Uch_Orlov_A_I_Ekonometrika_-_M_2002
.pdfОтношение КТР является симметричным (если пара (А,В) входит в него, то входит и пара (В,А)) и антирефлексивным (ни одна пара (А,А) не входит в КТР). Свойством транзитивности это бинарное отношение, вообще говоря, не обладает (если пары (А,В) и (В,С) входят в него, то пара (А,С) может входить в КТР, а может и не входить).
Формально присоединим к КТР все пары вида (А,А). Получим рефлексивное симметричное отношение, т.е. толерантность (о толерантностях много написано в монографии [2]). Будем называть ее "толерантностью расхождений (ТР)".
Построим новое бинарное отношение Зам(ТР) путем транзитивного замыкания (в смысле теории бинарных отношений, см., например, монографию [2,с.27]) "толерантности расхождений". Это означает, что подмножество пар объектов, входящих в толерантность ТР, пополняется некоторыми новыми парами. А именно, если А, В и С - три объекта такие, что пара (А,В) и пара (В,С) входят в "толерантность расхождений", то пару (А,С) включаем в замыкание этой толерантности. Для полученного множества пар повторяем описанную операцию. Продолжаем так до тех пор, пока новые пары не перестанут добавляться (процесс не может продолжаться бесконечно, поскольку общее число пар конечно).
Бинарное отношение Зам(ТР) можно описать и по-другому: пара (А,В) входит в Зам(ТР) тогда и только тогда, когда либо она входит в ТР, либо существует конечная последовательность объектов С, D, E, ..., Q такая, что пары (A,C), (C,D), (D,E), ..., (Q,B) входят в ТР, т.е. от А к В можно пройти за несколько шагов, каждый из которых - переход от первого элемента пары, входящей в ТР, ко второму.
Последнее замечание подсказывает наглядную геометрическую интерпретацию операции замыкания. Представим себе объекты точками на плоскости. Пара (А,В) входит в ТР тогда и только тогда, когда от А до В можно добраться по дороге. Тогда ясно, что пара (А,С) входит в Зам(ТР) в том и только в том случае, когда от А до С можно добраться по дороге, возможно. через несколько промежуточных пунктов (объектов).
Теорема о структуре замыкания. Описание структуры Зам(ТР) дает следующая теорема.
Теорема 1. Замыкание "толерантности расхождений" - отношение эквивалентности (рефлексивное симметричное транзитивное отношение), задающее разбиение объектов на кластеры (группы эквивалентных в рассматриваемом смысле объектов). Кластеры между собой упорядочены: все объекты одного кластера одновременно лучше (или одновременно хуже) всех объектов другого кластера одновременно по обоим используемым агрегированным показателям. Внутри же кластеров, состоящих более чем из одного элемента, имеются противоречия: для какого-то объекта есть другой из того же кластера такой, что упорядочение по одному агрегированному показателю противоречит упорядочению по другому агрегированному показателю.
Доказательство. Рефлексивность Зам(ТР) вытекает из рефлексивности ТР - поскольку любая пара (А,А) входит в ТР, то она входит и в Зам(Т,Р). Симметричность вытекает из симметричности ТР: если из А в В можно добраться по цепочке С, D, E, ..., Q, то из В в А - по обратной цепочке Q,...,E, D,С, каждые два соседних элемента которой образуют пару, входящую в ТР наряду с "симметричной" парой из прямой цепочки. Транзитивность вытекает из процедуры построения Зам(ТР). В теории бинарных отношений рефлексивное симметричное и транзитивное отношение, как известно, называется эквивалентностью (см.,
например, [2, с.54]).
Хорошо известно (см., например, теорему 2.1 в монографии [2, с.55-56]), что отношение эквивалентности задает разбиение множества объектов на кластеры (классы, группы, подмножества) такое, что пара (А,В) входит в Зам(ТР) тогда и только тогда, когда объекты А и В включены в один и тот же кластер.
Теперь введем упорядоченность кластеров.
Лемма. Пусть X = {A, B,...} и Y = {C,D,...} - два кластера. Пусть А меньше С при использовании одного из двух рассматриваемых видов агрегированных оценок (например, по взвешенной медиане или по взвешенному среднему арифметическому). Тогда А меньше
С и при сравнении по второй агрегированной оценке. Более того, любой объект из первого кластера меньше любого объекта из второго кластера в смысле любой из двух агрегированных оценок.
Докажем лемму. Если бы А было больше или равно С по второй оценке, то пара (А,С) входила бы в КТР и ТР, а потому объекты А и С входили бы в один класс разбиения, соответствующего Зам(ТР), что противоречит исходному предположению. Это рассуждение показывает также, что для любых двух объектов В и D из разных кластеров упорядоченности по двум агрегированным оценкам совпадают.
Однако совпадает ли упорядоченность В и D (или даже В и С) с упорядоченностью А
и С?
Одну из упорядоченностей обозначим знаком < (т.е. "меньше"; знак > означает здесь "больше или равно"). Может ли быть так, что А<С, но В>С ? Тогда А<С<В. Вторую упорядоченность обозначим знаком //. Тогда в соответствии с рассуждениями предыдущего абзаца А//С//В, следовательно, пара (А,В) не может входить в КТР, а потому и в ТР.
Поскольку А и В лежат в одном кластере, то существует цепочка А(1)=А, А(2), А(3),
..., А(К) = В такая, что пары (А(Р), А(Р+1)) входят в КТР, Р = 1, 2, 3,..., К-1. Рассмотрим минимальное М такое, что А(М)<С, А(М+1)>С (такое М существует, поскольку А1<С, а АК>С). Тогда в рассуждениях предыдущего абзаца можно положить А=А(М), В=А(М+1). Получаем, что пара (А(М), А(М+1)) не входит в КТР, что противоречит определению Зам(ТР).
Итак, доказано, что из А<С вытекает В<С для любого В из кластера, включающего А. Аналогичным образом устанавливается, что В<D для любого D из кластера, включающего С. Лемма доказана.
Каждый из кластеров, порожденных Зам(ТР), может состоять из одного или нескольких элементов. Внутри кластера из одного элемента противоречий быть не может. Если в кластере несколько элементов, то хотя бы одна пара объектов из этого кластера входит в КТР. Однако некоторые пары могут и не содержать противоречий. Например, если упорядочения имеют вид А<В<С и С//А//В, то пары (В,С) и (А,С) входят в КТР, а пара (А,В) - нет. Если же второе упорядочение имеет вид С//В//А, то все три пары входят в квазитолерантность расхождений.
Теорема 1 доказана.
Развитие методики агрегирования. В результате описанной выше процедуры получаем ранжировку (упорядоченный ряд), элементами которой являются, вообще говоря, не отдельные объекты, а кластеры, состоящие из некоторого числа объектов (некоторые из кластеров могут состоять из одиночных объектов, для которых не оказалось рассматриваемых выше противоречий). Если построенное согласно описанной процедуре разбиение объектов на кластеры и полученный на его основе ранжировочный ряд удовлетворяет заказчика, то они и определяют итоговую ранжировку и итоговый агрегированный показатель (выражающийся, например, в номере кластера, в который входит рассматриваемый объект, в итоговой ранжировке). Если же нет (например, получился всего один класс), то требуется дополнительный анализ с привлечением экспертов. Он должен быть нацелен на уточнение предпочтений экспертов. Например, им могут быть предъявлены для сравнения пары объектов, входящих в "квазитолерантность расхождений". Это исследование может описаться на различные методики выявления предпочтений (в экономических терминах - функций полезности).
По ранжировке строится классификация путем разбиения области значений итогового агрегированного показателя на упорядоченные зоны. Границы между зонами задаются с помощью опроса экспертов с учетом процедуры дальнейшего использования этих зон.
Заметим, что описанная выше методика может применяться в различных вариантах. В облегченном варианте весовые коэффициенты не оцениваются. Например, они априори предполагаются равными или же задаются исследовательской группой, строящей агрегированный показатель.
В соответствии с общей схемой устойчивости (глава 10) целесообразно численно изучить устойчивость значений агрегированного показателя к малым отклонениям значений весовых коэффициентов, а также ответов экспертов. Развитие этой идеи ведет к разработке методики численного эксперимента, а также к применению и изучению интервальных экспертных оценок, когда ответ эксперта - интервал действительных чисел или интервал в порядковой шкале (несколько соседних градаций), и т.д. (см. главы 11 и 12).
Могут быть использованы и иные виды средних величин, кроме среднего арифметического и медианы, в частности, среднее геометрическое и другие виды средних по Колмогорову.
О согласовании классификаций. Пусть имеются две классификации Н1 и Н2, разбивающие множества объектов на кластеры А1, А2,..., АК и В1, В2,..., ВМ соответственно. Рассмотрим новую классификацию Н, построенную на основе пересечений множеств А1хВ1, А2хВ1,..., АКхВ1, А1хВ2, А2хВ2,..., АКхВ2,..., А1хВМ, А2хВМ,..., АКхВМ (здесь х - знак пересечения). Число кластеров в Н - не более КхМ, поскольку некоторые из выписанных пересечений могут оказаться пустыми. Классификация Н обладает тем свойством, что любые два элемента, входящие в один из ее кластеров, входят также в один кластер и в Н1, и в Н2. Если же два элемента входят в разные кластеры Н, то либо в Н1, либо в Н2, либо одновременно и в Н1, и в Н2 они входят в разные кластеры. Поэтому можно сказать, что классификация Н согласует классификации Н1 и Н2.
Для классификаций с неупорядоченными кластерами сказанное в предыдущем абзаце решает проблему согласования. Для классификаций, кластеры которых строго линейно (или совершенно) упорядочены [2, с.119-120], т.е. порожденных склейкой одинаковых значений некоторого агрегирующего показателя на множестве объектов (существование такого показателя вытекает из теоремы 4.2 в [2, с.121-122]), можно продвинуться дальше.
Описанная выше процедура согласования классификаций, полученных различными способами на основе двух ранжировок, является общей. Она может быть применена для согласования любых двух классификаций, использующих строго линейно упорядоченные кластеры.
Сначала необходимо построить "квазитолерантность расхождений (КТР)", включающую те и только те пары объектов, упорядоченность которых в двух классификациях различна. Затем строим "толерантность расхождений (ТР)", добавляя к КТР все пары вида (А,А). Затем строим Зам(ТР), транзитивно замыкая ТР по правилам теории бинарных отношений [2, с.27]. Корректность этой процедуры обеспечивает следующая теорема.
Теорема 2. Замыкание толерантности расхождений Зам(ТР) задает классификацию на упорядоченные кластеры. При этом все объекты одного кластера одновременно лучше (или одновременно хуже) всех объектов другого кластера одновременно по обоим используемым агрегированным показателям. Внутри же кластеров, состоящих более чем из одного элемента, имеются противоречия: для какого-то объекта есть другой из того же кластера такой, что упорядочение по одному агрегированному показателю противоречит упорядочению по другому агрегированному показателю.
Доказательство. Как показано при доказательстве теоремы 1, Зам(ТР) является отношением эквивалентности, а потому задает некоторое разбиение множества объектов, т.е. классификацию.
Просматривая доказательство теоремы 1, нетрудно заметить, что в нем не используются какие-либо конкретные свойства взвешенной медианы или взвешенного среднего арифметического, а потому проведенные рассуждения верны для любых строгих совершенных (линейных) порядков. Это замечание и заканчивает доказательство теоремы 2.
Замечание. Расчет согласующей классификации как Зам (ТР) не всегда дает приемлемые с практической точки зрения результаты. Пусть например, имеется 4 объекта, описываемые точками на плоскости А = (0,0), В = (0,1), С = (1, 0), Н = (1,1), первое упорядочение - по первой координате, второе - по второй (каждое из упорядочений имеет
два варианта соответственно тому, как интерпретировать равенство, т.е. использовать отношение "меньше" или "меньше или равно"). Нетрудно проверить, что Зам(ТР) дает вырожденную классификацию - состоит из одного кластера. Между тем другие способы построения результирующего упорядочения, например, по сумме координат, могут оказаться более практически приемлемы.
Практический интерес представляет также задача расширения классификации по упорядоченным классам, заданной на части естественного множества определения, на все это множество. Решений, как правило, имеется несколько, и возникают проблемы описания всех возможных расширений и выбора из них наиболее адекватного с точки зрения рассматриваемой прикладной области, например, токсикологии как части экологического страхования.
Об алгоритмах нахождения согласующей кластеризованной ранжировки. Пусть дана конечная совокупность ранжировок моделей (возможно, со связями). Требуется построить согласующую ранжировку, возможно, кластеризованную (т.е. со связями).
Шаг 1. Находим все пары моделей, упорядочение которых хотя бы в двух исходных ранжировках противоречиво (в одной ранжировке первая модель строго лучше второй, а в другой ранжировке - наоборот, вторая модель строго лучше первой).
Шаг 2. Рассмотрим граф, вершины которого - модели из рассматриваемого семейства родственных моделей. Две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они выделены на шаге 1. Выделяем связные компоненты этого графа.
Шаг 3. Устанавливаем строгий порядок между связными компонентами графа, выделенными на шаге 2 (кластерами). Получаем искомую согласующую ранжировку.
Программная реализация описанной схемы может быть осуществлена различными способами.
П3-8. Теоретические основы методов проверки согласованности, кластеризации и усреднения ранжировок
Как указано в п.6.1 настоящей методики, при необходимости упорядочения по качеству моделей, входящих в один класс согласующей кластеризованной ранжировки, применяют методы проверки (статистической) согласованности, при необходимости - кластерного анализа, а затем - усреднения ранжировок, разработанные в статистике объектов нечисловой природы. Эти методы предполагают использование того или иного расстояния (меры различия) в пространстве ранжировок (со связями). В соответствии с методологией настоящей методики используется расстояние Кемени-Снелла (см. главу 8, а также монографию [3]), связанное с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла (см. справочник [4]), при проверке (статистической) согласованности и - при необходимости - проведении кластерного анализа. При усреднения ранжировок часто используется мера различия, основанная на коэффициенте ранговой корреляции Спирмена (см. [4]). Допускается использование иных расстояний и мер близости (различия) в том числе:
-расстояния, основанного на понятии ближайшего соседа;
-иных расстояний и мер близости, разработанных в статистике объектов нечисловой природы (см. главу 8 и монографии [5-6]).
При использовании одновременно нескольких расстояний (мер различия или близости) в пространстве ранжировок (со связями) в соответствии с методологией теории устойчивости (глава 10) необходимо использовать выводы, устойчивые относительно выбора того или иного расстояния (меры различия) в пространстве ранжировок (со связями).
Сначала проверяется согласованность набора ранжировок с помощью коэффициента ранговой конкордации Кендалла и Бебингтона Смита (при небольшом числе связей) согласно [4, табл. 6.10]. Если ранжировки построены на основе парных сравнений моделей, то используются методы теории люсианов (см., например, [7,8]; пример алгоритмов из
теории люсианов описан выше в главе 13). Согласованность экспертов может также оцениваться с помощью другой группы экспертов.
В случае недостаточной согласованности набора ранжировок, т.е. отклонения гипотезы согласованности на уровне значимости 5 % или более низком, проводится их разбиение на группы схожих между собой тем или иным методом кластерного анализа (см. главу 5). Согласно методологии устойчивости (глава 10) результат разбиения должен быть достаточно устойчив относительно выбора метода кластер-анализа. Рекомендуется одновременно использовать метод ближнего соседа и метод дальнего соседа, используя в дальнейшем устойчивые ядра кластеров, выделяющиеся при одновременном применении указанных двух методов.
Деление показателей качества на группы, по которым модели оцениваются схожим образом, или экспертов на группы с близкими мнениями используется участниками проекта и пользователями банка эконометрических моделей. Это деление учитывается также и неформально при дальнейшем применении или сравнении родственных эконометрических моделей.
При положительном ответе на вопрос о согласованности ранжировок результирующая (итоговая) ранжировка находится как эмпирическое среднее, т.е. медиана Кемени, согласно методам и алгоритмам статистики объектов нечисловой природы. При отрицательном ответе на вопрос о согласованности ранжировок результирующие (итоговые) ранжировки находятся отдельно для каждого кластера. При этом, например, констатируется принципиальное различие научных школ, к которым принадлежат эксперты.
Цитированная литература
1.Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. - М.: Металлургия, 1976. 128 с.
2.Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971. - 254 с.
3.Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с.
4.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (2-е изд.), 1983 (3-е изд.).
5.Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И., Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. Анализ нечисловой информации. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме
"Кибернетика", 1981. - 80 с.
6.Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. - М.: Наука, 1985. - 220 с.
7.Дэвид Г. Метод парных сравнений. - М.: Статистика, 1978. 144 с.
8.Рыданова Г.В. Некоторые вопросы статистического анализа случайных бинарных векторов. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. - М.: МГУ, 1988. 16 с.
4. Для каждого из N = 20 объектов даны значения Xj и Yj , j = 1,2,…,N, результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков. Необходимо проверить, есть ли значимое различие между значениями двух признаков или же это различие может быть объяснено случайными отклонениям значений признаков. Другими словами, требуется проверить однородность (т.е. отсутствие различия) связанных выборок.
Табл.4. Исходные данные для задачи 4.
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Xj |
74 |
79 |
65 |
69 |
71 |
66 |
71 |
73 |
72 |
68 |
Yj |
73 |
65 |
71 |
69 |
70 |
69 |
78 |
70 |
60 |
62 |
j |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Xj |
70 |
69 |
76 |
74 |
72 |
69 |
74 |
72 |
77 |
75 |
Yj |
61 |
67 |
73 |
67 |
73 |
64 |
67 |
65 |
63 |
70 |
Проверку однородности на уровне значимости 0,05 проведите с помощью трех критериев:
1)критерия знаков (основанного на проверке гипотезы р = 0,5 для биномиального распределения с использованием теоремы Муавра-Лапласа);
2)критерия для проверки равенства 0 математического ожидания (критерий основан на асимптотической нормальности выборочного среднего арифметического, деленного на выборочное среднее квадратическое отклонение);
3)критерия Орлова (типа омега-квадрат) для проверки гипотезы симметрии функции распределения (разности результатов измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов для двух признаков) относительно 0.
Метод наименьших квадратов
5. Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индекс инфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
xk = a tk + b + ek , k = 1,2,…,n,
где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость.
Табл.5. Исходные данные для задачи 5.
tk |
1 |
3 |
4 |
7 |
9 |
10 |
xk |
12 |
20 |
20 |
32 |
35 |
42 |
Методом наименьших квадратов оцените параметры a и b линейной зависимости. Выпишите восстановленную зависимость.
Вычислите восстановленные значения зависимой переменной, сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условие точности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных).
Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсию погрешностей.
Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнюю доверительные границы для него (для доверительной вероятности 0,95).
Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы для него для момента t = 12. Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будет увеличена? А если она будет уменьшена?
Индекс инфляции
6. На основе данных табл.6 рассчитайте индекс инфляции с 14.03.1991 по 14.03.2001 на основе потребительской корзины из продуктов №№ 3, 5, 8, 13, 21, 25.
Табл.6. Номенклатура, годовые нормы потребления и цены (руб.)
№ |
Наименование |
продукта |
Годовая |
Цена |
на |
Цена |
на |
п/п |
питания |
|
норма, кг |
14.03.1991 |
|
14.03.2001 |
|
1 |
Хлеб пшеничный |
|
59,8 |
0-50 |
|
12 |
|
2 |
Хлеб ржаной |
|
65,3 |
0-20 |
|
10 |
|
3 |
Мука пшеничная |
|
18,5 |
0-46 |
|
10 |
|
4 |
Картофель |
|
124,22 |
0-10 |
|
9 |
|
5 |
Капуста |
|
30,4 |
0-20 |
|
8 |
|
6 |
Помидоры |
|
2,8 |
0-85 |
|
80 |
|
7 |
Столовые корнеплоды |
40,6 |
0-20 |
|
9 |
|
|
8 |
Прочие (лук) |
|
27,9 |
0-50 |
|
8 |
|
9 |
Яблоки свежие |
|
15,1 |
1-50 |
|
20 |
|
10 |
Сахар |
|
19,0 |
0-90 |
|
21 |
|
11 |
Говядина |
|
4,4 |
2-00 |
|
85 |
|
12 |
Субпродукты (печень) |
0,5 |
1-40 |
|
45 |
|
|
13 |
Птица |
|
16,1 |
2-40 |
|
52 |
|
14 |
Колбаса докторская |
|
0,4 |
2-30 |
|
95 |
|
15 |
Копчености |
|
0,3 |
3-70 |
|
200 |
|
16 |
Рыба свежая (минтай) |
10,9 |
0-37 |
|
80 |
|
|
17 |
Сельди |
|
0,8 |
1-40 |
|
40 |
|
18 |
Молоко, кефир |
|
110,0 |
0-32 |
|
17 |
|
19 |
Сметана, сливки |
|
1,6 |
1-70 |
|
50 |
|
20 |
Масло животное |
|
2,5 |
3-60 |
|
70 |
|
21 |
Творог |
|
9,8 |
1-00 |
|
45 |
|
22 |
Сыр и брынза |
|
2,3 |
3-60 |
|
70 |
|
23 |
Яйца, десяток |
|
15,2 |
0-90 |
|
20 |
|
24 |
Масло растительное |
|
3,8 |
1-80 |
|
26 |
|
25 |
Маргарин |
|
6,3 |
1-20 |
|
35 |
|
7.Гражданин Иванов в марте 1991 г. получил 150 руб., а в марте 2001 г. - 4000 руб. Во сколько раз изменился его реальный доход за 10 лет? Увеличился или уменьшился?
8.За январь индекс инфляции составил 5 % , а за февраль - 2 % . Чему равен индекс инфляции за два месяца? Каков средний уровень инфляции? Можно ли в данном случае складывать проценты инфляции?
9.Выразите текущий курс доллара США в ценах марта 1991 г.
Взадачах 2 и 4 рекомендуется принять, что индекс инфляции за 10 лет (март 1991 г. - март 2001 г.) равен 40.
Упорядочения по средним рангам и по медианам
10. В таблице 7 приведены упорядочения (кластеризованные ранжировки), данные семью экспертами.
Табл.7. Исходные данные к задаче 10. Эксперты Упорядочения
1 |
2 < 3 < 6 < 7 < 1 < 4 < 5 |
2 |
3 < {2, 6} < 7< {1, 5}< 4 |
3 |
2 < 3 < 7 < 1 < 6 < {4, 5} |
4 |
6 < {3, 7} < 2 < 5 < 4 <1 |
5 |
2 < 3 < {6,7} < 4 < 1 <5 |
6 |
{2, 3} < 1 < 6 < 4 < 5 <7 |
7 |
3 < 6 < 2 < 1 < 4 < 5 < 7 |
Найти:
1)упорядочение по средним рангам;
2)упорядочение по медианам;
3)согласующую их кластеризованную ранжировку.
Медиана Кемени
11. Дана матрица попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов. Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов:
A2 , A4 , A5 , A7 , A9 .
Табл.8. Исходные данные для задачи 11.
0 |
2 |
13 |
1 |
7 |
4 |
10 |
3 |
11 |
2 |
0 |
5 |
6 |
1 |
3 |
2 |
5 |
1 |
13 |
5 |
0 |
2 |
2 |
7 |
6 |
5 |
7 |
1 |
6 |
2 |
0 |
5 |
4 |
3 |
8 |
8 |
7 |
1 |
2 |
5 |
0 |
10 |
1 |
3 |
7 |
4 |
3 |
7 |
4 |
10 |
0 |
2 |
1 |
5 |
10 |
2 |
6 |
3 |
1 |
2 |
0 |
6 |
3 |
3 |
5 |
5 |
8 |
3 |
1 |
6 |
0 |
9 |
11 |
1 |
7 |
8 |
7 |
5 |
3 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эконометрика качества (статистический приемочный контроль)
12.Для плана (n, 0) с n = 27 найти приемочный уровень дефектности.
13.Для плана (n, 0) предел среднего выходного уровня дефектности не превышает t = 0,02. Каково минимально возможное n?
14.Даны приемочный уровень дефектности pпр = 0,03 и браковочный уровень дефектности pбр = 0,09. Указать какой-либо допустимый план вида (n,0), т.е. план, значение оперативной характеристики которого в точке pпр не меньше
0,95, а в точке pбр не больше 0,10.