Занятие №3. Производные высших порядков. Частные производные. Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных. Теоретические вопросы.

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Частные производные функции нескольких переменных.

3. Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Литература для самоподготовки:

1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998.

2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000.

На практическом занятии выполнить задания:

1. Самостоятельная работа:

1) 2)

3)4)

5) Концентрация раствора меняется с течением времени по закону .Найти скорость растворения.

2. Найти вторые производные следующих функций:

1)y=(2x+5)³ ; 2)

4. Решить задачу:

Рост числа клеток популяции описывается уравнением:

Получите формулу для скорости роста численности популяции.

5. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:

1)

2)

3)

6. Решить задачу.

Количество теплоты Q, выделяющейся в единице объема раствора электролита при УВЧ-терапии, описывается формулой Q=k𝜎E²t, где 𝜎 - удельная электропроводность, k - коэффициент пропорциональности, E - напряженность электрического поля между электродами терапевтического контура, t- время процедуры. Найти приближенно изменение количества тепла (считая dQ≈ΔQ), если E= 200 В/м, ΔE = - 10 В/м; t = 10 мин, Δt = 2 мин , k=1.

Домашнее задание №3.

1. Выполнить задания:

1. Найти производные следующих функций:

1) 4)

2)5)

3)

2. Определить ускорение тела в момент времени сек, если скорость телаи измеряется в м/с.

3. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

4. Решить задачу:

Укорочение мышцы при одиночном раздражении можно описать уравнением Релея:

, где t- время, b и k – постоянные величины. Найти моменты времени, при которых скорость укорочения мышцы будет равна нулю.

2. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 59-66)

1. Понятие неопределенного интеграла;

2. Простейшие способы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование

б) интегрирование методом подстановки.

Таблица основных интегралов.

Занятие №4. Оценка приращения функции с помощью дифференциала. Неопределенный интеграл.

Теоретические вопросы:

1. Понятие первообразной функции;

2. Понятие неопределенного интеграла;

3. Простейшие способы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование

б) интегрирование методом подстановки.

4. Таблица основных интегралов.

Литература для подготовки:

1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 32-36; 56-59.

2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов».

На практическом занятии выполнить задания:

Выполнить задания из [2]:

Найти неопределенные интегралы, стр. 21, №№1,3,6,8,10,12, решить задачи 1,2;

Домашнее задание № 4.

1. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 68-75, 78-83)

1. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции).

2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

3. Вычисление площади криволинейной трапеции помощью определенного интеграла.

2. Выполнить задания:

1). При деформации конуса радиус его основания R уменьшился c 30 cм до 20,8 cм, а высота h увеличилась c 60 cм до 60,2 cм. Найти приближенно изменение объёма конуса V. Считать ΔV≈dV. Объём конуса V=1/3πR²h.

2) Давление идеального газа массой m с молярной массой μ зависит от объёма V и температуры T согласно формуле Клапейрона – Менделеева , гдеR – универсальная газовая постоянная. Найти приращение давления газа при одновременном изменении его объёма и температуры соответственно на ΔV и ΔT . Считать ΔP≈dP.

2) Найти следующие интегралы:

3) Решить задачи.

1. Скорость материальной точки задана уравнением м/с. Составить закон зависимости пути, пройденного данной материальной точкой, от времени.

2. Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением М=5t²+ 6t. Найти скорость реакции.