3. Частотный критерий Найквиста.

Недостаток алгебраических методов состоит в том что по ним нельзя определить степень устойчивости.

Пусть передаточная ф-ция замкнутой системы Ф(s)=W(s)/(1+W(s)). 1+W(S)=0 -> i , i=1…n

Об устойчивости ЛДС можно судить по годографу W(s)

D(s)=a_nsⁿ+…+_a1s+a₀

D(s) = a_n(s-1)*…*(s-n)

D(s)=a_n(s-1)* …*(s-n), s=j

D(s)=a_n(j-1)* …*(j-n) arg(j-i)=i

Переходим к полярным координатам:

Соответственно =|Д(jw)| и arg(D(j))=_i

Изменение аргумента для сомножителя соответствующего₁ т.е для полюсов: Re<0 приращение аргумента =+, а для полюсов в правой полуплоскости = -.

Полное изменение аргумента arg D(j) = i

arg D(j) = arg(j-i)  изменение аргумента каждой из компонент

n – порядок системы, m – колтчество полюсов в правой полуплоскости

arg(D(j))=(n-m)-m=(n-2m) при  изменяющемся от - до +

Для устойчивых систем m=0, arg(D(j))=n . Если изменить диапазон  (т.к отрицательных частот не бывает и Д(jw)симметрично отн-но вещ-ой оси), то получим при (0+) arg(D(j))= n/2

ПФ для разомкнутой сист:

D(j)=Dp(j)[1+W(j)]  [..] это частотн х-ка разомкнутой системы

arg[1+W(j)]= argD(j) -argDp(j) (0+)

arg[1+W(j)]=n/2-(n-2m)/2 = m (n/2 добавляется т.к. мы хотим чтобы замкнутая сист была уст)

W(s) - ПФ (Передаточная ф-ция) разомкнутой системы (может быть и неустойчивой)

a) разомкн. сист. уст. => m=0 => arg =0

б) разомкн. Системы неуст => m>0

arg = -2 (по часов стрелке) => сист неуст

если считать относительно т(0,0) то получим годограф W(j)

Критерий Найквиста

Для чтобы ЛДС была устойчива в замкнутом состоянии необх и достаточно чтобы ее годограф в разомкнутом состоянии охватывал критическую точку (-;j0) при [0, +] +m/2 раз, где m – число полюсов разомкнутой системы в правой полуплоскости.

Достаточно рассмотреть отрезок вещественной оси (-; (-1;j0)).

Критерий Найквиста: ЛДС уст в замкн сост общее число пеерходов АФЧХ разомкнутой сист через отрезок действительной оси (-;-1) при изменении частоты от 0 до + было равным +m/2

Учет нулевого полюса будем считать что нулевой полюс находится в левой полуплоскости. Тогда заменимs на e^j где 0,  меняется от 0 до /2. Подставляем это в W(s) и получаем доопреджеление годографа, так чтобы он начинался на действительной оси.

Критерий Найквиста: Для того чтобы ЛДС была устойчивой в замкнутом сост. необх и дост чтобы общее число пересечений фазовой х-ки и оси (-180-k*360) в области положительных амплитуд (L()>0) при изменении частот от 0 до + было равным +m/2

3. Показатели качества систем управления.

Точность оценивается при, в условиях установившегося режима. Задающее воздействиеg=[1]. ε(∞) – установившаяся ошибка.

1. коэффициенты добротности.

1.1 g(t)=g₀[1]

Предположим, что W(s) не содержит нулевого полюса (интегратора).

В статической системе, где нет интеграторов, имеет место ненулевая установившаяся ошибка.

Добротность по положению (для статической системы) k_p=k+1.

1) g(t)=g₀[1]. реакция статической системы имеет предел

2) g(t)=g₁t. Ошибка растет и не имеет предела.

1.2.Система имеет один интегратор.

1) единичная ступенькаg(t)=g₀[1]

В астатической системе точность повышается, при любом k..

2) линейно-нарастающий сигнал g(t)=g₁t

Добротность системы по скорости k_v=k

3) быстро-меняющееся параболическое воздействие

Ошибка растет, система работает плохо.

1.3 В системе 2 интегратора . Система с астатизмом 2-го порядка (v=2).

1) g(t)=g₀[1] -> ε_уст=0k_p=∞

2)g(t)=g₁t k_v=∞

3)

k_a=k– добротность по ускорению

Система с двумя интеграторами близка к структурной неустойчивости. Они мало растпространены, так как их трудно сделать устойчивыми, но такие системы очень точные.

N	название	степень астатизма	kp	kv	ka
1	статическая	v=0	k+1	не существует	не существует
2	астатическая	v=1	∞	k	не существует
3	система с астатизмом IIпорядка	v=2	∞	∞	k

2. коэффициенты ошибки

Статическая системаg(t)=g₁t.

Коэффициенты добротности не говорят, КАК меняется величина ошибки. Нужно найти ε(t)=var?

E(s)=Φ_ε(s)G(s). Припроцесс установился,sуменьшается (). Приs->0 можно разложить в ряд Макларена (так как числа действительные):

Аналитическое выражение для оценки ошибки:

- коэффициенты ошибки.

3. Методы коррекции динамических свойств систем. Постановка задачи синтеза корректирующих устройств.

Этапы синтеза:

1) выбор параметров неизменяемой части системы (объект управления, тип, исполнительные устройства...)

2) задание показателей качества и точности, а также запасов устойчивости по фазе и модулю (их задает заказчик и согласовывает с исполнителем)

3) с использованием показателей качества и точности формирование желаемой частотной характеристики разомкнутой и замкнутой систем.

Динамику системы определяют показатели качества:

1) t_р – время регулирования, с – время, за которое сигнал попадает в +-5% промежуток. Время (0, t_р) – время динамики процесса.

2) σ_max – критерий перерегулирования, % - максимальное относительное отклонение от установившегося значения. . За показатели качества отвечают средние частоты.

Пример:

Чтобы улучшить динамику системы вводим интегратор.

подбираем частоту среза для получения нужного значения t_р.

ω₂ очень чувствительна к σ_max, если не укладываемся в заданное σ_max, то нужно сдвинуть ω₂ влево. . Но расстояние ω₂ω_с должно быть 0,7-0,8 декады, иначе может нарушиться устойчивость системы.

Общая схема коррекции:

1) вводим дополнительную структуру

2) смотрим переходные процессы, проверяем t_р и σ_max.

3) строим желаемую частотную характеричтику разомкнутой системы, но с учетом улучшения динамики.

Ограничения:

1) предполагаем, что в неизменяемой части отсутствуют неминимально-фазовые звенья

2) физическая реализация – звенья можно сократить, но может оказаться, что они принадлежат различным устройствам.