2.3 Непрерывные случайные величины

Случайная величина непрерывна, если ее реализации принимают некоторый континуум возможных значений. (Это предполагает, что их нельзя пересчитать, ставя в соответствие им натуральные числа 1, 2,....) Значения непрерывной случайной величины могут представлять собой отрезок, интервал, луч и т.д.

При больших объемах выборки, содержащей значения некото­рой случайной величины, ее элементы группируют по интервалам значений. Для этого интервал выборки, содержащий все ее значения, разбивают на k непересекающихся интервалов,длина которых для удобства расчетов чаще всего выбирается одинаковой и равной размаху выборки, деленному на желаемое число интервалов:

x=S/k  (x⁽ⁿ⁾ - x⁽¹⁾)/k

После того, как частичные интервалы выбраны, так же, как и в "точечном" случае, определяют абсолютные частоты - количество элементов выборки п, попавших в j-й интервал,причем элемент, совпадаю­щий с верхней границей интервала относят к последующему интер­валу.

Наряду с частотами подсчитываются относительные частоты, на­копленные частоты и накопленные относительные частоты. Полу­ченные результаты также записывают в виде таблицы, первая стро­какоторой содержитграницы последовательных интервалов(вExcel– значениенижнейграницы, интервал называют карманом), авто­рая- соответствующие имчастоты (абсолютные, относительные, интегральные относительные частоты). Как и для "точечной" выборки, для выборки, сгруппированной по интерва­лам по значениям накопленных частот,может быть построенавы­борочнаяфункция распределения.

Для наглядного представления выборки часто используют ее графическое отображение - гистог­раммучастот и гистограмму относительных частот. Любая из этих гистограмм представляет собой кусочно-постоянную функцию, принимающую значенияn_j/xили_j/xнаj-м интервале упорядоченной по возрастанию выборки. Эту функцию представляют в виде ступен­чатой фигуры, состоящей из прямоугольников ширинойxвысотойn_j/x(_j/x) , построенных на соответствующих интервалах.

Площадь j-го прямоугольника равна x (n_j/x)(или_j), а площадь всей ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему вы­борки (для гистограммы частот) или единице (для гистограммы от­носительных частот).

Пример 2.3

Рассмотрим гистограмму распределения по росту людей в какой-либо выборке, например студентов одного из институтов:

Таблица 2.4.

Рост x	155-160	160-165	165-170	170-175	175-185	180-185	185-190
nx/n	0,07	0,15	0,20	0,25	0,18	0,10	0,05

Рисунок 2.1

Высота каждого столбика в изображенной на рисунке гистограм­ме пропорциональна количеству людей, рост которых попадает в соответствующий интервал. Допустим, что у 250 из 1000 выбран­ных для обследования студентов рост находится в пределах от 170 до 175 см (170 <X <175). Тогда на гистограмме высота столбика, соответствующего этому интервалу, равнаn_j/(nx)=250/(10005).

Если рассматривать рост студентов Xв качестве значений случайной переменнойН,то при достаточно большом числе наблюдений относительные частоты появления значенийx_kв интервалеx < X <x+xбудут стремиться к вероятности попадания значений роста в вышеуказанный интер­валProb{x < X <x+x}, а относительные накопленные частоты к вероятностиProb{X < x}.

При достаточно большом числе наблюдений относительные частоты появления значений x_kв интервалеx < X <x+xбудут стремиться к вероятности попадания значений случайной величины в вышеуказанный интер­валProb{x < X < x+x}, а относительные накопленные частоты к вероятностиProb{X < x}, которая является функцией конкретного значенияx и называетсяфункцией распределения F_X(x) непрерыв­ной случайной величины X.

Если длину интервала xустремить к нулю, то вероятность по­падания в каждый конкретный интервал также будет стремиться к нулю. Однако отношение этой вероятности к длине интервала стре­мится при этом к так называемой плотности вероятности – функции конкретного значенияx.

Плотность вероятностиможно интерпретировать каквероятность попадания реализации случайной величины X в беско­нечно малый интервал, содержащий точку x, в расчете на единицу его длины:

f_X(x)=

Более строго, если случайная величина является непрерывной, т.е. принимает любые значения из некоторого интервала, то вероятность того, что она принимает неко­торое конкретное значение (точечную вероятность) равна 0, поскольку в любом конечном интервале содержится бесконечное число значе­ний. Однако, функция распределения случайной величины F_X(x), опреде­ляемая как вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше данного числаx

сохраняет смысл и для непрерывной случайной величины. В дан­ном случае это некоторая непрерывная неубывающая функция дей­ствительного аргумента х.

В общем случае, разбивая интервал значений непрерывной вели­чины (-, х₂) на два интервала (-, х₁) и [х₁, х₂) (одновременные попадания случайной величины в которые являются взаимоисклю­чающими событиями), мы имеем

Prob{-X<x₁}+ Prob{x₁X<x₂}= Prob{-X<x₂}.

Отсюда находим, что искомая вероятность попадания непрерыв­ной случайной величины в интервал x₁X<x₂ равна разности функций распределения этой случайной величины:

Prob{x₁X<x₂}=Prob{-X<x₂}-Prob{-X<x₁}F_x(x₂) -F_x(x₁)

Проводя такие же рассуждения, мы можем найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в бесконечно малый интервал х  Х < х + x

Prob{xX<x+x}=Prob{-X<x+x}-Prob{-X<x}F_x(x+x) - F_x(x) d F_x(x)  F_x(x)dx

В последних двух равенствах мы использовали определение бес­конечно малого изменения функции распределения (или диффе­ренциала этой функции). Из найденного соотношения видно, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в беско­нечно малый интервал xX<x+xбесконечна мала и пропорци­ональна величине этого интервалаx.Отношение этой бесконечно малой вероятности к бесконечно малой величине интервала имеет конечное значение и характеризует плотность вероятности в точкех.

Итак, плотность распределения вероятности

И, наоборот,