4. Вычисление моментов численными методами

Для вычисления интегралов в формулах (46) может быть использован метод трапеций. Бесконечный предел интегрирования в (46) заменяется конечным:

. (49)

Значение , рисунок 11, выбирается так, чтобы.

Интервал разбивается наравносторонних интервалов,

. (50)

Число интервалов разбиения выбирается таким, чтобына каждом интервале мало отличалось от отрезка, соединяющего соседние точки.

Согласно формуле трапеций интеграл вида,

, (51)

заменяется суммой,

, (52)

где .

Для вычисления моментов (49) формула (52) принимает вид

(53)

Формулы (34) используются в программе Simou.exe[3] для расчета параметров модели.

Дадим оценку точности метода площадей. На рисунке 12 приведены графики функций для значений. Моменты,, пропорциональны площади под графиком, формулы (46), (49). При практических расчетах моментов вносится погрешность, обусловленная конечностью интервала интегрирования. Величина погрешности пропорциональна «отброшенной» площади, на рисунке 12, она заштрихована. Если для функцииотброшенная площадь практически равна нулю и не влияет на точность вычисления момента, то для старших моментов отброшенная площадь и, соответственно, погрешность вычислений возрастает. Для обеспечения приемлемой точности модели на практике ограничиваются вычислением не более 3-х, 4-х моментов (площадей), что ограничивает порядок модели.

T_п

t

0

Рисунок 12. Оценка точности вычисления моментов

5. Определение порядка передаточной функции

Выше предполагалось, что порядок передаточной функции модели выбирается априорно, и задача расчета сводится к определению параметров модели.

При таком подходе структура объекта может существенно отличаться от структуры модели (1), содержать трансцендентные члены и т.д. Близость объекта и модели понимается в смысле равенства определенного числа площадей (или моментов) объекта и модели.

Будем предполагать, что объект также описывается передаточной функцией вида (1).

Покажем, что в этом случае, используя метод площадей, можно определить порядок передаточной функции объекта и ее параметры.

Пусть порядок передаточной функции равен . Для простоты примем. Тогда

(54)

Коэффициенты должны удовлетворять любому из уравнений (48).

Запишем систему из уравнений (48) с учетом (54) для,,:

(55)

Для того, чтобы система (55) имела единственное решение ее определитель должен быть равен нулю.

. (56)

Из условия (56) может быть определен порядок передаточной функции объекта.

Можно предложить следующий алгоритм определения порядка :

1. Для последовательно вычисляется определитель;

2. Значение , при которомопределяет порядок.

При практических расчетах значения площадей определяется с погрешностью, вызванной как неточностью определения переходной кривой, так и ошибками численного интегрирования. Поэтому условиеможет выполняться лишь приближенно,

. (57)

Для оценки величины целесообразно использовать критерий:

, (58)

где – некоторая достаточно малая величина.

Порядок может быть вычислен и непосредственно с использованием моментов.