UMF-BOOK

М.А. Греков	Уравнения математической физики

η = η0 :	v(ξ, η0, ξ0, η0) = exp	−ξ0	2ξ dξ! = q		ξ0
		R
		ξ	1		ξ
		R	0dη! = 1
		η
ξ = ξ0 :	v(ξ0, η, ξ0, η0) = exp	−η0

Функция s

ξ0 v(ξ, η, ξ0, η0) = g(ξ, ξ0) = ξ

(MP ),

(6.8)

(MQ).

(6.9)

удовлетворяет уравнению (6.7) и краевым условиям (6.8). В силу единственности решения задачи Гурса, другого решения нет.

Подставим полученную функцию v в (6.6) и напишем окончательное решение ис-

ходной задачи.

u|P = f(η0−1), u|Q = f(ξ0),

v

= ξ0η0, v

= 1.

v

∂u

∂u

|P

∂up

1 ∂u

|Q

ξη=1=v

∂ξ dξ − v

∂η dη ξη=1= v

∂ξ +

ξ2 ∂η

dξ

2

.

т.к. ξη = 1 и η = 1/ξ, dη =

dξ/ξ

−

Кроме того, на кривой ξη = 1

	F (ξ)					F (ξ)
			dξ =pξ0					dξ,
	ξ					ξ3/2

u∂η = 0, u ∂ξ +

ξ = f(ξ) −

2ξ

+ ξ3

3/2

/2

= 2ξ3/2 f(ξ).

∂v

∂v uv

√ξ0

√ξ0

√ξ0

В результате, равенство (6.6) принимает вид

√

ξ0

√

ξ0 F (ξ)

1

ξ0

f(ξ)

ξ0

u(ξ0, η0) =

f(ξ0) + ξ0η0f(η−1)

dξ +

dξ

(6.10)

Zη0−1

Zη0−1 ξ3/2

2

p

0

− 4

ξ3/2

2

Возвращаясь

к

прежним

переменным

x, y

(ξ

=

xy, η

=

y/x при

замене

ξ0 → ξ, η0 → η), получим искомое решение

x/y

x/y

1

x

f(t)

F (t)

xy

xy

u(x, y) =

f(x · y) + yf(

) +

√

xyZ

dt −

√

xyZ

dt

(6.11)

2

y

4

t3/2

2

t3/2

Знаки изменились, так как поменялись местами пределы интегрирования.

61

М.А. Греков Уравнения математической физики

§ 7.		Волновое уравнение с постоянными
			коэффициентами
Рассмотрим уравнение второго порядка. Пусть x Rm,							n = m + 1.
	∂2u		∂2u		∂u			(7.1)
		− Aαβ(x, t)		+ Aα(x, t)		+ A0	(x, t)u = f(x, t),
	∂t2		∂xα∂xβ		∂xα

где α, β = 1, m.

Определение 1. Уравнение (7.1) называется волновым уравнением, если матрица коэффициентов Aαβ(x, t) положительно определена, т. е. X0AX > 0.

Матрица старших коэффициентов уравнения (7.1):

−A... 11		......	−A... 1n
	−Am1	. . .	−Amn
	0	. . .	0

0

... . (7.2)

0

1

Одно из характеристических чисел этой матрицы равно 1, а остальные совпадают с характеристическими числами матрицы {−Aαβ (x, t)}. Следовательно, все остальные

характеристическими числа матрицы (7.2) отрицательны, и волновое уравнение (7.1) принадлежит типу (m, 1, 0), а именно гиперболическому типу.

Уравнение характеристик:

	∂ω		2	− Aαβ	∂ω ∂ω			= 0	(7.3)
	∂t				∂xα		∂xβ

Уравнение (7.1), как и любое гиперболическое уравнение, обязательно имеет и вещественные характеристики. Заметим, что ω(x, t) ≡ t не является решением уравнения (7.3), а значит, плоскости t ≡ const не являются характеристическими поверхно-

стями уравнения (7.1). Таким образом, на этих плоскостях можно задавать оба данных Коши.

Для простоты будем рассматривать менее общее волновое уравнение при A0 = 0:

∂2u	−	∂	Aαβ	∂u	= f(x, t).	(7.4)
∂t2		∂xα		∂xβ

С физической точки зрения уравнение (7.4) описывает малые колебания среды под действием непрерывно распределенных источников возмущений, интенсивность которых в каждый момент времени и в каждой точке среды пропорциональна функции f(x, t). В общем случае среда неоднородна (Aαβ = Aαβ(x)), неизотропна (матрица Aαβ полностью заполнена и не имеет никакой симметрии) и ее физические свойства меняются с течением времени t (Aαβ = Aαβ (t)). Cреда называться ортотропной, если существуют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (при m = 3).

62

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Если среда однородна и ее физические свойства не зависят от времени, то Aαβ = const, и, следовательно, существует аффинное преобразование координат x1, . . . , xm, переводящее матрицу {Aαβ} в единичную. Тогда приходим к простейшей форме волнового

уравнения

∂2u	− 4u = f1(x, t).	(7.5)
∂t2

К уравнению (7.5) может быть сведено уравнение:

∂2u	− a2 4 u = f2(x, t),	(7.6)
∂t2

если в нем ввести новую переменную t1 = at при a = const.

7.1Смешанная, или начально – краевая задача

В плоскости t = 0 дана конечная область Ω с кусочно–гладкой границей . Задача состоит в нахождении решения волнового уравнения (7.4) в области Q = Ω × (0, ∞) с границей ∂Q при начальных и краевых условиях.

Начальные условия:

∂u

u|t=0 = ϕ0(x),

∂t

t=0

= ϕ1(x).

(7.7)

Существует 3 основных типа краевых

условий:

Aαβ ∂xβ

u|S = ψ(x, t),

S = ∂Q\Ω,

(7.8)

cos(n, xα) S = χ(x, t),

α, β = 1, m

(7.9)

∂u

∂u

S

αβ ∂xβ

α

A

cos(n, x ) + σ(x, t)u

= ω(x, t),

α, β = 1, m

(7.10)

Общее условие для всех трех типов:

γ1(x, t)Aαβ ∂xβ		cos(n, xα) + γ2	(x, t)σ(x, t)u S = g(x, t),	α, β = 1, m			(7.11)
	∂u

Задачу нахождения решения уравнения (7.4) при условиях (7.7) и одном из условий (7.8) (7.10) называют начально – краевой, или смешанной задачей.

Смешанные задачи ставятся также и для других дифференциальных уравнений более общего вида. Могут быть и другие типы краевых условий, отличных от основных.

Частным случаем волнового уравнения является уравнение колебания струны. Смешанная задача для уравнения колебания струны:

∂2u	− a	2 ∂2u			= f(x, t),	(7.12)
∂t2			∂x2

63

М.А. Греков

Уравнения математической физики

u|t=0 = ϕ0(x),

∂t

t=0 = ϕ1(x),

Ω : {x : 0 < x < l},

∂u

∂u

)

x=0, x=l = g(x, t)|x=0, x=l ,

γ1(x, t)∂x

+ γ2(

x, t u

: x = 0, x = l,

S =

(x, t) : x = 0, x = l, t

≥

0

}

.

{

Если γ1 = 0, получим 1-ю задачу, если γ2 = 0, получим 2-ю задачу, и, наконец,

если γ1 =6 0, γ2 =6 0, получим 3-ю задачу.

В частности, при упругом закреплении концов струны, граничные условия имеют

вид
			∂u
			∂x	− h(x)u x=0	= ω1(t),
			∂u
			∂x + h(x)u x=l = ω2(t),
1
где h = const, h > 0, ω , ω2		известные функции. Величина h пропорциональна

жесткости упругого закрепления.

§ 8. Теорема единственности. Область зависимости решения задачи Коши для волнового уравнения

Рассмотрим волновое уравнение

∂2u	− 4u = f(x, t).	(8.1)
∂t2

Задача состоит в нахождении решения уравнения (8.1), удовлетворяющего дляx Rm и t > 0 начальным условиям:

		∂u
u|t=0 = ϕ0(x),		∂t	t=0	= ϕ1(x).	(8.2)
Важным инструментом исследования и	решения задачи Коши (8.1), (8.2) является

характеристический конус. Возьмем точку (x0, t0) и рассмотрим поверхность S:

t0 − t = r,

(8.3)

где r = |x − x0|. При t ≤ t0 поверхность S это нижняя часть поверхности конуса с вершиной в точке (x0, t0) и осью, параллельной оси Ot.

Покажем, что поверхность (8.3) характеристическая для уравнения (8.1). Действительно, положим

ω(x, t) = t0 − t − r.

64

М.А. Греков

Уравнения математической физики

Тогда уравнение (8.3) имеет вид

ω(x, t) = 0.

Уравнение характеристик для уравнения (8.1):

∂ω

2

X

∂ω

2

m

∂t

− k=1

∂xk

= 0

(8.4)

В данном случае:

∂ω

= 1,

∂ω

=

∂r

=

−

xk − x0k

,

∂t

−

∂xk

−∂xk

r

так как r2 =

m

2

. Здесь x0k

–– k-ая координата точки x0.

k=1 (xk − x0k )

Тогда

имеем:

P

m

m

∂ω 2

∂ω

2

X

1

X

∂t

− k=1

∂xk

= 1 −

r2

k=1 (xk − x0k )2 = 0.

Откуда и следует, что SK характеристическая поверхность уравнения (8.1). Рассмот-

рим нормаль к этой поверхности n.

Из дифференциальной геометрии следует:

∂xm

n = 5ω =

∂t

,

∂x1 , . . . ,

∂ω

∂ω

∂ω

| 5 ω|

| 5 ω|

∂ω

∂ω

1

π

∂t

∂t

cos(n, t) = n· et =

= −

=

√

= cos

,

(8.5)

ω

s

4

2

m

2

2

| 5

|

P

∂ω

∂ω

− k=1

∂t

∂xk

где n внешняя нормаль к поверхности (8.3). Знак ¾−¿ взят исходя из того, что угол острый, а значит cos(n, t) > 0. Из (8.5), в частности, следует, что

Xm cos 2(n, xk) = 1 − cos2(n, t) = 12,

k=1

так как сумма направляющих косинусов равна 1.

Теорема. O единственности решения задачи Коши.

Пусть поставлены две задачи Коши:					t=0 = ϕ1(x),
	∂t2 − 4u = f(x, t),		u|t=0 = ϕ0(x),	∂t
	∂2u			∂u

(8.6)

(8.7)

65

М.А. Греков		Уравнения математической физики
	∂t2	− 4v = g(x, t),	v|t=0 = ψ0(x),		∂t	t=0 = ψ1(x).		(8.8)
	∂2v				∂v
Обозначим область, ограниченную поверхностью				конуса S и плоскостью t				= 0

через D. Пусть в характеристическом конусе D : |x − x0| ≤ t0 − t с вершиной в точке

(x0, t0) совпадают свободные члены: f(x, t) = g(x, t), а в шаре B : |x − x0| ≤ t0, который конус D вырезает из пространства t = 0 соответственно, совпадают функции

ϕ0(x) = ψ0(x), ϕ1(x) = ψ1(x).

Тогда, если обе задачи имеют решения, непрерывные вместе со своими производными первых двух порядков, то эти решения совпадают в D (внутри и на границе) при t ≥ 0.

Доказательство. Рассмотрим функцию w(x, t) = u(x, t) − v(x, t), где u, v ре-

шения задач Коши. Тогда в D:
			∂2w		− 4w = 0,				(8.9)
			∂t2
						∂w
		w|t=0 = 0,				∂t	t=0	= 0.	(8.10)

Рис. 3.4.

Возьмем произвольную точку (˜x, t˜) D и построим новый характеристический

конус

e : |˜ − | ≤

˜

t

t.˜

D : |x˜ − x| ≤ t − t,

≤

e

B

x

x

t,˜

e

∂t

по D,

верны условия (8.10).

Очевидно, что B B.

Отсюда следует, что в шаре

B

e

Умножим (8.9) на

∂w

и проинтегрируем

приняв во внимание, что

2

∂

∂w

2

∂w

∂ w

1

e

=

,

∂t

∂t2

2 ∂t

∂t

66

М.А. Греков

Уравнения математической физики

2

∂w

∂2w

∂

∂w ∂w

1 ∂

∂w

=

−

∂t

∂xk2

∂xk

∂t

∂xk

2

∂t

∂xk

Применив форму Гаусса – Остроградского, получаем

∂w

∂2w

Z

− 4w dxdt =

∂t

∂t2

e

= Z (" ∂t

+ k=1

D

∂t ∂xk cos(n, xk))d = 0,

∂xk # cos(n, t) − 2 k=1

(8.11)

∂w

2

m

∂w

2

m

∂w ∂w

X

X

e

e

S

e

B : w = 0,

= 0, то,

e

e

∂t

e

e

здесь d

элемент поверхности

∂D = = S B.

Так как в

e

∂w

дифференцируя первое тождество, получаем

∂w

также, что

= 0,

k = 1, m в шаре B. Тогда в (8.11) остается интеграл только по

∂xk

e

боковой поверхности конуса.

1

Умножим (8.11) на cos(n, t) =

√

и внесем под знак интеграла. Учитывая равен-

2

kP

m

cos2(n, xk) = 1/2, получим

ство:

=1

∂w

2

m

∂2w

2

m

∂w ∂w

cos2

X

cos2(n, t)

X

e

S

e

(n, t) +

2

Z ( ∂t

k=1 ∂xk2

−

k=1

∂t ∂xk

)

∂w 2

m

m

∂2w 2

m

∂w ∂w

X

X

X

e

S

e

cos2(n, xk)+

cos2(n, t)

2

Z ( ∂t

k=1

k=1

∂xk2

−

k=1 ∂t ∂xk

)

S

m

2

X

∂w

∂w

e

e

Z

k=1 ∂t cos(n, xk) − ∂xk cos(n, t) dS = 0.

(8.12)

Значит, на S выполняются соотношения

e ∂w

∂w

cos(n, xk) −

cos(n, t) ≡ 0,

k = 1, n

∂t

∂xk

∂w

∂w

∂xk

∂t

=

cos(n, t)

cos(n, xk)

rw k n

˜

rw перпендикулярен образующей конуса, т. е. rw l. Таким образом:

∂w	= P roj˜lrw = 0.
˜
∂l

67

М.А. Греков			Уравнения математической физики
							˜			˜	в шаре
	Это значит, что w = const вдоль любой l. В частности, w(˜x, t) = w(˜x, 0) = 0
B по условию (8.10), а		˜	произвольная точка в D.
e	Тогда	(˜x, t)	w(x, t)		≡	0,	(x, t)		D.
	Из теоремы вытекает, что значение решения u(x0, t0) определяется только значе-
ниями начальных функций в шаре B : |x − x0| ≤ t0
	Определение 1.	Областью зависимости для точки (x0, t0) называется то

множество точек плоскости t = 0, на котором достаточно знать значения начальных функций ϕ0(x), ϕ1(x), чтобы определить u(x0, t0).

Таким образом, за область зависимости можно взять шар B. В действительности, для нечетного m > 1 областью зависимости является сфера ∂B, т. е. сфера |x − x0| = t0.

Для уравнения

∂2w − a2 4 w = 0 ∂t2

в общем случае шар B : |x − x0| ≤ at0.

8.1Явление распространения волн

Из теоремы единственности, т.е. из факта существования области зависимости и из вида этой области вытекают некоторые следствия физического характера.

Рассмотрим однородное волновое уравнение и задачу Коши для него:

			∂2u			− a2 4 u = 0,		u|t=0 = ϕ0(x),
			∂t2
					∂u
					∂t		t = 0 = ϕ1(x),		x Rm,
Пусть ϕ0(x)	≡	ϕ1(x)		≡		0			Rm. Если t = 0, то u(x0	, 0) = 0	по
							вне области D

условию. Пусть t = t0 < δ/a, где δ минимальное расстояние от x0 до ∂D. Областью зависимости для точки x0 в момент t = t0 является шар радиуса at0. Т.к. ϕ0(x) ≡ ϕ1(x) ≡

0 в этом шаре, то u(x0, t0) = 0, если t0 < δ/a.

Поставим вопрос: дан момент t = t0, какова в этот момент область покоя и область возмущения? Огибающая t0 всех сфер радиуса at0 с центром на границе = ∂D

(Рис. 3.5) отделяет область покоя от области возмущения.

Определение 2. Поверхность t0 называется передним фронтом волны.

Волной называется процесс распространения возмущения.

Пусть δ = min ρ(x0, ); d = max ρ(x0, ), тогда t = t0 = δ/a – момент прохождения переднего фронта волны через x0, а t = t1 = d/a – заднего фронта, t < t0, t > t1 время покоя. После прохождения волны точка x0 либо вернется в свое первоначальное

положение, либо зафиксируется с полученным отклонением.

68

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Рис. 3.5.

§ 9. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения

Выведем интегральную формулу для решения волнового уравнения:

∂2u

− a2 4 u = 0,

∂t2

где 4u =

∂2u

+

∂2u

+

∂2u

, x R3, удовлетворяющего начальным условиям

∂x12

∂x22

∂x32

∂u

u|t=0

= ϕ0(x),

∂t

t=0

= ϕ1(x),

(9.1)

(9.2)

Считаем, что ϕ0(x) C3(R3), ϕ1(x) C2(R3). Мы накладываем более жесткие

условия на начальные данные для того, чтобы формула Пуассона была корректной, хотя решение задачи Коши существует и при менее жестких условиях.

Покажем сначала, что интеграл
u(x, t) =	1	SZat	ϕ(ξ)	dSat	(9.3)
	4πa		r

является решением уравнения (9.1), где Sat сфера радиуса r = at = |x − ξ| (Рис. 3.6), с центром в точке x, ϕ(ξ) произвольная функция. Заметим, что координаты точки ξ Sat определяются формулами

ξ = x + rn

ξ1 = x1 + n1at, ξ2 = x2 + n2at, ξ3 = x3 + n3at,

где ni - направляющие косинусы вектора нормали сферы Sat или компоненты единич-

ного вектора нормали n:

n1

n2 n3

= sin θ cos ψ,	θ [0, π], ψ [0, 2π]
= sin θ sin ψ,
= cos θ,

69

М.А. Греков	Уравнения математической физики

Когда точка ξ движется, описывая сферу Sat, точка n описывает сферу S1 с цен-

тром в начале координат.

Обозначим dl1 элемент длины параллели, dl2 элемент длины меридиана на сфере Sat. Тогда

dl1 = r1dψ, r1 = r sin θ, dl2 = rdθ,

Рис. 3.6.

dSat = dl1dl2 = r2 sin θdθdψ = r2dS1.

Интеграл (9.3) принимает вид

u(x1, x2, x3, t) =

t

ZZ

ϕ(x1 + n1at, x2 + n2at, x3 + n3at)dS1

(9.4)

4π

S1

ψ.

Отсюда, если ϕ C(k), то u C(k), так как xj –– параметры, не зависящие от θ и

Из (9.4) имеем

ZZ 4ϕξdS1,

4u =

t

4π

S1

где

∂2ϕ ∂2ϕ

∂2ϕ

, (так как ξj = xj + nj at и ∂/∂ξj = ∂/∂xj ).

4ϕξ = ∂ξ12 + ∂ξ22

+ ∂ξ32

Переходя к Sat

t

4u =

ZSatZ

4ϕdSat,

(9.5)

4πa2t

и дифференцируя (9.4) по t, получим

ZZ

ZZ

j=1

! dS1,

∂u

1

at

3

∂ϕ

∂t

=

4π

ϕ(ξ1, ξ2, ξ3)dS1 +

4π

nj

∂ξj

(9.6)

S1

S1

X

или

∂t

= t + 4πat ZZSat

rϕ · n dSat.

∂u

u

1

70