3. Основные характеристики типовых звеньев во временной и частотной областях.

3 типа входных воздействий:

- ступенчатое;

- импульсное;

- гармоническое.

Переходная функция.

Реакция системы на ступенчатое входное воздействие называется переходной функцией (h(t)).

Реакция системы, отсюда:

Весовая функция ЛДС.

Реакция системы на импульсное входное воздействие называется весовой функцией.

g(t) =(t-t₀)

амплитуда бесконечна.

L[(t)] = 1

G(s) = 1

X(s) = W(s)

w(t) – весовая функция ЛДС (импульсная переходная функция).

И весовая, и переходная функция формируется при нулевых начальных условиях.

Понятие свертки:

Если X(s) =W(s)G(s), то во временной области наличествует свертка:

Интеграл можно брать до , разницы нет.

w(t),<0w()0

Амплитудно-фазовая характеристика.

0 < +

P() – вещественная ЧХ,Q() – мнимая ЧХ.

Амплитудно-фазовая ЧХ:

Типичный случай АФЧХ:

;

3. Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев, минимально-фазовые и неминимально-фазовые типовые звенья.

логарифмическая амплитудно-частотная хар-ка, дБ(децибел)

i – полюсы 1,..n -нули 1,..m m<=n

Наиболее часто встречающиеся звенья со множителем, типовые звенья:

Типовые звенья делятся на минимально-фазовые(поведения амплитуды и фазы строго согласовано, есть закономерность) и неминимально-фазовые(несвязанны между собой, нет между ними закономерности).

I. Минимально-фазовые звенья:

1) Безынерционное звено

W(s)=k

2) Интегрирующее звено

Наклон -20дБ/декада

3) Апериодическое звено

погрешность 3дБ

4) Колебательное звено

Если 0,4≤ζ≤0,7 погрешность =+/-3дБ

5) Дифференцирующее звено 1-го порядка

6) Дифференцирующее звено 2-го порядка

7) Звено «чистого» дифференцирования (дифференцирующее звено)

W(s)=ks

Свойство минимально-фазовых звеньев

II. Неминимально-фазовые звенья:

1) Неустойчивое апериодическое звено

2) Колебательное неустойчивое звено

(присутствует как минимум один минус)

3) Дифференцирующее звено 2-го порядка

4) Звено «чистого» запаздывания (транспортное запаздывание)

3. Алгебраические критерии устойчивости.

Представим характеристическое уравнение системы в виде

a_n*Sⁿ + a_n-1*S^n-1 + … + a₁*S + a₀ = 0

Критерий Рауса

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания

2. во второй строке — с нечётными

3. остальные элементы таблицы определяется по формуле: , где  — номер строки,  — номер столбца

4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения

Значения r	Номер строки	Номер столбца
		1	2	3	…
-	1	an	an-2	an-4	…
-	2	an-1	an-3	an-5	…
r3=an/an-1	3	c13=an-2-r0*an-3	c23=an-4-r0*an-5	c33=an-6-r0*an-7	…
r4=an/c13	4	c14=an-3-r1*c23	c24=an-5-r1*c33	c34=an-7-r1*c43	…
r5=an/c14	5	c15=c23-r2*c24	c25=c33-r2*c34	c35=c43-r2*c44	…
…	…	…	…	…	…

Необходимым и достаточным условием того что все Reλ_i<0 (а значит и устойчивости) является положительность коэффициентов первого столбца.

1+K_p*W(S)=0

K_p – предельный коэффициент усиления.

Критерий Гурвица.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится матрица  Гурвица  по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a[n-1] до a[0];

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше  ставятся нули.

an-1	an	0	0	…	0
an-3	an-2	an-1	an	…	0
an-5	an-4	an-3	an-2	…	0
…………………………………………………..
0	0	0	0	…	a0

Необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех диагональных миноров данной матрицы:

a[n-1], a[n-1]*a[n-2] – a[n-3]*a[n] и т.д.