6.4. Синтез цф Баттерворта

6.4.1. Аналоговый фильтр Баттерворта

Функция квадрата АЧХ для низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта (АБФ), по определению, описывается выражением

(6.4.1)

где N – порядок фильтра; – частота среза. Из (6.4.1) следует, что, действительно, На рис.6.4.1 представлены графики функции квадрата АЧХ рассматриваемого АБФ для значенийи

Рис. 6.4.1. Квадрат АЧХ низкочастотного аналогового

фильтра Баттерворта

Из анализа графиков видно, что при увеличении порядка N в окрестности увеличивается крутизна АЧХ и в полосе частотАЧХ становится плоской. Продифференцируем функциюпо, вычислим значение крутизны в точке

(6.4.2)

Для (6.4.2) можно заключить, что крутизна АЧХ для низкочастотного АБФ увеличивается при уменьшении частоты среза.

Рассмотрим нахождение передаточной функции для низкочастотного АФБ, который в дальнейшем будет служить фильтром-прототипом. Для функции квадрата АЧХ (6.4.1) может быть записано очевидное равенство

Сделаем необходимые выкладки:

и сформируем уравнение, которое позволит найти соответствующие полюса для АФБ:

(6.4.3)

На основе анализа формулы (6.4.3) следует, что комплексных полюсов для ПФирасполагаются на окружности радиусомОсновываясь на симметрии можно заключить, чтоN полюсов расположены в левой полуплоскости, остальные N полюсов – в правой. Для того чтобы синтезируемый аналоговый фильтр- прототип был устойчив, выберем ПФ таким образом, чтобы все еёN полюсов расположились в левой полуплоскости. Соответственно, полюса цифрового фильтра Баттерворта (ЦФБ), который будет получен из аналогового с помощью билинейного z-пре­образования, будут располагаться внутри единичной окружности.

Вычисление полюсов связано с определением корней 2N-й степени из единицы. Отдельно разберём случаи нечётного и чётного N.

Если N – нечётное, то вычисление аналоговых полюсов с учётом (6.4.3) производится на основании следующей формулы:

из которой видно, что полюсовпредставляются следующим образом:

(6.4.4)

Полюса (6.4.4), которые лежат в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

Заметим, что для нечётных N cреди полюсов, лежащих в левой полуплоскости, имеется один действительный, который равен

Если N – чётное, то полюса, с учётом (6.4.3) вычисляются по формуле

Справедливы следующие тождества:

,

на основании которых для чётных N все 2N полюса могут быть найдены по формуле

(6.4.5)

Полюса (6.4.5), лежащие в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

Введём обозначения где – комплексно-сопряжённые полюса из (6.4.4) или (6.4.5). Тогда соответствующая этим полюсам составляющая ПФ от пары комплексно-сопряжённых полюсов будет иметь вид

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для нечётных N представится в виде произведения составляющих ПФ от пар комплексно-сопряжённых полюсов и одного действительного полюса

(6.4.6)

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для чётных N представится следующей формулой:

(6.4.7)

Нетрудно видеть, что коэффициент усиления АФБ на нулевой частоте при равняется единице.

6.4.2. Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта

Процедура синтеза включает следующие этапы:

1) задание частоты среза интервала дискретизациии значения порядкадля синтезируемого низкочастотного ЦФБ;

2) вычисление частоты среза аналогового фильтра-прототипа на основе формулы (6.3.2) с учётом интервала дискретизации T

3) расчет параметров низкочастотного АФБ, являющегося фильтром-прототипом, – вычисление полюсов и формирование его передаточной функции;

4) перевод низкочастотного АФБ с помощью билинейного z- преобразования в ЦФБ.

Рассмотрим случай нечётных N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из одного вещественного полюса и пар комплексно-сопряжённых полюсов и представится формулой (6.4.6). Применим билинейноеz-преобразование к (6.4.6), получим ПФ для ЦФБ

(6.4.8)

Рассмотрим случай чётных значений N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из N/2 пар комплексно-сопряжённых полюсов и представится (6.4.7). Применим билинейное z-преобразование к (6.4.7), получим ПФ для ЦФБ

(6.4.9)

Разберём численный пример синтеза низкочастотного ЦФБ с параметрами и порядкомАналоговая частота среза примет значениеАналоговый фильтр-прототип в соответствии с (6.4.6) имеет три полюса, которые лежат в левой комплексной полуплоскости:

.

Для параметров (6.4.10) при вычислим и сформируем передаточную функцию фильтра-прототипа

(6.4.10)

Применим билинейное z-преобразование к (6.4.10), получим передаточную функцию ЦФБ или в форме

(6.4.11)

На рис. 6.4.2 показана функция квадрата АЧХ для синтезированного низкочастотного ЦФБ, полученная в результате подстановки в (6.4.11)Видно, что в синтезированном ЦФБ реализовалась заданная частота среза.

Рис.6.4.2. Квадрат АЧХ синтезированного низкочастотного ЦФ

Баттерворта третьего порядка

6.4.3. Синтез высокочастотного, полосового пропускающего

и заграждающего ЦФ Баттерворта

Высокочастотный ЦФБ может быть синтезирован на основе ПФ низкочастотного ЦФБ. Пусть ПФ низкочастотного ЦФ, записанная для нормированных частот, представится в виде Очевидно, ПФ высокочастотного ЦФ может быть получена с помощью подстановки вновых пере­менных и

(6.4.12)

Сделаем переобозначение в (6.4.12) и получим окончательно ПФдля высокочастотного ЦФБ.

Последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ и частотами срезаудовлетворяющих условиюочевидно позволяет сформировать полосовой пропускающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих

(6.4.13)

На основе (6.4.13) записывается АЧХ полосового пропускающего ЦФ:

Аналогичным образом последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ и частотами среза, которые удовлетворяют условиюдаёт возможность сформировать полосовой заграждающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих

(6.4.14)

На основе (6.4.14) записывается АЧХ полосового заграждающего ЦФ