- •Определение параметров модели методом площадей
- •1. Введение
- •2 Преобразование кривой разгона к расчетной форме
- •2.1 Объект регулирования с самовыравниванием
- •2.2 Объект регулирования без самовыравнивания
- •Как следует из рисунка 4 кривая разгона является характеристикой интегрирующего типа и может быть описана моделью следующего вида
- •График приведен на рисунке 7
- •2. Определение параметров модели по площадям
- •3. Определение площадей по переходной кривой
- •4. Вычисление моментов численными методами
- •5. Определение порядка передаточной функции
- •6. Заключение
- •Литература
2. Определение параметров модели по площадям
В настоящем разделе будет описана процедура определения параметров передаточной функции модели объекта с самовыравниванием. Для вывода основных формул использован подход, предложенный в работе [2]
Рассмотрим инверсную передаточную функцию модели
. (22)
Разложим в ряд Тейлора в точкеs=0:
, (23)
где =S0=1.
Коэффициенты разложения названы М.П.Симою площадями [1].
При известных площадях легко определяются коэффициенты передаточной функцииai, bi.
Для этого умножим обе части равенства (23) на знаменатель . В результате получим
. (24)
Раскрывая скобки в правой части (24) и приводя подобные члены получим степенной ряд
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях sслева и справа, получим линейную систему уравнений для определения коэффициентов модели:
(25)
Для определения коэффициентов необходимоN=m+nуравнений и такое же количество площадей. Поскольку, как правило, порядок модели заранее не известен, необходимо задаваться порядком модели.
Рассмотрим частные случаи:
1. . (26)
В зтом случае и для определения параметров модели достаточно знатьN=nплощадей, система (26) приводится к виду
(27)
Простейшими моделями такого вида являются:
1.1. (28)
1.2. (29)
1.3. (30)
Необходимо иметь в виду, что все используемые площади должны быть положительными. В противном случае модель не устойчива (критерий Стодолы).
2. . (31)
Для определения 3-х коэффициентов необходимо 3 уравнения. Система (25) принимает вид:
(32)
Из последнего уравнения системы (32) находим , подставляя в первые два находим.
3. . (33)
(34)
3. Определение площадей по переходной кривой
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , рисунок 9., определяемую формулой
(35)
Определим изображение по Лапласу . Принимая во внимание формулу (6) получим
(36)
Разложим в ряд по степенямв точке=0:
, (37)
где .
Коэффициенты разложения носят название моментов вспомогательной функциии могут быть вычислены непосредственно по графику.
Установим связь моментов с функцией. Запишем формулу прямого преобразования Лапласа для:
. (38)
Дифференцируя формулу (19) по последовательнораз получим:
(39)
Подставляя в (38) и (39) значение и сравнивая полученные выражения с формулами для моментов (37), получим:
(40)
Как видно из формул (40) моменты могут быть вычислены по известной функции. Установим связь между моментамии площадями.
Преобразуем формулу (36),
,
или
.
Отсюда следует,
. (41)
Подставляя разложения (37) и (24) в (41) получим
,
или
(42)
Умножая и приводя подобные члены, получим
. (43)
Из (43) следует,
(44)
Из последних уравнений получаем рекуррентные формулы для вычисления площадей:
(45)
Таким образом, алгоритм оценки параметров модели может быть записан следующим образом,
(46)
где ;
(47)
и
, (48)
Формулы (46) – (48) определяют последовательность расчета параметров модели.