- •Определение скорости распространения колебаний в воздухе и твёрдых телах
- •Компьютерный набор: к.В. Машковцев
- •I. Распространение волн в упругой среде
- •II. Скорость упругих волн в тонком стержне
- •III. Скорость звукового импульса в газе
- •IV. Стоячие волны
- •V. Описание установки и метода измерения
- •VI. Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений Техника безопасности
- •Помните! Высокое напряжение опасно для жизни!
- •VII. Описание установки и метода измерения
- •VIII. Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
II. Скорость упругих волн в тонком стержне
Пусть в направлении оси x распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объём с площадью оснований S и высотой (рис. 2). Смещениячастиц на разные величиныx в каждый момент времени оказываются различными (рис. 1). Если основание цилиндра с координатой x имеет в некоторый момент времени смещение , то смещение оснований с координатой будет . Поэтому рассматриваемый объём деформируется - он получает удлинение, (- алгебраическая величина, присоответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величинадаёт среднюю деформацию цилиндра.
Наличие деформации растяжения (сжатия) свидетельствует о существовании нормального напряжения , при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука
, (5)
где - модуль Юнга среды. Продольная волна состоит из чередующихся разряжений и сгущений среды. Скорость распространения импульса деформации и есть скорость волны.
Масса цилиндрического объёма при отсутствии деформации:
, (6)
где - плотность среды. При распространении деформации в стержне движется только «уплотнение» («разряжение»), масса же деформированного объёма так жеm:
. (7)
Здесь - изменение плотности вещества (- величина алгебраическая,. соответствует деформаций растяжения). Соотношения (6) и (7) приравняем:
.
После преобразования, учитывая, что и,
получим:
или
.
Тогда
. (8)
При распространении деформации это «уплотнение» последовательно передается от слоя к слою со скоростью . Дело обстоит, таким образом, как если бы импульс деформации обладал массой
и количеством движения
. (9)
Рассмотрим промежуток времени , за который импульс деформации распространяется на расстояние, равное высоте цилиндра. Тогдаи равенство (9) запишется в виде
.
Таким образом, за время через основание цилиндраS слева направо пройдет количество движения и на такую же величину возрастёт количество движения справа от рассматриваемого сечения. Скорость изменения количества движения
. (10)
По второму закону Ньютона она должна быть равна силе, действующей на это сечение слева направо и вызывающей деформацию. Тогда, с учётом равенств (5) и (10), получим:
или
.
Отсюда
. (11)
Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению
,
где G - модуль сдвига.
III. Скорость звукового импульса в газе
Газы обладают упругостью сжатия, поэтому в них могут распространяться продольные волны, фазовая скорость которых определяется формулой
где N – модуль упругости для газа, - плотность газа.
При деформации сжатия частицы среды движутся в том же направлении, вдоль которого передаётся импульс. В этом случае относительное изменение объёма газа равно относительному сжатию (разряжению) и вызывается увеличением или уменьшением давления, которое играет здесь роль напряженияв твёрдом теле. Поэтому выражение (5), в данном случае нужно записать следующим образом:
и модуль N, следовательно, выразится отношением:
Знак "минус" указывает на то, что с ростом давления объём газа, уменьшается.
Теперь выражение для скорости импульса в газе будет иметь вид:
.
Предполагая зависимость между давлением газа в импульсе и его объёмом адиабатической:
где и вычисляя полный дифференциал этого выражения, получим:
и .
Так как плотность газа
,
то для скорости звукового импульса в газе получим:
, (12)
где R - газовая постоянная (R = 8,31 Дж/моль·К), Т – абсолютная температура газа, М - молярная масса газа, - показатель адиабаты.