2).

Умножив (4.16) на Φml(x, y), получим при t = 0

a

b

Cnk(x, y) =

1

Z0

Z0

ϕ0

(ξ, η)Φnk(ξ, η)dξdη.

kΦnkk2

Продифференцировав (4.16) по t, находим

a b

1

Z Z

Dnk(x, y) =

2C√

ϕ1(ξ, η)Φnk(ξ, η)dξdη,

k

Φnk

k

λnk

a

b

0

0

kΦnkk2 = Z Z

Φnk2 (ξ, η)dξdη =

ab

.

4

00

Витоге решение задачи (4.16) принимает вид

		u(x, y, t) = n,k=1 Mnk sin				a sin	b	sin	c λnkt + ϕnk ,
			X						p
			∞		nπx		kπy
				Cnk
где Mnk = pCnk2		+ Dnk2
			, ϕnk = arctg			.
				Dnk

(4.17)

(4.18)

(4.19)

Из (4.19) видим, что колебание мембраны есть сумма бесконечного множества собственных гармонических колебаний типа стоячих волн.

Частота каждого собственного колебания равна

n2

k2

ωnk = cpλnk = cπr

(4.20)

+

,

а период:

a2

b2

Tnk =

2π

=

√

2ab

(4.21)

ωnk

n2b2 + k2a2

Определение 1. Линии, вдоль которых амплитуды собственных колебаний равны нулю, называются узловыми, т.е. линии y = g(x): Φnk(x, g(x)) ≡ 0, если Φnk для

данной частоты единственна.

λ12 = λ21 = 5π2 −

кратные собственные числа. Для них:

Φ12(x, y) = sin πx sin 2πy, Φ21(x, y) = sin 2πx sin πy,

т.е. Φ12 6= Φ21.

88

М.А. Греков	Уравнения математической физики
Пример 16.	Рассмотрим случай квадратной мембраны, т. е. a = b = 1. Тогда
	ωnk = cπ√		, n, k = 1, 2, . . .
		n2 + k2
	min ωnk = ω11 = cπ√					.
				2
Основной тон определяется выражением:
	u11 = M11 sin πx sin πy sin (ω11t + ϕ11) .
В этом случае узловые линии: x = 0, 1; y = 0, 1 края мембраны.
При n = 1, k = 2 или n = 2, k = 1 имеем два обертона:
	u12 = M12 sin πx sin 2πy sin (ω12t + ϕ12) ,
	u21 = M21 sin 2πx sin πy sin (ω21t + ϕ21) ,
	ω12 = ω21 = ω = cπ√						.
					5
Узловые линии для частоты ω определяются из уравнения u12 + u21									= 0, или
αΦ12(x, y) + βΦ21(x, y) = 0. Следовательно,
	α sin πx sin 2πy + β sin 2πx sin πy = 0.
Таким образом, помимо линий x = 0, 1; y = 0, 1, узловыми будут еще и линии,
удовлетворяющие уравнению
	α cos πy + β cos πx = 0.								(4.22)

Это:

α= 0 x = 1/2; β = 0 y = 1/2;

α= β y = 1 − x;

α= −β y = x.

Более сложные узловые линии при той же частоте получим при α =6 ±β, α,β =6 0 согласно (4.22). √

При n = k = 2 имеем единственный тон частоты ω22 = cπ 8, для которого узловые

линии определяются равенством

Φ22(x, y) = sin 2πx sin 2πy = 0,

следовательно, узловыми являются линии

x = 1/2, y = 1/2, x = 0, 1, y = 0, 1.

N

Упражнение 2. Самостоятельно рассмотреть случай, когда n = 1, k = 3 и n = 3, k = 1. Найти узловые линии.

89

М.А. Греков	Уравнения математической физики

§ 5. Метод разделения переменных для неоднородных гиперболических уравнений

Рассмотрим уравнение:

∂2u

L[u] + f(x, t) = ρ

,

x Ω Rm, t ≥ 0,

(5.1)

∂t2

где

∂

∂u

L[u] =

Aαβ

− Au.

∂xα

∂xβ

В частности,

L[u] = r(kru) − qu.

Будем решать задачу для уравнения (5.1) вида

u(x, 0) = 0,

ut0 (x, 0) = 0.

(5.2)

γ1Aαβ ∂xβ cos(n, xα) − γ2u = 0.

(5.3)

∂u

2

C(D), u(x, t)

(D); D =

Решение будем искать в классе функций u(x, t)

C

Ω × [0, t]. Так как u(x, t) принадлежит классу A для любого t, то по теореме Стеклова ее можно представить в виде ряда по собственным функциям {Φn}, соответствующей

однородной задачи

X∞

u(x, t) =			Ψn(t)Φn(x)			(5.4)
	k=1
1		ZΩ				(5.5)
Ψn(t) =			ρu(x, t)Φn(x)dτ.
	kΦnk2
Так как				L[Φn]
						(5.6)
ρΦn(x) = −					,
				λn

где λn собственные значения однородной задачи, то, подставляя (5.6) в (5.5), получим

Ψn(t) = λnkΦnk2 = λnkΦnk2 = −						λnkΦnk2 ZΩ				Φn(x) L[u]dΩ.
		R[u, Φn]			R[Φn, u]	1
Тогда, согласно (5.1), получим:
1			ZΩ			1			ZΩ		(5.7)
Ψn(t) = −				ρuttΦn(x)dΩ +						f(x, y)Φn(x)dΩ,
	λnkΦnk2						λnkΦnk2

90