Занятие №7. Дифференциальные уравнения II порядка. Решение задач с помощью дифференциальных уравнений Теоретические вопросы.

1. Понятие дифференциального уравнения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Их решение.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.

Литература для подготовки:

2. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 95-102.

3. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М., 2002.

Самостоятельная работа:

1. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону

C=C₀ гдеC₀ – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации.

2. Вычислите

На практическом занятии выполнить задания из [1]:

1. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: V, № 1-5

2. Решить задачи из [2], стр. 32, раздел II.

3. Решить задачи: а) Груз массой 40 г колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой k=0,36 н/м. Силу трения не учитывать. В начальный момент отсчета времени груз сместили на расстояние х₀=4 см от положения равновесия, растянув пружину, и отпустили к нулевой начальной скорости. Определить:

• закон отклонения груза;

• отклонение груза от положения равновесия в момент t=/3;

• частоту колебаний груза.

Решить предыдущую задачу при условии наличия силы трения, v-скорость движения груза. Определить закон движения груза, начертить график движения груза.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее условиюy= -10 при x=16.

5. Найти общее решение дифференциального уравнения и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение приx=0, y=5.

6. Решить дифференциальные уравнения.

, при y(0)= -3, y(0)=0.

, при y(0)=0, y(0)=1.

, при y(1)=10, y(1)=2.

Домашнее задание №7.

Подготовиться к контрольной работе №1.

Решить дифференциальные уравнения.

, при y(0)= 1, y(0)=1.

, при y(0)=0, y(0)=8.

Занятие №8.Подготовка к контрольной работе-45 мин.

Контрольная работа № 1.

Образец контрольной работы по высшей математике

для медико-профилактического факультета (I семестр).

Вариант №0

1. Найти первую производную и дифференциал функции у = cos³ х.

2. Найти частные производные, частные дифференциалы и полный дифференциал функций: u=cos(x²/y).

3. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону

C=C₀ C₀ – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации.

4. Шарик совершает колебания по закону S = 10 sin

Получить формулу для расчета мгновенной скорости и ускорения шарика.

5. Найти неопределённый интеграл и выполнить проверку решения:.

6. Вычислить площадь, ограниченную линиями y₁=4-x² и y₂=0.

7. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка, если при х=0, y=y₀ , k=const,

y’= ky.

8. Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y’’ + 4y=0.

9. Через слой вещества проходит пучок света. Уменьшение интенсивности света (dI), поглощенного при прохождении через тонкий слой вещества, пропорционально толщине слоя dx и интенсивности света I, падающего на его поверхность (коэффициент пропорциональности – ). Составить дифференциальное уравнение, решить его и получить формулу для зависимости интенсивности I от x, если при x=0, I=I_0.