Вопросы к зачету или экзамену по математике ЭиЭ
1 Семестр
Элементы линейной и векторной алгебры
Определители, и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Различные способы вычисления определителей. Примеры. Различные способы вычисления определителей. Примеры.
Решение n уравнений с n неизвестными. Формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Исследование СЛАУ на совместность и определенность с помощью определителей. Пример
Исследование СЛАУ на совместность и определенность с помощью определителей. Пример.
Матрица. Основные понятия. Виды матриц. Действия над матрицами (пять действий). Примеры.
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы (теорема). Вычисление обратной матрицы.
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о ранге матрицы. Пример.
Исследование СЛАУ на совместность и определенность с помощью матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.
Решение СЛАУ методом Гаусса ( в случаях, когда СЛАУ имеет единственное решение и бесконечное множество решений). Примеры.
Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами (три операции), их свойства. Единичный вектор а0.
Прямоугольные координаты в пространстве. Проекция вектора на ось, свойства проекции (три свойства).
Разложение вектора по базису (теорема). Свойства координат вектора (три свойства).
Модуль вектора. Направляющие косинусы. Линейная зависимость векторов. Примеры.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения ( пять свойств). Скалярное произведение одноименных и разноименных ортов. Скалярный квадрат. Примеры. Физический смысл скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Угол между векторами. Пример. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Пример.
Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения (четыре свойства). Векторное произведение одноименных и разноименных ортов.
Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Пример векторное произведение одноименных и разноименных ортов. Физический смысл векторного произведения.
Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения. Пример. Компланарность трех векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности (теорема с доказательством).
Аналитическая геометрия
уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой: с угловым коэффициентом, проходящим через две точки, в отрезках на осях. Пучок прямых..Примеры.
Общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Плоскость. Общее уравнение плоскости. Частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках. Пример.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Пример.
Общее уравнение прямой в пространстве. Параметрические и канонические уравнения прямой. Построение прямой «по следам». Примеры.
Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки. Переход от общих уравнений прямой к каноническим и обратно. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью. Пример. Условия параллельности и перпендикулярности прямой в плоскости.
Линии второго порядка. Окружность. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Полуоси, вершины, фокусы, эксцентриситет эллипса. Директрисы, их уравнения.
Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси, вершины, фокусы, эксцентриситет гиперболы. Директрисы, асимптоты. Парабола. Каноническое уравнение, фокальный параметр, вершина, директриса параболы.
Преобразование прямоугольных координат при параллельном переносе. Привидение к каноническому виду уравнения линии ( на примере одной линии). Полярные координаты. Примеры построения точек в полярной системе координат.
Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности(пять видов), их канонические уравнения, характерные линии и точки. Построение.
Канонические поверхности. Каноническое уравнение, характерные линии и точки. Построение. Сфера.
Гиперболоиды. Канонические уравнения однополостного и двуполостного гиперболоидов, их характерные линии и точки. Построение. Параболоиды. Эллиптический и гиперболический параболоиды, их канонические уравнения, линии и точки. Построение.
Вопросы к зачету или экзамену по математике ЭиЭ