Экзаменационные вопросы по математике 1 курс

Экзаменационные вопросы по математике (УПП 1 курс, 1 семестр)

1. Множества. Подмножества. Основные операции над множествами (пересечение, объединение, разность). Формула включения и исключения. Мощность множеств.

2. Высказывания. Логические операции над высказываниями (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность).

3. Числовая последовательность.

4. Пределы функций действительной переменной (исходные положения, пределы на бесконечности и в точке).

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (их свойства, сравнение бесконечно малых функций).

6. Первый и второй замечательные пределы функции действительной переменной.

7. Основные свойства пределов функции действительной переменной. Способы нахождения пределов функции действительной переменной.

8. Непрерывность функции, свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.

9. Односторонние пределы. Точки разрыва непрерывности функции. Классификация точек разрыва.

10. Производная функции, ее прикладной смысл. Правила дифференцирования.

11. Производные основных элементарных функций (таблица производных, примеры вывода формул).

12. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали кривой в заданной точке.

13. Производная сложной и неявной функции (примеры).

14. Производная обратной функции и функции заданной в параметрической форме, логарифмическое дифференцирование (примеры).

15. Производные высших порядков явно заданной функции (примеры).

16. Производные высших порядков неявно заданных и параметрически заданных функций.

17. Дифференциал функции (определение, свойства и таблица дифференциалов).

18. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19. Основные теоремы о дифференцируемости функций (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).

20. Правило Лопиталя, его применение.

21. Возрастание и убывание функции (достаточное условие).

22. Экстремумы функций. Максимум и минимум функции (определение).

23. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.

24. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на [а; b]

25. Выпуклость и вогнутость функции (определение).

26. Перегиб функции. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.

27. Асимптоты (определение). Их классификация. Нахождение вертикальных, наклонных и горизонтальных асимптот.

28. Матрица. Виды матриц.

29. Операции с матрицами.

30. Определители, их свойства и способы вычисления.

31. Невырожденная матрица. Обратная матрица и способы ее вычисления.

32. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в расширенной и матричной формах.

33. Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера.

34. Решение невырожденных СЛАУ методом обратной матрицы.

35. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.

36. Теорема Кронекера-Капели и ее применение.

37. Метод Гаусса и Жордана-Гаусса решения СЛАУ. Использование расширенной матрицы.

38. Однородные СЛАУ.

39. Понятие вектора, линейные операции. Базис на плоскости и в пространстве, ортонормированный базис.

40. Коллинеарные векторы. Условия коллинеарности векторов.

41. Определение вектора через его проекции. Направляющие косинусы, координаты вектора и его длина.

42. Скалярное и векторное произведение векторов. Условия перпендикулярности и коллинеарности векторов.

43. Смешанное произведение векторов. Компланарные векторы Условие компланарности векторов.

44. Прямоугольная система координат. Приложения метода координат на плоскости.

45. Уравнения прямой на плоскости. Виды прямых.

46. Угол между прямыми на плоскости. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.

47. Прямые, заданные параметрически. Полярная система координат.

48. Уравнение плоскости в пространстве.

49. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

50. Уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

51. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Приведение общего уравнения прямой к канонической форме.

52. Окружность и эллипс: уравнения и свойства, построение эллипса по уравнению.

53. Гипербола: уравнения и свойства, виды гипербол, Построение гиперболы по уравнению.

54. Парабола: (уравнения и свойства, виды парабол, построение параболы по уравнению y = ax² + bx + c)

55. Поверхности второго порядка (цилиндры, конусы, эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды).