Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЦОС_мал

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

1.устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретизации, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы её величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала.

2.если по некоторым техническим причинам нельзя назначить высокую частоту дискретизации, то

исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискретизации, следует пропустить через аналоговый низкочастотный фильтр с частотой среза с 2 fс и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6.

В отфильтрованном сигнале не должны содержаться составляющие с частотой выше, чем указанная частота среза c . Низкочастотный фильтр должен отсечь неинформативные (помеховые) высокочастотные составляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходимо выполнение неравенства fd 2 fc .

Указанная фильтрация называется противомаскировочной, а используемые аналоговые фильтры –

противомаскировочными.

Рис. 1.3.6. АЧХ противомаскировочного фильтра

у1,..., уn ,

6.Стационарные и эргодические сигналы. Оценка моментных характеристик для стационарных эргодических сигналов.

Стационарность случайных cигналов подразумевает неизменность их статистических характеристик во времени. Случайный сигнал называется стационарным в узком смысле, если его n-мерные функции закона распределения вероятностей для группы переменных

сдвинутых на время	,	совпадают и,	таким образом, не зависят от времени сдвига
Fn ( y1, t1 , y2 , t2 ,...,	yn ,	tn ) Fn ( y1, t1,	y2 , t2 ,..., yn , tn ).

Случайный сигнал является стационарным в широком смысле, если его математическое

ожидание и дисперсия не зависят от времени –	my (t) my ,	Dy (t) Dy , а его корреляционная
(ковариационная) функция зависит от разности	аргументов	– Ryy (ti , t j )	Ryy (ti t j ) Ryy ( ),
ti t j .

Стационарный сигнал является эргодическим, если нахождение его статистических характеристик может быть осуществлено усреднением по одной реализации y(t) с помощью интегрирования на

конечном временном интервале длительностью

с последующим предельным переходом

T0 :

(T )

y(t)dt,

lim

(T ) m

(T )

1 T0

( y(t) m

)2 dt,

lim

(T ) D

Ryy (T0

, )

( y(t) my )( y(t ) my )dt,

lim

Ryy (T0 , ) Ryy ( ).

При дискретизации единственной реализации случайного стационарного эргодического сигнала

y(i) y(Ti),

i 0, 1,..., N 1,

N – число

наблюдений

сигнала,

возможна

запись оценок

математического ожидания и дисперсии в следующем виде:

N 1

y(i),

( y(i) my )2 .

i 0

Оценка корреляционной

функции

представится

как

функция

дискретного

аргумента m,

m 0, 1,..., N 1:

N m 1

Ryy (m)

( y(i)

my )( y(i m) my ).

N m

i 0

? для больших m будет малое число соединений след-но большие погрешности. Ryy0(m) неравномерна по точности, когда m маленькое суммируется много членов, а когда большое N-m-1 будет маленькое и точность будет меньше, чем при маленьком m

7.Дискретное преобразование Фурье для действительного и комплексного случаев.

Действительный случай. y(i) y(Ti) -наблюдения действительного дискретизованного сигнала, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. В самом общем случае для ДПФ не выдвигается никаких специальных требований к наблюдениям сигнала.

Полигармоническую модель с фиксированными частотами для ДПФ в действительном случае

N 1

yM (c, Ti)

(ak cos kTi bk sin kTi).

(4.1.4)

k 1

k, k 1, 2,..., N 1,

Вектор параметров модели cT (a , a ,..., a

, b ,..., b

) и размерность (2N 1, 1).

N 1

функционал S(c, y) : S(c, y)

y(i)

ak cos kTi bk sin kTi . (4.1.5)

i 0

k 1

Оценки параметров c

для модели (4.1.4)

находятся из решения задачи минимизации функционала

с arg{min S(c, y)}.

Для модели введём векторную базисную функцию ( , Ti) размерности (2N 1, 1) :

Т ( ,

1 ,

Ti) ( 1( , Ti), 2 ( ,

cos 2 1Ti,..., cos 2

NT NT

Ti),..., 2N 1( , Ti))
	2		2
(N 1)Ti , sin		1Ti,..., sin		(N 1)Ti .
(N 1)Ti , sin		1Ti,..., sin		(N 1)Ti .
	NT		NT

векторная базисная функция не зависит от интервала дискретизации T:
T	1		2		2		2		2
	( , i)	, cos		1i,..., cos		(N 1)i, sin		1i,..., sin		(N 1)i .
	( , i)	, cos		1i,..., cos		(N 1)i, sin		1i,..., sin		(N 1)i .
	2		N		N		N		N

N 1

Модель и функционал в скалярном виде:

yM (c,

Ti) сТ ( , i),

S(c, y)

( y(i) сТ ( , i))2. (4.1.7)

i 0

Введем на основе материалов разд. 2.4 векторно-матричные обозначения для вектора наблюдений Y

размерности (N, 1), вектора параметров с размерности (2N 1, 1) и матрицы плана сигнала X размерности

(N, 2N 1) :

y(0)

cos

1 0,...,

cos 0

sin

1 1,...,

sin 0 0

( ,0)

T ( ,1)

y(1)

, X

cos

1 1,...,

cos 0

sin

1 1,...,

sin 0

aN 1

y(N 1)

T ( , N 1)

cos 0 1,...,

cos 0 (N 1),

sin 0 1,...,

sin 0

(N 1)

bN 1

где 0

2 (N 1)

N .

S(c, Y ) (Y Xc)T (Y Xc).

с (X T X ) 1 X TY.

Рассмотрим скалярные произведения синусоидальных базисных функций l ( , Ti), l 0,..., 2N 1. Благодаря предложенному расположению частот в модели введённые базисные функции являются ортогональными произведения базисных функций для разных индексов

N 1

cos

sin

ri 0,

r 1,...,

N 1,

i 0

N 1

cos

ri cos

si 0,

sin

ri sin

si 0,

cos

ri sin

si 0 для

r, s 1,..., N 1,

r s.

i 0

N 1

cos

li cos

, l 1,...., N 1, sin

li sin

, l 1,...., N 1.

i 0

Вследствие ортогональности введённых синусоидальных базисных функций матрица D Х Т Х размерности (2N 1, 2N 1) является диагональной:

D 1

Вектор коэффициентов Фурье

b X T Y

размерности

(2N 1, 1)

представляет

собой

набор

скалярных

произведений вида

N 1

y(i),

y(i) cos

1 i,...,

y(i) cos

1) i , y(i)sin

1 i ,…, y(i)sin

(N 1) i .

i 0

Оптимальные параметры модели для ДПФ выразятся через коэффициенты Фурье

D 1b,

l 0,..., 2N 1.

(4.1.8)

Основываясь на (4.1.8), запишем формулы, определяющие оптимальные параметры для модели (4.1.4) и являющиеся коэффициентами ДПФ для случая действительных наблюдений и действительной модели:

N 1

y(i),

y(i) cos

ki, k 1,...,

N 1, bk

y(i)sin

ki, k 1,...,

N 1.

(4.1.9)

N i 0

{В формулах (4.1.9) опущен знак оптимальности

« ». В соответствии с (4.1.9) ДПФ осуществляет линейное

преобразование

вектора

наблюдений сигнала

( y(0), y(1),..., y(N 1))

размерности (N, 1)

вектор

параметров модели (a0 , a1,..., aN 1, b1,..., bN 1) размерности (2N 1, 1). }

Комплексный

случай.

Пусть

y(i) y1(i) jy2 (i)

–

комплексные наблюдения, i 0,

1,..., N 1.

Введём

комплексную модель для наблюдений в точках i 0,

1,..., N 1

N 1

yM (c, Ti) c (k)W ki .

k 0

c(k) c (k) jc (k)

– комплексные параметры, W – корень N-й степени из единицы,

W ki – комплексные

базисные функции, k 0, 1,..., N 1, i 0, 1,..., N 1 :

j 2

W e N

cos	2	j sin	2	,	W ki cos	2	ki j sin	2	ki,	k, i 0, 1,..., N 1.
	N		N			N		N

Функционал S(c, Y ) – мера близости комплексных наблюдений и модели, запишется с помощью суммы комплексно-сопряженных сомножителей

N 1		N 1	*		N 1
S(c, Y )	y(i) c(k)W ki			y(i) c(k)W ki . (4.1.10)
i 0		k 0			k 0

Введём комплексные векторно-матричные переменные – вектор комплексных наблюдений Y размерности (N, 1), вектор c комплексных параметров модели размерности (N, 1) и комплексную матрицу плана сигнала X размерности (N, N):

y(0)

c(0)

W 0 0

W1 0

W ( N 1) 0

y(1)

c(1)

W1 0

W11

W ( N 1) 1

y(N 1)

c(N 1)

W 0 ( N 1)

W1 ( N 1)

W( N 1)( N 1)

оптимальные оценки параметров с (X *Т X ) 1 X *Т Y.

Матрица

D X *T X

и вектор коэффициентов Фурье b X *T Y

выразятся с использованием комплексных

сопряжений. Коэффициенты ДПФ находятся из системы Dc b,

с D 1b.

Базисные комплексные синусоидальные функции W ki

ортогональны, и поэтому матрица D диагональна.

Вычислим коэффициенты этой матрицы, сформировав тригонометрические суммы, являющиеся скалярными произведениями для столбцов комплексной матрицы плана сигнала:

	N 1	N 1
	dks (W ki )*W si W (s k )i ,		k, s 0,..., N 1.
	i 0	i 0
Для индексов s k	имеем dkk N, для	s k следует, что dks 0. Тогда нетрудно видеть, что
		14

f 1/ NT.

N 1

y(i)W 0 i

i 0

N 1

y(i)W 1 i

D 1

b X *

i 0

, c (k)

b ,

k 0, 1,..., N 1.

dkk

N 1

y(i)W ( N 1)i

i 0

Коэффициенты ДПФ для случая комплексных наблюдений и комплексной модели запишутся следующим образом:

	1	N 1
c(k)		y(i)W ki ,	k 0, 1,..., N 1.,	(4.1.11)

	N i 0

где так же, как и в (4.1.9), опущен знак оптимальности.

Вычислим остаточную сумму для оптимальных коэффициентов комплексного ДПФ. Подставим под знак суммы (4.1.10) полученные выражения для коэффициентов с(k) :

N 1

S(c, Y )

y(i)

y(s)W si W ki

y(i)

y(s)W si W ki .

i 0

k 0

N s 0

k 0

N s 0

Рассмотрим отдельно выражение в скобках под знаком суммы, переставим порядки суммирования, учитывая, что

			N 1			N 1
			W k (i s) N	для s i,		W k (i s) 0 для s i,
N 1			k 0			k 0
N 1	1	N 1			1	N 1	N 1	1
y(i)		y(s)W ksW ki		y(i)		y(s) W k (i s) y(i)			y(i) N 0.
y(i)		y(s)W ksW ki		y(i)		y(s) W k (i s) y(i)			y(i) N 0.
k 0	N s 0				N s 0		k 0	N

S(c , Y ) 0. Остаточная сумма для функционала (4.1.10) на оптимальных коэффициентах ДПФ равняется нулю – предлагаемая тригонометрическая модель с нулевой погрешностью аппроксимирует наблюдения. Благодаря этому обстоятельству можно записать формулы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье, физический смысл которых очевиден

N 1

c(k)

y(i)W

ki , k 0,

1,..., N 1, y(i) c(k)W ki ,

i 0, 1,...,

N 1.

N i 0

k 0

Приведём показательную форму для комплексного ДПФ. Определим амплитуды

с(k)

и фазы (k)

составляющих ДПФ в зависимости от дискретного номера k:

c(k) c (k) jc (k), c(k)

c(k)

e j k ,

с(k)

(c2 (k) c2 (k))1/2 ,

(k) arctg(c (k)/c (k)),

k 0, 1,..., N 1.

{Результаты вычисления составляющих ДПФ можно графически изображать в виде амплитудного и фазового спектров. Для удобств изображений амплитудных спектров применяется логарифмический масштаб:

L с(k) 20log10 c(k) .

Вполне правомерно введение зависимости от частоты для составляющих спектра ДПФ. Шаг дискретности по частоте для составляющих определяется интервалом наблюдения NT, 2 / NT , Составляющие спектра – амплитуды и фазы модельных комплексных синусоид – располагаются равномерно

по оси частот,

с(k)

c( k )

с(k)

c( fk )

(k) ( k ),

(k) ( fk ) , где так же, как и разд. 4.1.2,

k k, fk

f k,

k 0, 1,..., N 1. }

8.Функция спектральной плотности мощности сигналов. Оценивание функции спектральной плотности

мощности для стационарных эргодических сигналов.

Функция спектральной плотности мощности сигналов

Теорема Парсеваля Теорема Парсеваля позволяет устанавливать величину полной энергии комплексных сигналов с помощью интегрирования либо во временной, либо в частотной областях.


Е y* (t) y(t)dt	2 С* ( j )С( j )d .	(4.3.5)

Равенство (4.3.5) представляет собой формулировку теоремы Парсеваля и позволяет вычислять полную энергию сигнала как во временной, так и в частотной областях.

Прямое и обратное ДПФ может служить дискретным аналогом прямого и обратного непрерывного преобразования Фурье. Разберём вывод дискретного аналога теоремы Парсеваля.

Запишем обратное и сопряжённое обратное ДПФ для дискретных значений сигнала y(i), i 0, 1,..., N 1:

N 1	N 1
y(i) c(k)W ki ,	y* (i) c* (k)W ki .
k 0	k 0

Образуем произведения y* (i) y(i), просуммируем их по i, изменим порядок суммирования и получим

N 1	N 1 N 1		N 1
E y* (i) y(i)		c* (k)W ki c(k)W si
i 0	i 0	k 0	s 0

N 1	N 1	N 1	N 1
c* (k) c(s) W (s k )i N c* (k)c(k).				(4.3.6)
k 0	s 0	i 0	k 0

На основе (4.3.6) сформируем выражение, которое является дискретным аналогом теоремы Парсеваля:

N 1	N 1
E y* (i) y(i)	N c* (k)c(k).	(4.3.7)
i 0	k 0

Определение функции спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов связано с аналогией из электротехники – вычислении мощности, выделяемой на активном сопротивлении (см. разд. 2.2).

Применим теорему Парсеваля (4.3.5) для нахождения величины энергии сигнала y(t), приходящейся на узкий интервал частот ( , d ) :

E( y, , d ) 2 C*y ( j )Cy ( j )d .

Для функции спектральной плотности мощности для стационарного эргодического сигнала Pyy ( ) в

непрерывном случае сформируем отношение части мощности сигнала в частотном диапазоне ( , d ) к величине d . Для этого рассмотрим прямое и комплексно-сопряжённое прямое преобразование Фурье для

сигнала

y(t) на интервале времени T0 / 2 t T0 / 2, которые представляются интегралами

T0 /2

(4.3.8)

С ( j ,T )

y(t)e j t dt,

Энергия сигнала

y(t) длительностью T0 в частотном диапазоне

2 T0 /2

( , d ) может быть найдена на основе интегралов (4.3.8)

T0 /2

E( у, , d , T0 ) 2 C*y ( j , T0 )Cy ( j , T0 )d .

( j ,T0 )

(t)e

j t

dt.

Сy

Функция СПМ P ( ) для рассматриваемого стационарного

T0 /2

эргодического сигнала запишется в виде предела, в предположении, что этот предел существует:

E( y, , d ,T )

C* ( j ,T )C

( j ,T )d

P ( )

lim

, P ( )

lim

C* ( j ,T )C

( j ,T ).

T0 Т0

(4.3.9)

Функция

Pyy ( )

в общем случае определена

во всём

частотном диапазоне

и является

положительной Pyy ( ) 0.

{Рассмотрим обобщение определения функции СПМ сигналов (4.3.9) для дискретного случая. Пусть задаётся набор дискретных значений сигнала y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, T – интервал дискретизации. Интегралы Фурье из (4.3.8) могут быть заменены дискретными суммами, которые являются фактически

оценками указанных интегралов для заданной частоты k

2 k/(NT ),

k 0, 1,...,

N 1 и и с учётом

t Ti,

T0 TN :

N 1

kTi

Cy ( j k , TN )

T y(i)e

TNcу (k),

Cy ( j k , TN )

TNcу (k). .

i 0

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье сформированы в виде ДПФ. Поэтому Pyy ( k ) – оценка функции СПМ дискретизованного сигнала для фиксированных частот k – может быть вычислена через коэффициенты ДПФ:

P ( )

( j ,TN )C

( j ,TN )

2 1

TNc* (k)

TNc(k),

yy k

TN 2

P ( )

P c*(k)c(k),

k 0, 1,..., N 1,

(4.3.10)}

последовательность технологических этапов получения оценок функции СПМ для стационарных эргодических сигналов, наблюдаемых на большом интервале времени 0 t t f . Будем полагать, что

обрабатываемые сигналы y(t) задаются в непрерывной форме, например в виде записей на аналоговом магнитофоне.

Этап 1. Выбор частоты дискретизации. Пусть – верхнее значение частоты полосы сигнала. (должна быть известной из априорных сведений о сигнале; Согласно теореме Котельникова, частоту дискретизации


d	следует выбирать, исходя из неравенства		d 2 ( fd d /2 , Гц;				T 1/ fd ).		На практике
d	(4 10) . Если в обрабатываемом сигнале доминирует синусоидальная составляющая с частотой ,
то на период синусоиды T0 2 / должно приходиться				(4 10)	точек дискретизации.				Общее число
дискретизванных значений сигнала равняется величине N f				t f /T.	Объём памяти ЭВМ (ДЗУ), который
займут введённые дискретизованные сигналы, в случае, если на одно						дискретное значение сигнала
отводится 4 байта, составит VДЗУ 4N f /1024 Кбайт.			. При	вводе дискретных			данных в		ЭВМ следует

учитывать ограничение памяти ДЗУ ЭВМ V		ДЗУ – должно выполняться неравенство VДЗУ V						ДЗУ .
Этап 2. Выбор параметров локальных интервалов. Если N – выбранное число точек на локальном
интервале, m – число локальных интервалов, то должно выполняться условие							Nm N f .		Необходимо

выбор параметров локальных интервалов осуществлять таким образом, чтобы числа N, m были целыми. Длина локального временного интервала NT подбирается, исходя из обеспечения требуемой разрешающей способности ДПФ f . Для этой цели должна быть определена минимальная разность частот двух соседних частотных составляющих f1 f2 в обрабатываемом многочастотном сигнале. Величины f

и f1 f2 для обеспечения разрешения связаны неравенством, f1 f2 (5 10) f .

{Для улучшения разрешения, естественно, следует назначать длинные локальные интервалы. Однако при обеспечении хорошего усреднения результатов цифровой обработки требуется увеличивать m – реализовывать большое количество локальных интервалов и тем самым уменьшать длины локальных интервалов. Требования удовлетворительного усреднения и хорошей разрешающей способности являются противоречивыми. Выбор параметров N, m связан с принятием компромисса.}

Этап 3. Умножение сигналов на локальных интервалах на функцию временного окна. Пусть для дискретизованного сигнала y(s), s 0, 1,..., N f 1, исходный большой интервал времени разбивается на

m локальных интервалов по N точек. Дискретизованный сигнал на j-м локальном интервале имеет вид


y(i N( j 1)),	j 1,..., m,	i 0, 1,..., N 1. Для каждого локального интервала осуществляется
умножение части дискретизованного сигнала на N- точечное временное окно w(i)
	y(i N( j 1)) y(i N( j 1))w(i),		j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1.

Этап 4. Вычисление локальных ДПФ и локальных оценок функции СПМ. Нахождение локальных

		1	N 1
коэффициентов	ДПФ {производится в соответствии с формулой ДПФ} с j (k)	1	y(i N ( j 1))W ki ,
коэффициентов	ДПФ {производится в соответствии с формулой ДПФ} с j (k)		y(i N ( j 1))W ki ,
		N i 0
k 0, 1,..., N 1,	j 1,..., m.
	17

Локальные оценки функции СПМ {находятся с использованием локальных коэффициентов ДПФ}

P	(k) P c* (k)c		j	(k),	k 0, 1,..., N 1,				j 1,..., m.
yy, j	0 j		j
						1	m
Этап 5. Вычисление оценок функции СПМ.		Pyy (k)				1	Pyy, j (k),	k 0, 1,..., N 1. .Усреднение
Этап 5. Вычисление оценок функции СПМ.		Pyy (k)					Pyy, j (k),	k 0, 1,..., N 1. .Усреднение
						m j 1

обеспечивает снижение шумовых порешностей в оценке функций СПМ сигналов

9.Разностные уравнения цифровых фильтров. Импульсно-переходные функции цифровых фильтров. y(i) y(Ti) - входная последовательность для дискретных индексов k i

x(i) x(Ti) - выходная последовательность для дискретных индексов m i

T – интервал дискретизации, разностные уравнения не зависят от Т, так как он постоянен.

Разностные уравнения для цифровых фильтров (ЦФ) задаются соотношениями типа

m	k
x(i) br x(i r) as y(i s),		i 0, 1, 2... .(6.1.1) (рекурсивные цифровые фильтры)
r 1	s 0

Фильтр считается определенным, если заданы весовые параметрами b1 ,b2 ,...,bm , a0 , a1 ,..., ak

.Целые числа m, k , которые задают порядок ЦФ. Н.у. x(-1),x(-2),…x(-m) y(0),y(-1),…y(-k)

Выходной сигнал ЦФ состоит из суммы сдвинутых и взвешенных значений входного сигнала – скользящего среднего входного сигнала и обратной связи – суммы сдвинутых и взвешенных значений выходного сигнала.

два класса ЦФ.1. рекурсивные цифровые фильтры (РЦ-фильтры), являющиеся фильтрами общего вида, разностные уравнения для которых определены в (6.1.1); для этих фильтров выходной сигнал зависит от сигнала обратной связи 2. нерекурсивные цифровые фильтры (НРЦ-фильтры) или фильтры скользящего среднего, разностные уравнения для которых представляются соотношением

k
x(i) as y(i s),	i 0, 1, 2... .	(6.1.2)

s 0

Импульсно-переходные функции ЦФ, зависящие от целочисленных аргументов, позволяют без обратной связи, напрямую, связать значения входного сигнала с выходным. Рассмотрим общий вид ЦФ в виде РЦ-фильтра. РЦ-фильтр является линейной структурой. Запишем выходной сигнал РЦФ x(i) с использованием взвешенных сумм

m	i
x(i) h0 (i, r)x( r) h(i, s) y(s).		(6.1.6)
r 1	s k
Функции двух переменных h(i, s),	определённые в дискретных точках, обычно называются

импульсно-переходными (2 составляющие: начальные условия, выходные данные) Необходимо, однако, иметь в виду, что выходной сигнал x(i) зависит от функции h(i, s) и функции h0 (i, r), учитывающей вклад начальных условий. Если начальные условия являются нулевыми, то формула связи (6.1.6) упрощается:

x(i)	h(i, s) y(s).	(6.1.7)
	s k

Таким образом, основываясь на (6.1.6), (6.1.7), выходной сигнал ЦФ с помощью импульснопереходной функции может быть напрямую связан со входным сигналом.

вычисление импульсно-переходной функции для рекурсивного скалярного фильтра первого

порядка

x(i) b1x(i 1) a0 y(i).

Выразим x(0) через x( 1),	y(0), затем x(1) через x( 1), y(0), y(1) и т.д.:
	x(0) b1x( 1) a0 y(0),
x(1) b1x(0) a0 y(1) b1 ( b1x( 1) a0 y(0)) a0 y(1)
	b2 x( 1) b a y(0) a y(1) ,
	1		1	0			0
x(2) b x(1) a y(2) b			(b2 x( 1) b a y(0) a y(1)) a y(2)
1	0	1	1			1	0	0	0
	b2 x( 1) b2a y(0) b a						y(1) a y(2),
	1	1	0		1	0	0
				…
Для линейных фильтров: h(n,i)=h(n-i)
Для импульсно-переходных функций НРЦ-фильтров:
	k
x(i) as y(i s),		h(0) a0 ,			h(1) a1,...,			h(k) ak .

s 0

Фильтры, имеющие импульсно-переходные функции определенные в конечном числе точек(формула выше), называются КИХ-фильтрами. РЦ-фильтры имеют импульсно-переходные функции, определённые в бесконечном числе точек; такие фильтры называются БИХ-фильтрами

j T ,

e j T ,

10.Передаточные функции цифровых фильтров. Передаточные функции на комплексной плоскости.

А Передаточные функции (ПФ) для ЦФ определяются его выходным сигналом в установившемся режиме при действии на входе фильтра единичного дискретного комплексного синусоидального сигнала

y(Тi) e j Ti ,

0 i ,

где T – интервал дискретизации, частота входного сигнала – 2 f . В установившемся режиме выходной сигнал ЦФ представляет собой комплексную синусоидальную функцию с частотой входной синусоиды и отличающуюся от входной синусоиды амплитудными и фазовыми искажениями, которые зависят от частоты. Проиллюстрируем этот факт с помощью математического моделирования.

после непродолжительного переходного процесса наступает установившийся режим – на выходе ЦФ

формируется установившийся синусоидальный сигнал x0 (Ti) A0 sin(2 f Ti	0 ) с частотой
входного сигнала и с амплитудными и фазовыми искажениями.

Свяжем входной y(Ti) и выходной x(Ti) комплексные синусоидальные сигналы в установившемся

режиме:

x(Ti) H ( j T ) y(Ti) H ( j T ) e j Ti .

Коэффициент H ( j T ) по определению является передаточной функцией.

Произведём вычисления для сдвинутых комплексных синусоид

y(i s) e j T (i s) e j Tie j Ts ,

x(i r) H ( j T ) y(i r) H ( j T ) e j Tie j Tr .

Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции ЦФ

m				k
H ( j T )e j Ti br	H ( j T ) e j Tie j Tr as e j Tie j Ts ,
r 1				s 0
		k
		ase j Ts
H ( j T )		s 0	.	(6.2.2)
H ( j T )		m	.	(6.2.2)
		m
		1 br e j Tr

r 1

Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты и может быть представлено в показательной форме

		H ( j T ) H ( T ) jH		( T ),	H ( j T )	H ( j T )	e j ( T ) ,

1			2
где	H ( j T )	– амплитудно-частотная	характеристика (АЧХ) для ЦФ; ( T ) – его фазочастотная

хактеристика (ФЧХ).

АЧХ показывает во что преображается единичная амплитуда в зависимости от частоты. ФЧХ показывает фазовый сдвиг между входной и выходной синусоиды.

Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству 0 Т 2 .

Вводится переменная с обозначением z 1 z e которая представляет собой при фиксированной частоте некоторую точку единичной окружности на комплексной плоскости. Тогда запишем ПФ как функцию отношения полиномов от введённых переменных z 1, z :

as z s

H (z 1) s 0

1 br z r

r 1

H (z) H0 zm k H0

				k
				(z s )
,	H (z) H	0	z(m k )	s 1		,
,	H (z) H		z(m k )	m		,
				m
				(z r )
				r 1
			k
			(z s )
(z),	H0 (z)		s 1		,	(6.2.5)
(z),	H0 (z)		m		,	(6.2.5)
			(z r )

r 1

где комплексные числа s , s 1,.., k, являются нулями; r , r 1,..., m, – полюсами ПФ; H0 может трактоваться как комплексный коэффициент усиления.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке шпоры

#
27.03.2016388.97 Кб14ТЦУ.docx
#
27.03.2016797.41 Кб14ТЦУ.pdf
#
27.03.2016703.07 Кб14ТЦУ_мал.pdf
#
27.03.20161.39 Mб42ЦОС.docx
#
27.03.20161.67 Mб14ЦОС.pdf
#
27.03.20161.52 Mб15ЦОС_мал.pdf
#
27.03.2016276.99 Кб15ЧМ.doc
#
27.03.2016331.97 Кб14ЧМ.pdf
#
27.03.2016297.11 Кб14ЧМ_мал.pdf