Найти: φ.

Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).

Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.

Потенциал в центре кольца, создаваемый бесконечно тонким кольцом,

где – поверхностная плотность заряда.

Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда

Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R₂²-R₁²)- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца

Ответ: φ=25В

Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q₁=2нКл и q₂=5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r₁= 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r₂=5см.

Дано: q₁=2нКл=2∙10^-9Кл; q ₂=5нКл=5∙10^-9Кл; r₁= 20см=0,2м; r₂=5см=0,05м.

Найти: а.

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ₁, в точку с потенциалом φ₂.

A₁₂= q(φ₁- φ₂)

При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:

A= -q(φ₁- φ₂)= q(φ₂- φ₁). (1)

Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля

; (2)

Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,

Ответ: А=1,35 мкДж.

Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r₁=2см до r₂=10см, изменил свою скорость от υ₁=1Мм/с до υ₂=5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..

Дано: q=1,6∙10^-19 Кл; m=1,67∙10^-27кг; r₁=2см=2∙10^-2м; r₂= 10см=0,1м; r₂=5см=0,05м; υ₁=1Мм/с=1∙10⁶м/с; до υ₂=5Мм/с=5∙10⁶м/с.

Найти: τ.

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂ идёт на увеличение кинетической энергии протона

q(φ₁- φ₂)=ΔТ (1)

В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому

или dφ=-Edr,

тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r₁ и r₂ от нити,

(учли, что напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью, ).

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что , получим

Откуда искомая линейная плотность заряда нити

Ответ: τ = 4,33 мкКл/м.

Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R=8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м³. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r₁=10см и r₂=15см; 2) r₃= 2см и r₄=5см..

Дано: R=8см=8∙10^-2м; ρ=10нКл/м³=10∙10^-9нКл/м³; r₁=10см=10∙10^-2м;

r₂=15см=15∙10^-2м; r₃= 2см=2∙10^-2м; r₄=5см=5∙10^-2м.

Найти: 1) φ₁- φ₂; 2) φ₃- φ₄.

Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r₁ и r₂ от центра шара.

(1)

где - напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра.

Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов